Лекция №6 Расчет зубчатого зацепления на контактную прочность

Рис. 6.1

Расчет сводится к удовлетворению усло­вия, по которому контактные напряжения зубьев не должны превышать допускаемые. Расчет ведут для зацепления в полюсе (рис. 6.1), т.к. выкрашивание начинается у полюсной линии.

В качестве исходной принимают формулу Герца-Беляева для наибольших контактных напряжений при скольжении цилиндров, соприкасающихся вдоль образующей

. (6.1)

Входящие в формулу (6.1) величины известны из предыдущих лекций.

Обозначим - коэффициент, учитывающий механические свойства материала колес. Для стальных колесz_м=275МПа.

Получим . (6.2)

Здесь - погонная нагрузка, где- длина контактных линий

(в прямозубых передачах );

Так как получаем. (6.3)

Приведенный радиус кривизны . По свойству эвольвенты

, поэтомуи

Так как , следовательно

и . (6.4)

Подставив выражения (6.3) и (6.4) в уравнение (6.2), получим

.

Так как, то

Обозначим - коэффициент, учитывающий форму сопряженных поверхностей ( прикоэффициент), тогда

Впередачах высокой точности (выше седьмой) вводится коэффициент, учитывающий влияние коэффициента торцевого перекрытия. Этот коэффициент получен экспериментальным путем. При отсутствии необходимости повышенной точности расчета можно принимать, что соответствует.

Окончательно получим

Таким образом, контактная прочность зубчатых колес определяется межосевым расстоянием, передаточным числом и шириной зубчатого венца, но не зависит от модуля.

Проектировочный расчет. Для проектировочного расчета представим ширину зубчатого венца в виде

(6.6)

где -коэффициент ширины зубчатого венца относительно межосевого расстояния.

Начальный диаметр шестерни выразим через передаточное отношение U и межосевое расстояние

(6.7)

Подставив выражения (6.6) и (6.7) в уравнение (6.5) и возведя обе части в квадрат, получим

откуда

или

,

где - вспомогательный коэффициент.

Для зубчатых передач низкой точности среднее значение этого коэффициента определяется по таблицам или графикам, приводимым в справочниках.

Расчет на изгибную прочность

Расчет зубьев на изгиб производится в предположении:

1. Вся нагрузка зацепления передается одной парой зубьев и приложена к вершине зуба, что возможно в том случае, если их деформации (разность основных шагов);

2. Зуб рассматривается как консольная балка, для которой справедливы методы сопротивления материалов;

3. Силами трения пренебрегаем.

Под нагрузкой зуб деформируется (рис 6.2), тогда угол .

Р

Рис. 6.2 Рис. 6.3

ассмотрим отдельно один зуб шестерни (рис.6.3).

Перенесём силу F_n вдоль линии зацепления, что возможно, ибо это окажет действие только на участке переноса, но никак не в опасном сечении по изгибу. Опасным будет сечение а-а' там, где балка равнопрочного сечения, имеющая вид параболы, пересекается с поверхностью зуба. Сила F_t' изгибает, а F_r' сжимает зуб. Согласно эпюре (рис. 6.3) напряжение в наиболее опасной точкеa

. (6.8)

Изгибающие напряжения

,

где T_и – изгибающий момент;W– момент сопротивления изгибу в опасном сечении.

Размеры опасного сечения S₀ иb_w, а расстояние от точки приложения усилия до опасного расчетного сеченияl₀.

Принимая и, получим

(6.9)

Напряжения сжатия определяются в виде

(6.10)

Подставив выражения (6.9) и (6.10) в равенство (6.8), с учетом концентрации напряжений у ножки зуба (учитывается коэффициентом k_ ), получим

, (6.11).

где ; (6.12)

(6.13)

В опасном сечение принимаем S₀=S’и, гдеS’ иl’– безразмерные коэффициенты.

Подставив выражения (6.12) и (6.13) в уравнение (6.11), получим

Обозначим- коэффициент формы зуба. Это безразмерный коэффициент, величина которого зависит только от формы зуба (l’, S’, ’), в том числе и от формы галтели (k_).Ранее было показано, что форма зуба при одинаковом исходном контуре инструмента зависит в основном от числа зубьев колесаzи коэффициента смещения инструментаx,таким образом,Y_F=f(z, x, ).

Для колес с внутренним зацеплением

.

Условие прочности по изгибу будет

.

Учитывая, что , получим формулу для проверочного расчета

. (6.14)

Так как число зубьев шестерни и колеса различно, то различны Y_F1 и Y_F2, поэтому проверочный расчет для шестерни и колеса нужно делать отдельно.

Проектировочный расчет на изгиб. Возможны два варианта решения.

1. Рассмотрим случай, когда из расчета по контактным напряжениям известны a_w и b_w. Из формулы (6.14) выражаем , учитывая,

что , окончательно получаем выражение длямодуля

.

2. Если габариты передачи определяются изгибной прочностью и известно z₁,то для некорригированной передачиd_w1=d₁=mz₁.

Обозначим , тогда

.

Откуда получаем выражение для определения модуля при проектировочном расчете

.