Приближение многочленами и представление рядами в гильбертовом пространстве. Учебное пособие для студентов и аспирантов механико-математического факул

– расстояние от вектора h до замкнутого подпространства H0. Для каждого

n = 1,2,... найдем такой вектор xn 2H0, что kh xnk2H < d2 + 1n . В тождество параллелограмма подставим h1 = h xn и h2 = h xm. Получим

kxn xmk2H = 2(kh xnk2H + kh xmk2H ) 4kh xn+2xm k2H <

< 2(d2 + 1n + d2 + m1 ) 4d2 = 2n + m2 ! 0, n,m ! ∞.

Видим, что последовательность fxng∞n=1 фундаментальна и в силу полноты пространства H существует предел h0 = limn!∞ xn. Поскольку H0 замкнуто и xn 2H0 для всех n, то h0 2H0. При этом по непрерывности d = kh h0kH . Итак, получили равенство

kh h0kH = min kh xkH .

x2H0

В частности, для всех e 2H0, kekH = 1, имеем

kh h0kH = minλ kh h0 λekH .

По лемме 1 hh h0,eiH = 0. Тогда hh h0,xiH = 0 для всех x 2H0, т.е. h

h0 2H0?.

Пусть H1,H2 – замкнутые подпространства гильбертова пространства H, ортогональные между собой. Ортогональной суммой подпространств H1 и H2 называется замкнутое подпространство H1 H2, состоящее из всех

векторов вида h1 + h2, где h1 2 H1 и h2 2 H2.

Лемма о проекции показывает, что для каждого замкнутого подпространства H0 гильбертова пространства H справедливо разложение

H = H0 H0?.

При этом, если h = h0 +(h h0), где как и в лемме о проекции h0 2H0 и hh0 2H0?, то вектор h0 называется ортогональной проекцией вектора h2H на подпространство H0. Линейный оператор P : H ! H, ставящий в соответствие каждому h 2 H его ортогональную проекцию h0 2 H0, называется ортопроектором из H на H0. Ясно, что kPkH!H = 1, если H0 =6 f0g.

Следующая теорема называется теоремой о представлении ограниченного линейного функционала на гильбертовом пространстве.

Теорема 10. Для каждого ограниченного линейного функционала L 2 H на гильбертовом пространстве H существует и притом единственный вектор h 2H такой, что справедливо представление

31

одномерное подпространство. В таком случае для h 2H имеем h = h0 + λe, где h0 2H0, откуда

L(h) = L(h0 + λe) = λL(e).

Полагая h = L(e)e, получим искомое представление

hh,h iH = hh0 + λe,L(e)eiH = λL(e) = L(h).

Единственность вектора h в таком представлении очевидна. Наконец, имеем

где последнее равенство следует из неравенства Шварца и возможности выбора в качестве h, khkH 1, вектора h /kh kH .

Утверждение доказанной теоремы означает, что сопряженное пространство H к гильбертову пространству H изоморфно самому пространству H. Естественность изоморфизма L 7!h , определяемого представлением из формулировки теоремы 10, позволяет отождествить H с H, что всюду далее и будет предполагаться.

Определение 29. Последовательность feng∞n=1 H nf0g называется ортогональной, если hei,ejiH = 0 для всех i, j 2N таких, что i =6 j.

Последовательность feng∞n=1 H называется ортонормированной, если hei,ejiH = δi j для всех i, j 2N, где δi j – символ Кронекера.

Пример 9. Последовательность канонических ортов

ei = (δi j), i = 1,2,...,

является ортонормированной в пространстве ℓ2. Тригонометрическая система

1,cos x,sin x,..., cos nx,sin nx,...

является ортогональной в пространстве L2[ π,π].

32

Обозначим через Hn, n = 1,2,... , линейную оболочку векторов e1,..., en, т.е. множество всех линейных комбинаций векторов e1,..., en.

Лемма 2. Пусть feng∞n=1 H – ортонормированная последовательность. Тогда для любого n = 1,2,... ортопроектор Pn из H на Hn имеет вид

n

Pnh = ∑hh,ekiH ek, h 2H.

k=1

Доказательство. Достаточно проверить, что h Pnh 2Hn?. Для этого заметим, что

Отсюда

Это означает, что h Pnh ортогонально Hn. Лемма доказана.

