Понятие о линейной зависимости строк и столбцов матрицы. Теорема о ранге матрицы.

Определение: Строки А=(а₁,...,а_n), В=(b₁,...,b_n),...С=(с₁,с₂,...,с_n) называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа , не все равные нулю, что справедливы равенства : , и соответственно строки называются линейно независимыми, если эти равенства возможны, когда все числа равны нулю.

Очевидными являются следующие условия:

1.)Для того что бы одна из строк являлась линейной комбинацией остальных строк необходимо и достаточно чтобы все строки были линейно зависимыми

2.)Если некоторые строки(столбцы) матрицы линейно зависимы, то и все строки(столбцы) этой матрицы линейно зависимы

3.)Пусть даны 2 системы столбцов(строк) a₁ ,a₂ ,…,a_m и b₁ ,b₂ ,…,b_n . Если все строки(столбцы) первой системы являются линейной комбинацией столбцов(строк) второй системы, то всякая линейная комбинация столбцов(строк) первой системы являются линейной комбинацией столбцов(строк) второй системы.

Теорема: Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых столбцов этой матрицы.

Доказательство: Пусть r(A)=r>0 Покажем что в А существует r линейно независимых столбцов. Пусть A_r матрица, определитель которой есть базисный минор М_r. Предположим что базисные столбцы матрицы линейно зависимы тогда линейно зависимыми будут столбцы матрицы А_r. В этом случае M_r=0 что невозможно, т.к. Mr базисный минор < >0. Таким образом, r линейно независимы. Теперь докажем р>r столб матрицы А линейно зависимы. Из этих р столбцов составим матрицу В. r(В)<=r т.к. каждый минор матрицы В является минором А и следовательно в матрице В нет миноров ≠ 0 порядок которых > чем r. Таким образом r(В)<р и хотя бы один столбец матрицы В не входит в её базисный минор. Этот столбец линейно выражается через остальные(по”Теор о базисном миноре ”). От сюда следует, что эти р-столбцы линейно зависимы.

Следствие: Max число линейно независимых строк матрицы А равно Max числу линейно независимых столбцов этой матрицы.

№12---------------------------------------------------------------------------

Методы вычисления ранга матрицы: метод окаймляющих миноров, метод элементарных преобразований.

Метод окаймляющих миноров.

Теорема: Пусть матрица А имеет отличный от 0 минор M_r r-го порядка, все миноры r+1 порядка содержат минор M_r(окаймляющий минор)=0, тогда ранг матрицы А=r.

Доказательство: Предположим что есть M_s s>r < >0 s-столбцы образующий этот минор будут линейно не зависимы ,т.к. все столбцы матрицы А образующие M_s являются линейной комбинацией r-столбцов на которых расположен минор M_r, то представив каждый столбец M_s в виде линейной комбинации столбцов на которых расположен минор M_r. И представив M_s в виде суммы определителей увидим, что каждый определитель этой суммы имеет пропорциональные столбцы, а значит M_s=0. Таким образом M_s=0 получили противоречие, значит наивысший порядок отличный от 0 M_r= M_r r, т.е. r(A)=r. ч.т.д.

Правило вычисления ранга матрицы: Ищем минор первого или сразу второго порядка ≠0 затем вычисляем окаймляющие его миноры следующего порядка до тех пор пока не найдем среди них отличный от 0. Если уже найден минор отличный от нуля то вычисляем окаймляющие его миноры. Если все они равны 0 или таких миноров не существует(число строк и столбцов матрицы А равно r) то ранг матрицы равен r. Если среди миноров r+1 порядка есть отличный минор от 0 то продолжаем этот процесс.