Декартовы системы координат в пространстве, на плоскости и на прямой. Теорема о линейной комбинации векторов и следствия из нее.

Фиксируем в пространстве любую точку О - начало системы координат. Пусть - базис в пространстве, отложим векторы от точки О. Три плоскости определяемые попарно координатными осями называются координатными плоскостями. Будем говорить, что мы построили систему координат. Пусть - произвольный вектор, его можно единственным образом представить в виде . Коэффициенты x,y,z в называются координатами вектора в пространстве. Они независят от выбора начала координат. - проекции вектора на координатные оси Ox, Oy,Oz, а числа x,y,z – являются величинами этих проекций соответственно, если - масштабные векторы соответствующих координатных осей. Если система координат задана то для указания вектора употребляют запись (x,y,z). Пусть М – произвольная точка пространства. - радиус вектор этой точки. Декартовыми координатами точки М называются координаты (x,y,z) ее радиус вектора(смотри рисунок). Координаты точки зависят от начала выбора системы координат.

Простейшая Декартова система координат – прямоугольная. В случае ПДСК векторы - попарно ортогональны и длина каждого из них, измеренная масштабной единицей принятой для всего пространства равна 1. В ПДСК базисные векторы обозначаются (ось ОХ), (ось ОY), (ось ОZ). Все проекции в этом случае предполагаются прямоугольными. В отличие от специальных(ПДСК) ДСК в общем случае называются общими ДСК.

Базисная тройка векторов подразделяется на два типа правая и левая. Базис называется

правым, если при наблюдении с

конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму осуществляется против часовой стрелки и наоборот. Соответствующие им системы координат также называются правыми и левыми.

Замечание: Если длины базисных векторов равны 1 то СК называется нормированной. Во многих случаях длина вектора называется его нормой. Если базисные вектора попарно ортогональны то и СК – ортогональная. Ортогональная и нормированная СК называется ортонормированной.

Координаты линейной комбинации векторов. Введение координат для векторов позволяет сводить различные соотношения между векторами к числовым соотношениям между их координатами.

Теорема: Координаты линейных комбинаций векторов равны таким же линейным комбинациям соответствующих координат линейных векторов.

Доказательство: Координаты векторов есть величины их проекций на соответствующих координатных осях. Но тогда утверждение теоремы следует из теоремы о величинах проекций линейных комбинаций векторов.

это равносильно следующей системе равенств

Следствие 1:

Следствие 2: Для того чтобы два вектора были коллинеарны необходимо и достаточно чтобы их координаты были пропорциональны.

Доказательство: Пусть вектор параллелен вектору следовательно . Векторное равенство (**) равносильно: Если все координаты отличны от 0 то .

№25---------------------------------------------------------------------------

Вывод формул выражающих координаты точки в одной ДСК через координаты этой же точки в другой ДСК.

В старой системе: .

В силу единственности разложения вектора по базису получим: . Эти формулы выражают старые координаты точки М через ее новые координаты.

тогда связь между новыми и старыми координатами:

№26---------------------------------------------------------------------------

Скалярное произведение векторов: определение и основные свойства, доказать одно из них. Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается или . (1)

Если хотя бы один из векторов – нулевой вектор то скалярное произведение равно 0.

Через m и n обозначим оси определяемые единичными векторами и .

Вместо (1) мы можем написать

Понятие скалярного произведения имеет свой источник в физике. Например если -сила, точка приложения которой перемещается из начала вектора в конец, то работа при этом совершаемая равна .

Свойства скалярного произведения:

1) (2) – коммутативность.

2) (3)

(3’)

Доказательство: (3) – доказано.

3)Дистрибутивность

Доказательство :

Из первых трех свойств вытекает, что скалярное произведение двух линейных комбинаций векторов можно производить почленно. Отметим некоторые геометрические свойства скалярного произведения:

4)Для того, чтобы , необходимо и достаточно чтобы хотя бы один из векторов равнялся 0 или .

5)

Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов:

Пусть в пространстве задана ДПСК. Составим таблицу скалярных произведений базисных векторов.

Пусть

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух ненулевых векторов:

Если и вектор составляет с осями координат углы тогда . называются направляющими вектора .

Если то

.

Пусть задана координата двух точек и тогда

.

№27---------------------------------------------------------------------------

Векторное произведение векторов:определение и основные свойства.Выражение векторного произведения через

координаты перемножаемых векторов.

Определение: Векторным произведением векторов и называется вектор обозначаемый который удовлетворяет трем следующим условиям: 1.

2. Вектор перпендикулярен векторам и .

3. Тройка векторов ,, является правой.

Рассмотрим основные свойства векторного произведения: 1) является необходимым и достаточным условием линейной зависимости( коллинеарности) векторов и .

2) Если не параллелен то площади параллелограмма построенного на векторах и , точка О – произвольная. Это утверждение следует из условия 1 векторного произведения векторов и известной теоремы из школьной геометрии: площадь треугольника

3)

Доказательство:

4)

Доказательство: Докажем равенство (а). При α=0 или параллельном утверждение очевидно. Пусть α≠0 и не параллельно .

Правая часть:

Левая часть: 1. α >0

2. α <0

Векторы в обеих частях коллинеарны так как и тот и другой перпендикулярны векторам и , осталось доказать что эти векторы соноправленны. Если α >0 то эти векторы направлены также как и . Если α <0, то каждый из этих векторов направлен противоположно вектору (ч.т.д.)

Равенство (б) следует из (а) и свойства (3):

5) Дистрибутивность:

Доказательство: Докажем равенство (а’). Пусть единичный вектор(орт ).. Сначала докажем равенство .

От точки О отложим векторы и . Через точку О проведем плоскость перпендикулярную . Повернем по часовой стрелке на 90 градусов если смотреть с конца вектора . . - правая тройка. . Значит . Докажем равенство(*). Повернем треугольник OA’B’ на угол 90 градусов если смотреть с конца вектора .

(*) доказана. Теперь обе части равенства (*) умножим на : (ч.т.д.)

№27прододжение---------------------------------------------------------

Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов. Если задано разложение векторов и по векторам базиса то мы можем записать на основании свойств 4 и 5:

В ортонормированном базисе : . (+ если тройка векторов правая, - если левая)

Для определенности будем считать что базис всегда правый. Таким образом получим следующее утверждение: В ортонормированном базисе векторное произведение векторов выражается через координаты сомножителей следующей формулой: .

Чтобы запомнить эту формулу достаточно заметить что если разложить определитель по элементам первой строки, то мы получим правую часть(**).

Таким образом произведение не

Замечание: Векторное обладает свойством ассоциативности. Например:

№28---------------------------------------------------------------------------