2. Поворот

№48------дописать--------------------------------------------------------

Поверхности второго порядка и их классификация. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения.

ПВП - множество точек прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению 2 степени: (1)

Предполагается, что хотя бы один из коэффициентов при квадратах или при произведениях отличен от 0. Уравнение инвариантно относительно выбора системы координат.

Теорема Любая плоскость пересекает ПВП по КВП за исключением особого случая, когда в сечении – вся плоскость.(ПВП может быть плоскостью или парой плоскостей).

Существует 15 типов ПВП. Перечислим их указав уравнения, которыми они задаются в подходящих системах координат. Эти уравнения называются каноническими(простейшими). Строят геометрические образы соответствующие каноническим уравнениям методом параллельных сечений: Пересекают поверхность координатными плоскостями и плоскостями параллельными им. В результате получают сечения и кривые, которые дают представление о форме поверхности.

1. Эллипсоид.

Если a=b=c то получаем сферу.

2. Гиперболоиды.

1). Однополостный гиперболоид:

Cечение однополостного гиперболоида координатными плоскостями: XOZ: - гипербола.

YOZ: - гипербола.

Плоскостью XOY: - эллипс.

2). Двуполостной гиперболоид.

Начало координат – точка симметрии.

Координатные плоскости – плоскости симметрии.

Плоскость z = h пересекает гиперболоид по эллипсу , т.е. плоскость z = h начинает пересекать гиперболоид при | h |  c. Сечение гиперболоида плоскостями x = 0 и y = 0 - это гиперболы.

Числа a,b,c в уравнениях (2),(3),(4) называются полуосями эллипсоидов и гиперболоидов.

3. Параболоиды.

1). Эллиптический параболоид:

Сечение плоскостью z = h есть , где . Из уравнения видно, что z  0 – это бесконечная чаша.

Пересечение плоскостями y = h и x=h - это парабола и вообще

2). Гиперболический параболоид:

Очевидно, плоскости XOZ и YOZ – плоскости симметрии, ось z – ось параболоида. Пересечение параболоида с плоскостью z = h – гиперболы: , . Плоскость z=0 пересекает гиперболический параболоид по двум осям которые являются ассимптотами.

4. Конус и цилиндры второго порядка.

1). Конус – это поверхность . Конус оюразован прямыми линиями, проходящими через начало координат 0 ( 0, 0, 0 ). Сечение конуса – это эллипсы с полуосями .

2). Цилиндры второго порядка.

Это эллиптический цилиндр .

Какую бы прямую мы не взяли пересекающую эллипсы и параллельную оси Oz то она удовлетворяет этому уравнению. Перемещая эту прямую вокруг эллипса получим поверхность.

Гиперболический цилиндр:

На плоскости ХОУ это гипербола. Перемещаем прямую пересекающую гиперболу параллельно Oz вдоль гиперболы.

Параболический цилиндр:

На плоскости ХОУ это парабола.

Цилиндрические поверхности образуются прямой(образующей) перемещающейся параллельно самой себе вдоль некоторой прямой(направляющей).

Далее идут ПВП состоящие из плоскостей.(это тоже цилиндры т.к. плоскость состоит из параллельных прямых).

10. Пара пересекающихся плоскостей

11.Пара параллельных плоскостей

12. - прямой

13.Прямая – «цилиндр», построенный на одной точке

14.Одна точка

15.Пустое множество

№49---------------------------------------------------------------------------