Лемма (неравенство Бесселя). Пусть feng∞n=1 H – ортонормированная последовательность. Тогда для всех h 2H выполняется неравенство

∞

∑ jhh,eniH j2 khk2H .

n=1

Доказательство. По лемме 2 и теореме Пифагора, а также с учетом равенства kPnkH!H = 1, находим

n

∑ jhh,ekiH j2 = kPnhk2H khk2H .

k=1

Осталось устремить n ! ∞.

Определение 30. Рядом Фурье вектора h по ортонормированной последовательности feng∞n=1 называется ряд

∞

∑hh,eniH en.

n=1

Коэффициенты hh,eniH , n = 1,2,... , этого ряда называют коэффициентами Фурье вектора h.

33

Лемма 3. Пусть feng∞n=1 H – ортонормированная последовательность. Тогда для каждого h 2 H его ряд Фурье сходится в пространстве H. Ортопроектор P из H на [en] имеет вид

му оператор P корректно определен. Для всех k и n k имеем hek,hPnhiH = 0 по лемме 2. Устремляя n ! ∞, получаем hek,h PhiH = 0. Отсюда следует, что h Ph 2 [en]? и поэтому Ph является ортогональной проекцией h на [en].

Теорема 11. Пусть feng∞n=1 H – ортонормированная последовательность. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

a) feng∞n=1 – полная последовательность в H, т.е. из условия hh,eniH =

d) ) a). Очевидно.

Последовательность fhng∞n=1 H называется линейно независимой, если векторы h1,..., hn линейно независимы для каждого n = 1,2,... .

Теорема 12. Для каждой линейно независимой последовательности fhng∞n=1 существует ортонормированная последовательность feng∞n=1 такая, что их замкнутые линейные оболочки совпадают: [en] = [hn].

34

ортонормированной.

Замечание 3. Процесс построения ортонормированной последовательности feng∞n=1 по заданной последовательности fhng∞n=1, приведенный в доказательстве предыдущей теоремы, называется ортогонализацией по Граму– Шмидту. Процесс ортогонализации допускает следующую модификацию, применимую к произвольной последовательности fhng∞n=1. Если на (n +

+ 1)-м шаге окажется, что hn+1 2 [hk : 1 k n], т.е. h0n+1 = 0, то этот шаг пропускаем. Если h0n+p = 0 для всех p = 1,2,... , то процесс останавлива-

ется. В итоге получаем ортонормированную последовательность fenk g∞k=1 или конечную ортонормированную систему en1 ,..., enk , замкнутая линейная оболочка которой совпадает с [hn].

Гильбертово пространство H называется сепарабельным, если существует счетное всюду плотное множество X H.

Следствие 2. Следующие утверждения эквивалентны:

(i)H – сепарабельное гильбертово пространство;

(ii)в гильбертовом пространстве H существует ортонормированный базис feng∞n=1.

Доказательство. (i) ) (ii). Пусть счетное множество X = fhng∞n=1 всюду плотно, т.е. cl X = H и тем более [hn] = H. По предыдущей теореме с учетом замечания к ней существует ортонормированная последовательность

feng∞n=1 такая, что [en] = [hn] = H. Это означает, что feng∞n=1 – замкнутая последовательность и по теореме 11 feng∞n=1 – базис в H.

(ii) ) (i). Пусть ортонормированная система feng∞n=1 образует базис в H. Рассмотрим множество X, состоящее из всех линейных комбинаций векторов en, n = 1,2,... , с рациональными коэффициентами (в комплексном случае – с коэффициентами, действительная и мнимая части которых

однозначным и поэтому X – счетное множество.

Теорема 13. Каждое сепарабельное гильбертово пространство H изоморфно пространству ℓ2.

35

Доказательство. Пусть feng∞n=1 – ортонормированный базис в H. Рассмотрим оператор T : H ! ℓ2, определяемый равенством

Утверждение d) теоремы 11 показывает, что оператор T корректно опреде-

лен и kT hkℓ2 = khkH . Для каждого x = (ξn) 2ℓ2 ряд ∑∞n=1 ξnen сходится, так как

Обозначим h 2H сумму этого ряда. Получим hh,eniH = ξn, n = 1,2,... , т.е. x = T h. Таким образом, оператор T осуществляет изоморфизм H на ℓ2.

