Приближение функций ограниченной p-вариации

Глава 1. Приближение периодических функций в p-вариационной и других метриках

Отметим, что (1.5.13) совпадает с результатом теоремы 2 в [13]. По лемме 1.5.4, используя (1.5.12), ряд ∑∞i=1 i1/p−1ωk ( f ,1/i)p) можно оценить через ∑∞i=1 εi/i, откуда следует его сходимость. В самом деле, в силу (1.5.12)

Подставляя (1.5.12) во второе слагаемое из правой части (1.5.13), получаем

Первое слагаемое правой части (1.5.15) имеет такой же порядок, как правая часть (1.5.14), ко второму же применим лемму 1.5.2, учитывая, что

k + 1 − 1/p > 1. Получаем, что оно не превосходит C12 ∑∞i=n i−1εi ≤C13εn. Последнее выражение также оценивается правой частью (1.5.14). Сум-

мируя эти оценки, доказываем теорему.

Замечание 1.5.3. Данная теорема показывает неулучшаемость теоремы 1.5.2 при некоторых ограничениях. Отметим, что результаты параграфа 1.5 принадлежат автору [21].

1.6. Асимптотические оценки модулей гладкости

Данный параграф тесно связан с предыдущим. Отправной точкой является следствие 1.5.2, в котором находится слабая асимптотика точной верхней грани p-вариационных модулей гладкости на классе функций с заданной мажорантой наилучших приближений в Vp. Поскольку

61

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

теория приближения в Vp и Lp тесно связаны друг с другом, далее мы будем рассматривать конструктивные характеристики (наилучшие приближения) и структурные (модули гладкости) не обязательно в одном пространстве.

Помимо класса EVp (ε), введенного в следствии 1.5.2, мы определим следующие классы, являющиеся компактными в соответствующих пространствах (см. [28, гл. 3, § 3.1] в случае пространств Lp, для Vp рассуждения аналогичны). Пусть ε = {εn}∞n=0 убывает к нулю и ω Φ. Тогда

Ep(ε) = { f L2pπ : En( f )p ≤ εn, n Z+},

Последовательность {ai}∞i=1 принадлежит классу GM, введенному С. Ю. Тихоновым (Tikhonov) [46], если для всех n N справедливо нера-

i=1

62

Глава 1. Приближение периодических функций в p-вариационной и других метриках

f почти всюду (см. теорему 1.5.1 и следствие 1.3.1). Целью параграфа является нахождение двусторонних оценок одинакового порядка (слабой асимптотики) для этих величин. Кроме того, доказываются аналоги теорем 1.5.2 и 1.5.3 (уточненных прямой и обратной теорем приближения в Vp) для модулей гладкости ωk−1/p( fe,1/n) сопряженных функций.

Утверждение леммы 1.6.1 вытекает из предложения 1.3.1 и аналога теоремы 1.3.9 для f Lp.

Лемма 1.6.1. Пусть r N, 1 < p < ∞, f Wpr . Тогда справедливо неравенство

Лемма 1.6.2 получена А. А. Конюшковым [47] для квазимонотонных последовательностей (см. лемму 1.5.4) и является распространением классического неравенства Харди – Литтлвуда (см. лемму 1.5.2) на случай 0 < r < 1. Нужный нам вариант следует из более общих результатов Л. Лейндлера (Leindler) [48].

Лемма 1.6.2. Пусть an ≥ 0 при n N, r > 0, c < 1 и a j ≤ C1an при n < j ≤ 2n. Тогда

Лемма 1.6.3 установлена М. Ф. Тиманом (Timan) [49, теорема 1]. Ее доказательство основано на теореме Харди – Литтлвуда об Lp-норме рядов Фурье с монотонными коэффициентами (см. [41, гл. XII, § 6, теорема 6.3, лемма 6.6]).

n=1

Лемма 1.6.4 обобщает результаты В. М. Кокилашвили [44], полученные для рядов Фурье с квазимонотонными коэффициентами (т. е. удовлетворяющими условию теоремы 1.5.4) и принадлежит С. Ю. Тихонову (Tikhonov) [46]. Самый простой способ ее доказательства связан с теоремой Литтлвуда – Пэли и использованием свойств последовательности из GM.

63

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

а подставляя в первое слагаемое правой части оценку (1.5.1), получаем неравенство леммы 1.6.5. Более длинное доказательство этой леммы можно найти в [22].

Далее под условием Бари для последовательности {εi}∞i=0 будем понимать выполнение неравенства

64

Глава 1. Приближение периодических функций в p-вариационной и других метриках

Доказательство. 1) Пусть 1 < p ≤ 2 (т. е. β = p) и g(x) – функция из леммы 1.6.3. Так как ее коэффициенты an убывают, по лемме 1.6.4 и теореме 1.2.4 находим, что

где g0 = g/A, A – константа из леммы 1.6.3. Из определения {ai}∞i=1 легко следует, что

∞

∆anp := anp − anp+1 = ∑(i + 1)−p(εip−1 − εip) i=n

и

∆2anp = ∆anp − ∆anp+1 = (n + 1)−p(εnp−1 − εnp).

