- •Понятие числового поля и матрицы над полем р...
- •Доказать, что любая транспозиция меняет характер четности перестановки. Определение Определителя n-ого порядка.
- •Теорема о разложении определителя на сумму определителей и следствия из нее.
- •Теорема о разложении определителя по элементам строки(столбца) и следствия из неё.
- •Операции над матрицами и их свойства. Доказать одно из них.
- •Операция транспонирования матрицы и её свойства.
- •Определение обратной матрицы. Доказать что у каждой обратимой матрицы существует лишь одно обращение.
- •Блочные матрицы. Сложение и умножение блочных матриц. Теорема об определителе квазитреугольной матрицы.
- •Теорема о существовании обратной матрицы.
- •Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя.
- •Понятие о линейной зависимости строк и столбцов матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •Метод элементарных преобразований. (Метод Гаусса)
- •Системы линейных уравнений. Критерий совместности и критерий определенности.
- •Решение совместной системы линейных уравнений.
- •Необходимое и достаточное условие для того,чтобы ослу имела ненулевое решение.
- •Однородные системы линейных уравнений. Теорема о существовании фундаментальной системы решений.
- •Теорема о связи между решениями неоднородных и соответствующих однородных систем.
- •2) Разность двух произвольных решений неоднородной системы двух уравнений является решением соответствующей ослу.
- •Линейные операции над векторами и их свойства. Доказать одно из них.
- •Cвойства линейных операций над векторами
- •Теорема о существовании и единственности разности двух векторов.
- •Определение базиса, координаты вектора в базисе. Теорема о разложении вектора по базису.
- •Линейная зависимость векторов. Свойства понятия линейной зависимости, доказать одно из них.
- •Декартовы системы координат в пространстве, на плоскости и на прямой. Теорема о линейной комбинации векторов и следствия из нее.
- •Определение смешанного произведения векторов. Теоремы, выясняющие геометрический смысл смешанного произведения.
- •2. Если линия на плоскости в некоторой дск может быть задана уравнением вида (2) то и в любой другой дск она может быть задана уравнением того же вида имеющим туже степень.
- •Параметрические уравнения прямой и плоскости.
- •Переход от общих уравнений плоскости и прямой на плоскости к их параметрическим уравнениям. Геометрический смысл коэффициентов а,в,с (а,в) в общем уравнении плоскости(прямой на плоскости).
- •Исключение параметра из параметрических уравнений на плоскости( в пространстве), канонические уравнения прямой.
- •Векторные уравнения плоскости и прямой. Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно заданному вектору(в п.Д.С.К.).
- •Расстояние между непараллельными прямыми. Вычисление углов: между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями
- •Квп. Вывод канонического уравнения гиперболы. Асимптоты гиперболы.
- •Квп. Вывод канонического уравнения параболы.
- •2. Поворот
- •Поверхности второго порядка и их классификация. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения.
- •Гиперболический цилиндр:
- •Основная теорема о пвп(без доказательства).Поверхности вращения.
Переход от общих уравнений плоскости и прямой на плоскости к их параметрическим уравнениям. Геометрический смысл коэффициентов а,в,с (а,в) в общем уравнении плоскости(прямой на плоскости).
Для этого перехода мы должны знать начальную точку и направляющие вектора. Пусть найдем начальную точку. Пусть . Для прямой начальная точка находится аналогично. Найдем теперь направляющие векторы. Пусть - уравнение прямой на плоскости и - начальная точка(*). . . Уравнение (*) равносильно уравнению (**). Если обозначить буквой М точку с координатами то вектор параллелен прямой тогда и только тогда когда точка М принадлежит прямой, т.е. когда верно равенство (**). Отсюда следует утверждение: Каждый ненулевой вектор с координатами (α1, α2) удовлетворяет условию: может быть принят за направляющий вектор прямой которая имеет своим уравнением уравнение в ОДСК. В частности вектор с координатами (-В,А) можно взять в качестве направляющего вектора прямой. Аналогично доказывается утверждение: Любых два неколлинеарных вектора координаты которых удовлетворяют условию могут быть приняты за направляющие векторы в плоскости, имеющую своим уравнением в ОДСК.
Геометрический смысл коэффициентов А,В,С(А,В) в общем уравнении плоскости (прямой на плоскости) в прямоугольной ДСК: Обозначим через - вектор с координатами (А,В). Левая часть уравнения (**) является скалярным произведением векторов и только в ПДСК. Поэтому из уравнения (**) следует что вектор с координатами (А,В) перпендикулярен вектору , если точка М принадлежит прямой. Таким образом вектор (А,В) перпендикулярен прямой, которая задается общим уравнением (*) в ПДСК и называется нормальным вектором прямой.
Аналогично вектор (А,В,С) является ортогональным плоскости которая задается общим уравнением в ПДСК и называется нормальным вектором в плоскости.
№34---------------------------------------------------------------------------
Исключение параметра из параметрических уравнений на плоскости( в пространстве), канонические уравнения прямой.
Рассмотрим на плоскости прямую заданную параметрическими уравнениями . а1 и а2 – координаты направляющего вектора. прямая не параллельна оси ОУ. -уравнение прямой решенное относительно ординаты. Его можно получить решая уравнение относительно у.
Определение : отношение координат направляющего вектора называется угловым коэффициентом прямой.
Таким образом справедливо утверждение: Если прямая не параллельна оси ОУ() то ее уравнение может быть записано в виде (4), где k – угловой коэффициент, а b – ордината пересечения прямой с осью ОУ.
Если ПДСК то из рисунка видно что Угол считается от оси абсцисс в направлении кратчайшего поворота от оси абсцисс к оси ординат.
Теорема: Если прямая параллельна оси ОУ(), то её уравнение имеет вид x=x0, где x0 – точка пересечения прямой с осью Ох.
Доказательство: Из (6) имеем (ч.т.д.)
Исключим теперь параметр t из параметрических уравнений в пространстве. - координаты направляющего вектора прямой. Предположим сначала что все координаты направляющего вектора отличны от нуля, тогда т.е.
Замечание: Прямая в пространстве всегда может быть представлена как линия пересечения двух плоскостей. Значит она и должна задаваться системой из двух уравнений.
Пусть одна из координат равна 0. Пусть для определенности , тогда уравнения (5) будут иметь вид .
Пусть и тогда . В этом случае прямая параллельна одной из координатных осей. В данном случае Oz.
Как правило пишут уравнение произвольной прямой в виде (2), уславливаясь считать что если равен 0 знаменатель, то числитель равен 0. Уравнения (2) называются каноническими уравнениями прямой. - направляющий вектор прямой.
№35---------------------------------------------------------------------------