- •Понятие числового поля и матрицы над полем р...
- •Доказать, что любая транспозиция меняет характер четности перестановки. Определение Определителя n-ого порядка.
- •Теорема о разложении определителя на сумму определителей и следствия из нее.
- •Теорема о разложении определителя по элементам строки(столбца) и следствия из неё.
- •Операции над матрицами и их свойства. Доказать одно из них.
- •Операция транспонирования матрицы и её свойства.
- •Определение обратной матрицы. Доказать что у каждой обратимой матрицы существует лишь одно обращение.
- •Блочные матрицы. Сложение и умножение блочных матриц. Теорема об определителе квазитреугольной матрицы.
- •Теорема о существовании обратной матрицы.
- •Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя.
- •Понятие о линейной зависимости строк и столбцов матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •Метод элементарных преобразований. (Метод Гаусса)
- •Системы линейных уравнений. Критерий совместности и критерий определенности.
- •Решение совместной системы линейных уравнений.
- •Необходимое и достаточное условие для того,чтобы ослу имела ненулевое решение.
- •Однородные системы линейных уравнений. Теорема о существовании фундаментальной системы решений.
- •Теорема о связи между решениями неоднородных и соответствующих однородных систем.
- •2) Разность двух произвольных решений неоднородной системы двух уравнений является решением соответствующей ослу.
- •Линейные операции над векторами и их свойства. Доказать одно из них.
- •Cвойства линейных операций над векторами
- •Теорема о существовании и единственности разности двух векторов.
- •Определение базиса, координаты вектора в базисе. Теорема о разложении вектора по базису.
- •Линейная зависимость векторов. Свойства понятия линейной зависимости, доказать одно из них.
- •Декартовы системы координат в пространстве, на плоскости и на прямой. Теорема о линейной комбинации векторов и следствия из нее.
- •Определение смешанного произведения векторов. Теоремы, выясняющие геометрический смысл смешанного произведения.
- •2. Если линия на плоскости в некоторой дск может быть задана уравнением вида (2) то и в любой другой дск она может быть задана уравнением того же вида имеющим туже степень.
- •Параметрические уравнения прямой и плоскости.
- •Переход от общих уравнений плоскости и прямой на плоскости к их параметрическим уравнениям. Геометрический смысл коэффициентов а,в,с (а,в) в общем уравнении плоскости(прямой на плоскости).
- •Исключение параметра из параметрических уравнений на плоскости( в пространстве), канонические уравнения прямой.
- •Векторные уравнения плоскости и прямой. Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно заданному вектору(в п.Д.С.К.).
- •Расстояние между непараллельными прямыми. Вычисление углов: между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями
- •Квп. Вывод канонического уравнения гиперболы. Асимптоты гиперболы.
- •Квп. Вывод канонического уравнения параболы.
- •2. Поворот
- •Поверхности второго порядка и их классификация. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения.
- •Гиперболический цилиндр:
- •Основная теорема о пвп(без доказательства).Поверхности вращения.
Операции над матрицами и их свойства. Доказать одно из них.
Число элементов в строке называется длиной строки.
Определение: Две матрицы называются равными если их размерности равны и равны элементы, стоящие на соответствующих местах.
Определение: Чтобы умножить матрицу на число или число на матрицу, надо каждый элемент матрицы умножить на это число.
Из этого определения вытекают свойства:
-
А*α=α*А
Матрица все элементы которой равны 0 обозначается О.Ясно что для любой матрицы А из поля Р и для каждых чисел α, β из поля Р имеют место соотношения:
-
1*А=А
-
0*А=О α*О=О
-
α(βА)=( α β)А
Определение: Суммой двух матриц А и В одинаковой размерности называется матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых матриц.
Из этого определения вытекают следующие свойства:
-
А+(В+С)=(А+В)+С – ассоциативность
-
А+В=В+А – коммутативность
-
(α+β)А=αА+ βА – дистрибутивность операции умножения числа на матрицу относительно сложения чисел.
α(А+В)= αА+ αВ – дистрибутивность операции умножения числа на матрицу относительно сложения матриц.
-
4)А+О=А Матрица (-1)А – называется противоположной матрице А и обозначается «-А».
-
А+(-А)=0 (-α)А=-(αА)
-(А+В)=-А+(-В) -(-А)=А
Определение: Для краткости матрицу А+(-В) записывают А-В и называют эту матрицу разностью матриц А и В.
Определение: Пусть даны две матрицы А и В, причем в первой матрице число столбцов равно числу строк во второй матрице
Тогда матрица С=(Сc,j)m,n, где называется произведением матриц А и В. С=А*В.
Правило умножения матриц можно сформулировать следующим образом:
Чтобы получить элемент стоящий в i-той строке и j-том столбце произведения двух матриц нужно элементы i-той строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы j-том столбца второй матрицы и полученные произведения сложить.
Произведение двух матриц некоммутативно, т.е. в общем случае А*В≠В*А
Если рассматривать матрицы не квадратные то может случиться что произведение матриц в одном порядке имеет смысл а в другом не имеет смысла:
Можно доказать следующие свойства умножения матриц:
1)α(АВ)= (αА)В=А(αВ) Общее значение этих матриц обозначается просто αАВ.
2)(А+В)*С=АС+ВС – дистрибутивность операции умножения матриц справа относительно сложения матриц.
3)С(А+В)=СА+СВ – дистрибутивность операции умножения матриц слева относительно сложения матриц.
Из свойств 2) и 3) следует: Чтобы умножить сумму матриц на сумму матриц нужно каждую матрицу первой суммы умножить на каждую матрицу второй суммы и полученные произведения сложить.
-
А(ВС)=(АВ)С – ассоциативность.
Общее обозначения матриц АВС. Идея всех доказательств доказать что размерности матриц слева и справа равны и что соответствующие элементы матриц равны.
Произведение нескольких матриц А1,А2…Аn записанных в определенном порядке от способа расстановки скобок не зависит.
Определение: Квадратная матрица все диагональные элементы которой равны 1, а все недиагональные равны 0, называется единичной матрицей. Обозначается Е.
Непосредственно вычислением устанавливается основное свойство единичной матрицы: АЕ=ЕА=А
Определение: Матрица все элементы которой кроме элементов стоящих на главной диагонали равны 0 называется диагональной матрицей:
Из определения суммы и произведения матриц следует что сумма и произведение диагональных матриц есть диагональные матрицы