№1----------------------------------------------------------------------------

Понятие числового поля и матрицы над полем р...

Говорят, что на множестве Х задана алгебраическая операция, если каждой упорядоченной паре элементов х, у из Х поставлен в соответствие определенный третий элемент Z из этого множества.

Элемент Z называется композицией элементов x и y. Например алгебраическая операция может быть названа сложением и тогда Z – сумма элементов x и y(Z=x+y). Алгебраическая операция может быть названа умножением и тогда Z – произведение элементов x и y(Z=x*y). Сложение векторов – алгебраическая операция. Скалярное произведение векторов не является алгебраической операцией, т.к. каждой паре векторов в соответствие ставится не вектор а число.

Возможно, что для операции определенной на Х будет определена новая терминология и символика. Алгебраическая операция обозначается “°”. Композиция элементов х и у Z=x°y.

Множество чисел называется замкнутым относительно некоторой алгебраической операции(+,-,*,/), если результат, произведенный над любыми двумя числами множества принадлежит этому множеству(когда речь идет о делении делитель не равен 0). Например N - множество натуральных чисел(+,*), Z - множество целых чисел, Q – множество рациональных чисел(+,-,*,/).

Множество чисел, замкнутое относительно некоторых алгебраических операций(+,-,*,/) называется числовым полем.

Р – любое числовое поле, а не = 0, тогда а/а=1 принадлежит Р следовательно Z принадлежит Р. Каждое Q есть отношение двух Z чисел следовательно принадлежит Р, значит в поле Р содержатся все Q, которые сами образуют поле.

Пусть Р – произвольное числовое поле, n,m – любые целые числа.

Упорядоченная совокупность n*m чисел поля Р, записанная в виде прямоугольной таблицы в которой n - строк и m – столбцов называется матрицей размерностью n*m.

Матрицы обозначаются А,В,С… Числа поля Р составляющего матрицу называются её элементами. Если все элементы матрицы А обозначить а_i,j где i – номер строки, а j – номер столбца на пересечении которых расположен этот элемент, то матрицу записывают заключая таблицу чисел в круглые скобки. Матрицу у которой m=n называют квадратной матрицей порядка m.

Доказать, что любая транспозиция меняет характер четности перестановки. Определение Определителя n-ого порядка.

Каждое расположение чисел 1,2…n в некотором порядке называется перестановкой. Число всех перестановок S=n! Перестановка 1,2…n называется главной.

Если из двух данных чисел перестановки большее стоит впереди меньшего, то говорят, что эти числа образуют инверсию.

Например, в перестановке 5,2,3,4,1,6 пары чисел 5 и 2, 5 и 3, 5 и 4, 5 и 1, 2 и 1, 3 и 1, 4 и 1 образуют инверсию. S=7.

Количество всех инверсий образованных числами перестановки k₁, k₂…k_n называются числом инверсий перестановки и обозначается S(k₁, k₂…k_n).

Данная перестановка называется четной или нечетной в зависимости от того четно или нечетно число инверсий этой перестановки. Таким образом перестановка 5,2,3,4,1,6 нечетна.

Пусть дана произвольная перестановка чисел(n>=2) 1,2…n. Операция, которая переставляет какие-либо два числа перестановки называется транспозицией. Транспозиция чисел k и l обозначается(k, l).

Теорема1: Любая транспозиция переводит четную перестановку в нечетную, а нечетную в четную.

Доказательство: Рассмотрим (k, l). Если числа k и l в перестановке стоят рядом, то транспозиция (k, l) изменяет число инверсий в перестановке ровно на 1, а значит переводит перестановку из четной в нечетную и наоборот. Пусть между числами k и l есть несколько чисел (… k,a₁,a₂…a_r,l…) (1) перед k и после l могут быть а могут и не быть числа. (… l,a₁,a₂…a_r,k…) (1’)

Надо показать что перестановки (1) и (1’) имеют разный характер четности. Транспозиция (k, l) равносильна последовательному применению транспозиции соседних элементов.