2.2. Сопряженный оператор

Пусть H1,H2 – гильбертовы пространства и T : H1 ! H2 – ограниченный линейный оператор.

Определение 31. Оператор T : H2 ! H1 называется сопряженным к T , если для всех h1 2H1 и h2 2H2 выполняется равенство

hT h1,h2iH2 = hh1,T h2iH1 .

Замечание 4. С учетом принятого отождествления H = H определение 31 согласуется с определением 22 пункта 1.9, в соответствии с которым сопряженный оператор имеет вид T : H2 ! H1 . Однако при этом следует принять во внимание тот факт, что двойственность гильбертовых пространств, определяемая скалярным произведением h , iH , является полуторалинейной формой (линейной по первому аргументу и антилинейной по второму аргументу), в то время как двойственность банаховых пространств определяется билинейной формой (линейной по каждому аргументу).

Определение 32. Ядром ограниченного линейного оператора T : H1 ! H2 называется (замкнутое) подпространство

ker T = fh1 2H1 : T h1 = 0g.

Образ ограниченного линейного оператора T : H1 ! H2 будем обозна-

чать

im T = fh2 2H2 : 9h1 2H1 h2 = T h1g.

(Линейное подпространство im T не обязательно замкнуто.)

36

Предложение 4. Справедливы равенства:

Доказательство. Первое равенство получаем из следующих эквивалентных высказываний:

h2 2(im T )? () 8h1 2H1 hT h1,h2iH2 = 0 ()

8h1 2H1 hh1,T h2iH1 = 0 () T h2 = 0 () h2 2ker T .

Учитывая, что (T ) = T и (X?)? – наименьшее замкнутое подпространство, содержащее множество X, из первого равенства находим

(ker T )? = (ker(T ) )? = ((im T )?)? = cl im T .

Предложение 5. Образ im T замкнут в том и только том случае, когда образ im T замкнут.

Доказательство. Пусть, для определенности, образ im T замкнут. Рассмотрим оператор S : H1 ! im T , действующий по правилу Sh1 = T h1, h1 2 H1. Тогда S – сюръекция, S : im T ! H1 – инъекция и поэтому образ im S

Предложение 6. Оператор T : H1 ! H2 является изоморфизмом в том и только том случае, когда сопряженный оператор T : H2 ! H1 является изоморфизмом.

Доказательство. Прямо следует из двойственности операторных инъекций и сюръекций (теорема 8 пункта 1.9).

Теорема 14. Пусть H1,H2 – гильбертовы пространства и T : H1 ! H2 – линейный оператор. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1)T – изоморфизм пространств H1 и H2;

2)ker T = f0g и существуют постоянные 0 < A B < ∞ такие, что для всех h1 2H1 выполняются неравенства

Akh1kH1 kT h1kH2 Bkh1kH1 ;

3) ker T = f0g и существуют постоянные 0 < A B < ∞ такие, что для всех h2 2H2 выполняются неравенства

Akh2kH2 kT h2kH1 Bkh2kH2 .

37

Доказательство. С учетом предложения 6 импликации 1) ) 2),3) очевидны. Докажем, для определенности, импликацию 2) ) 1). Согласно предложению 4 имеем (im T )? = ker T = f0g, откуда cl im T = H. По условию, T – инъекция. Поэтому T имеет замкнутый образ (см. начало доказательства теоремы 8). В итоге im T = H, т.е. T – сюръекция. Следовательно, T – биекция и по теореме Банаха об обратном операторе, T – изоморфизм. Аналогичные рассуждения при доказательстве импликации 3) ) 1) приводят к выводу о том, что T – изоморфизм. После этого останется применить предложение 6.

Определение 33. Ограниченный линейный оператор T : H ! H называется самосопряженным, если T = T .

Следствие 3. Если самосопряженный оператор является инъекцией, то он обратим.

Доказательство. Напомним, что T – инъекция, если при некотором δ > 0 имеем kT hkH δkhkH для всех h2H. Ввиду самосопряженности оператора выполняются условия 2), совпадающие с условиями 3) теоремы 14. По этой теореме T – изоморфизм, т.е. обратный оператор T 1 существует и ограничен.

