Решение совместной системы линейных уравнений.

А)Формула Крамера. а) Пусть m=n и |A|≠ 0, значит , т.е. система совместна и определенна.

(1) ← алгебраические дополнения элем. k-того столбца. Предположим что х₁…х_n не неизвестные а их значения. Т.е. все эти равенства верные. Сложим все строки системы:

A_k получается из матрица A заменой k-того столбца столбцом свободных членов, чужим столбцом. Отсюда получаем: - формулы Крамера.

В) Пусть имеется СЛУ с n неизвестными, причем . Для определенности будем считать что базисный минор матрицы А расположен в левом верхнем углу матрицы А. Этот же минор будет базисным и для расширенной матрицы системы. Каждая строка расширенной матрицы системы не пересекающая базисный минор является линейной комбинацией строк, пересекающих базисный минор поэтому система СЛУ (1) эквивалентна системе:

. Если то неизвестные x_r+1…x_n называются свободными и слагаемые содержащие свободные неизвестные перенесем в правые части уравнений. Тогда система (2) примет вид: .

Неизвестные x₁…x_r - главные (базисные) неизвестные. Придавая свободным неизвестным различные значения из системы (3) мы будем каждый раз получать систему r уравнений с r неизвестными имеющие единственные решения . Т.к. определитель этой системы (3) есть базисный минор М≠0 объединяя (4) и (5) мы получаем общее решение системы (1): . Придавая величинам всевозможные значения из поля Р мы получаем все решения системы (1), каждое из которых называется частным в отличие от общего.

СЛУ можно решать матричным методом: АХ=В. Можно методом Гаусса: его суть в последовательном исключение неизвестных. Или методом Гаусса-Жордано: Представляет собой модификацию метода Гаусса, вмнсто того чтобы исключить x_k только в уравнениях k+1…n исключают x_k также и в уравнениях 1…k-1. При решении системы методом Гаусса-Жордано выбирают разрешающее уравнение и разрешающее неизвестное. В качестве разрешающего уравнения можно взять любое уравнение системы. А в качестве разрешающей неизвестной, неизвестное, коэффициенты при котором в выбранном уравнении отличны от 0. Далее делим обе части разрешающего уравнения на коэффициенты при разрешающем неизвестном и исключаем разрешающее неизвестное из всех уравнений системы кроме разрешающего. Преобразования производим до тех пор пока каждое уравнение системы не побывает в качестве разрешающего.

№17---------------------------------------------------------------------------

Необходимое и достаточное условие для того,чтобы ослу имела ненулевое решение.

Определение: СЛУ над полем Р называется однородной если все ее свободные члены равны 0, в противном случае она называется неоднородной.

Теорема: ОСЛУ всегда совместна т.к. имеет по крайней мере нулевое решение. Для того чтобы ОСЛУ имела не нулевое решение необходимо чтобы ранг матрицы этой системы был меньше числа неизвестных. В частности ОСЛУ с m уравнениями и n неизвестными имеет отличные от 0 решения тогда и только тогда когда .

Утверждение этой теоремы является следствием критерия определенности.

Пусть - какое-нибудь отличное от нуля решение ОСЛУ, это решение можно рассматривать как строку из n чисел. Если С – произвольное число то ясно что строка тоже решение ОСЛУ. Всякая линейная комбинация решений ОСЛУ является решением этой системы.

№18---------------------------------------------------------------------------