Теорема о разложении определителя на сумму определителей и следствия из нее.

Теорема: Если каждый элемент некоторой строки матрицы определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей у которых все строки кроме данной прежние, а в данной строке в первом определителе стоят первые, а во втором – вторые слагаемые.(тоже верно и для столбцов).

Следствие1: Если к элементам некоторой строки матрицы определителя прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и тоже число С, то порожденный этой матрицей определитель не изменится.

Определение: Говорят, что одна из строк матрицы является линейной комбинацией остальных её строк, если она получается путем почленного сложения остальных её строк, умноженных на некоторое число.

Свойство: Если у матрицы одна из строк является линейной комбинацией остальных строк, то порожденный ею определитель равен 0.

Теорема о разложении определителя по элементам строки(столбца) и следствия из неё.

Определение: Минором элемента a_{i, k} определителя порядка n, называется определитель порядка n-1 матрица которого получается из матрицы данного определителя вычеркиванием i-той строки и k-того столбца, на пересечении которых расположен элемент a_{i, k}. Минор a_{i, k} обозначается М_{i, k}

Определение: Алгебраическим дополнением элемента a_{i, k} называется его минор, умноженный на (-1)^i+k. Обозначается А_i,k.Такимо бразом А_{i, k}=(-1)^i+k М_{i, k}.

Теорема: Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) его матрицы на их алгебраические дополнения.

Доказательство: А) Докажем что произведение а_1,1А_1,1 входит в состав определителя.

А_{1, 1}=(-1)¹⁺¹М_{1, 1}=М_{1, 1}= определитель (n-1) порядка = сумме (n-1)! его членов. Таким образом а_{1, 1}А_{1, 1} = сумме (n-1)! слагаемых. Надо доказать что каждое слагаемое этой суммы есть член первоначального определителя.

где S – число инверсий в перестановке α₂, α₃…α_n чисел 2,3… n.

Рассмотрим произведение а_{1, 1}А_{1, 1} .

Знак этого члена в первоначальном определителе определяется типом перестановки 1, α₂, α₃…α_n. Но число инверсий в этой перестановке совпадает с числом инверсий в перестановке α₂, α₃…α_n. А поэтому а_{1, 1}a_{2, α2} a_{3, α3}…a_{n, α n} в первоначальном определителе будет иметь тот же знак (-1)^S который оно имеет в сумме а_{1, 1}А_{1, 1}. Следовательно а_{1, 1}А_{1, 1} является частью суммы дающей первоначальный определитель.

В) Покажем что произведение а_{i, k}А_{i, k} входит в состав определителя.

Рассмотрим первоначальный определитель D и преобразуя его матрицу так, чтобы элемент а_{i, k} встал на первое место в первой строке: i-тую строку будем последовательно менять со строками i-1…1; после этого k-тый столбец будем последовательно менять местами со столбцами k-1…1. Получим определитель D’:

Пусть A’_i,k – алгебраическое дополнение элемента а_{i, k} в D’, М’_{i, k} – минор элемента а_{i, k} в D’.

A’_i,k= М’_{i, k}= М_{i, k} – минор элемента а_{i, k} в D.

В силу А) а_{i, k} A’_i,k= а_{i, k} М_{i, k} входит в D’. D’ получается из D (i-1)+(k-1)=i+k-2 транспозицией строк и столбцов. Поэтому D’=(-1)^i+kD а значит в D входит и

С) Выделим в матрице определителя некоторую строку a_{i, 1} a_{i, 2}…a_{i, n}. Все произведения а_i,1A_i,1, a_i,2A_i,2…a_i,nA_i,n входят в D в силу второй части доказательства. Эти произведения попарно не содержат одинаковых членов определителя D, т.к. члены определителя, входящие в два разных произведения отличаются множителями i-той строки. Отсюда следует что сумма а_i,1A_i,1+ a_i,2A_i,2+…+a_i,nA_i,n тоже входит в состав определителя.

Последняя сумма состоит из n произведений, а каждое произведение есть сумма (n-1)! Слагаемых, каждое из которых является членом определителя. Значит сумма равна нашему определителю.(ч.т.д.)

Следствие1( о чужой строке): Сумма произведений чисел b₁,b₂…b_n на алгебраические дополнения A_i,1,A_i,2…A_i,n элементов i-той строки определителя, равна определителю, матрица которого получается из матрицы данного определителя заменой i-той строки ( a_{i, 1} a_{i, 2}…a_{i, n}) строкой b₁,b₂…b_n ( чужой строкой).

Следствие2(о чужих алгебраических дополнениях): Сумма произведений элементов некоторой строки матрицы определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (чужие алгебраические дополнения) равна 0.

№3----------------------------------------------------------------------------