Отсюда выводим εnp−1 = ∑∞i=n(i + 1)p∆2aip и, применяя дважды преобразование Абеля, получаем

∞

εnp−1 = ∑ aip ((i+1)p −2ip +(i−1)p)+(n+1)p∆anp+anp+1 ((n+2)p −(n+1)p) .

i=n+2

C помощью теоремы Лагранжа о среднем находим, что

65

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

при 1 < p ≤ 2 легко следует из леммы 1.6.5, выполнения условия Бари для {(i + 1)1/pεi}∞i=0 и известной оценки

∞!1/2

En(h)p ≤C9 ∑ (ε22i − ε22i+1 ) = C9ε2 j+1 ≤C9εn i= j+1

и для n = 0 аналогично E0(h)p ≤C9ε0. Более того,

66

Глава 1. Приближение периодических функций в p-вариационной и других метриках

и E0(h)2 = khk2 = π1/2ε0. Поэтому в силу неравенства (1.5.2) из леммы 1.5.1

Учитывая, что p > 2, с помощью теоремы 1.2.4 для f0 = h/C9 получаем

(1.6.5) что дает оценку снизу для An(k, p,ε). В силу условия Бари для {(i + + 1)1/pεi}∞i=0 и леммы 1.3.2 находим, что

и по лемме 1.6.5 получаем оценку сверху для An(k, p,ε). Здесь использо-

Из (1.6.6) следует оценка сверху для Bn(k, p,ε).

Для оценки снизу при 1 < p ≤ 2 рассмотрим функцию

∞

g(x) = ∑ k−1εk sin kx/(A + 1) + (21/p+1(A + 1))−1ε0 cos x,

k=1

67

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

(1.6.7) Но при 1 < p ≤ 2 верно, что β = p и β(k − 1/p) − 1 = pk − 2, т. е. нижняя оценка для Bn(k, p,ε) установлена при 1 < p ≤ 2. В случае ∞ > p > 2 рассмотрим функцию

Аналогично доказательству теоремы 1.5.5 имеем En(h1)Vp ≤C4εn, n N, и при этом использовалось условие Бари для {εi}∞i=0. Аналогичный результат верен при n = 0. С другой стороны, аналогично доказательству теоремы 1.6.1 находим, что

где h(x) = h1(x)/C4. Отсюда вытекает нижняя оценка для Bn(k, p,ε) при p > 2.

Теорема 1.6.3. Пусть 1 < p < ∞, β = min(p,2), k N, ωβ Bβ(k−1/p)

и при p > 2 функция ω удовлетворяет условию Бари (ω B). Тогда

Dn(ω,k, p) n−1/pω(n−1), n N.

Доказательство. Для оценки сверху используем неравенство (1.6.6), прямую теорему приближения в Vp (следствие 1.3.1) и условие ωβ

и верхняя оценка для Dn(ω,k, p) доказана.

68

Глава 1. Приближение периодических функций в p-вариационной и других метриках

Рассуждая, как в доказательстве теоремы 1.6.2, находим, что En(g1)Vp ≤

где ϕ = g при 1 < p ≤ 2 и ϕ = h при p > 2. Таким образом, нижняя оценка для Dn(ω,k, p) и теорема 1.6.3 доказаны.

Теорема 1.6.4. Пусть 1 < p < ∞, k N, β = min(p,2), ω Bk и функция δ−1/pω(δ) удовлетворяет условию Бари. Тогда

ωk−1/p( f0,n−1) ≤C1 n1/pω(n−1) + ∑ i1/p−1ω(i−1) ≤C2n1/pω(n−1).

Для оценки снизу используем функции, аналогичные функциям g и h из доказательства теоремы 1.6.1. Пусть

h1(x) = ∑(ω2(2−i) − ω2(2−i−1))1/2 cos 2ix.

i=0

Тогда En(g1)p ≤ C3ω(n−1), n N, E0(g1)p ≤ C3ω(1) по лемме 1.6.3 и по доказательству теоремы 1.6.1 имеем En(h1)p ≤C4ω(n−1), n N, E0(h1) ≤

≤ C4ω(1). Из теоремы 1.3.1 выводим, что для ω Bk условия En( f )p =

= O(ω(n−1)),n N, и ωk ( f ,δ)p = O(ω(δ)),δ [0; 2π], равносильны. Поэтому g = g1/A и h = h1/A принадлежат Hkω,p при достаточно большом A

69

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

и в силу леммы 1.6.1 или теоремы 1.5.1 функции g и h эквивалентны функциям g0 Cp и h0 Cp соответственно. Аналогично (1.6.4) и (1.6.5) имеем при 1 < p ≤ 2

(1.6.10) Из (1.6.9) и (1.6.10) выводим нижнюю оценку для Fn(ω,k, p). Теорема доказана.

Теперь распространим теоремы 1.5.2 и 1.5.3 на случай сопряженной функции.

=g(r) п. в. на R. Используя это замечание, теорему 1.2.4, соотношение f

70