(k,a₁),(k,a₂)…(k,a_r),(k,l),(a_r,l),(l,a_r-1)…(l,a₁) – транспозиций 2r+1. Значит последовательное применения транспозиций соседних элементов приведет к изменению характера четности перестановки(ч.т.д.)

Теорема2: Количество всех четных перестановок чисел 1,2…n равно количеству всех нечетных перестановок этих чисел и равно n!/2.

Доказательство: Пусть среди перестановок n – чисел S₁-четных S₂-нечетных. S₁+S₂=n! Во всех перестановках чисел 1,2…n осуществим одну и ту же транспозицию, тогда по теореме1 каждая нечетная перестановка перейдет в четную а четная в нечетную. Следовательно, будет S₁ нечетных и S₂ четных. Следовательно, S₂ =S₁.(ч.т.д.)

Замечание: Очевидно, что от любой перестановки чисел 1,2…n можно перейти к любой другой перестановки этих чисел с помощью некоторого числа транспозиций.

Легко заметить что определители 2 и 3 порядков есть алгебраические суммы всевозможных произведений которые можно составить из элементов соответствующих матриц беря ровно по 1 множителю из каждой строки и каждого столбца. Напишем все произведения так, чтобы множители были расположены в порядке следования строк, т.е. чтобы первые индексы образовывали главную перестановку, тогда вторые индексы в указанном произведении образуют следующие перестановки:

для определителя 2 порядка: 1,2 и 2,1;

для определителя 3 порядка: 123 и 321 и 231 и 321 и 213 и 132.

Если в определителях 2 и 3 порядка записать множитель некоторого произведения в порядке следования строк, то знак этого произведения будет + или – в зависимости от того четная ил нечетная будет перестановка индекса столбцов в этом произведении.

Определителем n-ного порядка порожденным квадратной матрицей n-ного порядка называется алгебраическая сумма всех возможных произведений каждый из которых в качестве множителя содержит 1 и только 1 элемент из каждой строки и каждого столбца матрицы. Перед произведением ставится знак + или – в зависимости от того четной или нечетной будет перестановка индексов столбцов в этом произведении при условии что множители выписаны в порядке следования строк, т.е. первые индексы образуют главную перестановку. Обозначают определитель, заключая соответствующую матрицу в вертикальные черточки.

Отдельные произведения алгебраической суммы называются членами определителя. Членов в определителе столько, сколько существует перестановок из n-индексов. Половина членов определителя с +, половина с -.

№2----------------------------------------------------------------------------

Свойства определителей,доказать одно из них.Теорема о разложении определителя по элементам строки(столбца).

Следствия из этой теоремы.

Теорема о равноправности строк и столбцов матрицы определителя.

Теорема: Определитель порожденный матрицей не изменится если в ней поменять местами строки со столбцами.

Теорема о перестановке 2х строк матрицы определителя. Определитель с двумя одинаковыми строками.

Теорема: Если в матрице определителя поменять местами 2 строки, то определитель изменит знак на противоположный.

Следствие: Определитель с двумя одинаковыми строками равен 0. и D=0.(ч.т.д.)

Теорема об умножении некоторой строки матрицы определителя на одно и то же число. Определитель с двумя пропорциональными строками.

Теорема: Если все члены некоторой строки матрицы определителя умножить на некоторое число с, то порожденный ею определитель умножится на это число.(Общий множитель элементов некоторой строки матрицы можно вынести за знак определителя).

Доказательство: Если определитель D представить по определению как алгебраическую сумму всевозможных произведений, то каждый член определителя в качестве множителя будет содержать число С. Вынесем С за скобку. Алгебраическая сумма, которая будет находиться в скобках, равна определителю матрицы А.(ч.т.д.)

Следствие: Определитель с двумя пропорциональными строками равен 0.