Пусть T : H ! H – самосопряженный оператор. Отображение Q : H ! R, определяемое равенством

Q(h) = hT h,hiH , h 2H,

называют квадратичной формой, ассоциированной с оператором T . Заметим, что

Q(h) = hT h,hiH = hh,T hiH = hT h,hiH = Q(h),

откуда Q(h) 2 R.

Предложение 7. Для самосопряженного оператора T : H ! H справедливо равенство

kT kH!H = sup jQ(h)j.

khkH 1

Доказательство. Пусть

M = sup jQ(h)j.

khkH 1

38

Непосредственно проверяется, что

RehT h1,h2iH = Q( h1+2 h2 ) Q( h1 2 h2 ),

откуда

Заменив h2 на eiαh2, будем иметь jRe e iαhT h1,h2iH j M для всех h1 и h2 из единичного шара и всех α2R. Выбрав в качестве α аргумент комплекс-

ного числа hT h1,h2iH , получим jhT h1,h2iH j M. Отсюда находим

kT kH!H = sup sup jhT h1,h2iH j M.

kh1kH 1 kh2kH 1

С другой стороны, по неравенству Шварца jQ(h)j kT kH!H khk2H и поэтому M kT kH!H . В итоге kT kH!H = M.

Определение 34. Говорят, что самосопряженный оператор T : H ! H – положительный, и пишут T 0, если hT h,hiH 0 для всех h 2 H. Запись T1 T2 означает, что T2 T1 0.

Пример 10. Пусть H0 – замкнутое подпространство в H и P : H ! H – ортопроектор из H на H0. Так как каждый вектор h Ph ортогонален H0,

hPh1,h2iH = hPh1,Ph2 + (h2 Ph2)iH = hPh1,Ph2iH , hh1,Ph2iH = hPh1 + (h1 Ph1),Ph2iH = hPh1,Ph2iH ,

является ортопроектором. В самом деле, положим H0 = im P. Проверим, что H0 замкнуто. Для этого рассмотрим yn 2H0, n = 1,2,... , такие, что yn ! y. Имеем yn = Pxn и Pyn = P2xn = Pxn = yn. Устремив здесь n ! ∞, получим Py = y, т.е. y 2H0. Замкнутость подпространства H0 проверена. Вычислим

hPh0,(I P)hiH = hPh0,hiH hP2h0,hiH = 0.

Отсюда следует, что h Ph2H0?, т.е. Ph – ортогональная проекция вектора h на H0 и таким образом, P – ортопроектор из H на H0. Всякий ортопроектор является положительным самосопряженным оператором: P 0. Если P1,P2 – ортопроекторы на H1,H2, то P1 P2 равносильно H1 H2.

39

2.3. Слабая сходимость

Пусть H – гильбертово пространство.

Определение 35. Говорят, что последовательность fxng∞n=1 H слабо сходится к x 2H, если для любого y 2H имеем

lim hxn,yiH = hx,yiH .

n!∞

Слабую сходимость обозначают x = w- limn!∞ xn или «xn ! x слабо». При этом для «обычной» сходимости, т.е. сходимости по норме, употребляют также термин «сильная сходимость».

Теорема 15. Всякая слабо сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть xn ! x слабо. Рассмотрим последовательность

Ln(y) = hxn,yiH , y 2H, n = 1,2,...,

ограниченных линейных функционалов на H. Для каждого y 2H числовая последовательность (Ln(y)) сходится и поэтому ограничена:

sup jLn(y)j < ∞.

n=1,2,...

По принципу равномерной ограниченности Банаха–Штейнгауза, имеем

sup kLnkH < ∞.

n=1,2,...

Осталось заметить, что kLnkH = kxnkH , n = 1,2,... .

Теорема 16. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность.

сходится. Точно также числовая последовательность (hx2,xn(ν1) iH )ν2N огра-

ничена, так что существует подпоследовательность fx g∞ последова-

n(ν2) ν=1

тельности fx g∞ , для которой (hx ,x i )ν сходится. На n-м шаге

n(ν1) ν=1 2 n(ν2) H 2N

найдем подпоследовательность fx g∞ последовательности fx g∞ ,

n(νn) ν=1 n(νn 1) ν=1

для которой (hxn,xn(νn) iH )ν2N сходится. В итоге получим счетный набор

последовательностей fx g∞ , n = 1,2,... , в котором каждая следующая

n(νn) ν=1

последовательность является подпоследовательностью предыдущей.

40