книги / Общая термодинамика.-1

Как и внутренняя энергия системы, содержащееся в ней количество движения является функцией состояния, и поэтому можно записать

1.2. Сразу отметим, что по определению Ньютона (в дифферен­ циальной форме для движущихся частиц неизменной массы) спра­ ведливо

и (1.4) не раскрывается. Лишь утверждается, что есть некоторый экстенсивный параметр — импульс, считающийся базовым, хотя его также возможно представить и как обобщенный экстенсивный по (1.3).

1.3.Состояние системы, задаваемое (1.2), характеризуется тем, что направление скорости не определено. Здесь следуег особо под­ черкнуть, что традиционно в термодинамике направление процесса не рассматривалось. Поэтому и векторный анализ в термодинами­ ческом методе изучения явлений не использовался.

Вместе с тем, чтобы быть точным, необходимо говорить о ко­ личестве движения как о мере механического движения, представля­ ющей собой векторную величину, равную для материальной точки произведению скалярной величины — массы этой точки (или сово­ купности тождественных точек, находящихся в системе) на ее ско­ рость и направленную так же, как вектор скорости.

1.4.Формы механического движения материальных — здесь кон­ кретно имеющих массу — частиц весьма многообразны. Они явля­ ются предметом механики. Для общей термодинамики при обобщенном рассмотрении движения достаточно опосредованного определения количества движения по (1.1)—(1.4) с указанием на­ правления этого движения нижним индексом.

1.5.Закон сохранения количества движения, открытый Декар­ том, относился к поступательному движению. После работ Эйлера

иБернулли этот закон был распространен и на вращательное дви­ жение и нашел свое выражение также в законе сохранения момента количества движения.

Определение количества движения как экстенсивного термодина­ мического параметра состояния ставит этот закон сохранения в ряд

других, определяемых уравнением

или, в дифференциальной форме,

утверждающим, что изменению /7,-параметра в данной системе со­ ответствует такое же, но обратное по знаку изменение в другой сис­ теме, причем третьей системы не дано.

1.6. Пользуясь обобщенной формой записи, поскольку скорость есть термодинамическая сила, понятным образом запишем (1.2) как

Одной из форм термодинамической силы, представляющей собой, как видно из (1.7), интенсивный параметр состояния, является меха­ ническая сила. Закон сохранения по интенсивному параметру (обо­ бщенный третий закон механики) определяется уравнением

ипротивоположно по направлению таковому из другой системы. Законы сохранения (1.5), (1.6) и (1.8), (1.9) относятся только к

одной общей данной системе, если она объединяет две сопряженные

2.Канонические градиентные функции

2.1.Используем принцип суперпозиции, применяя в качестве ки­ нетического множителя правой и левой части (1.6) и (1.9) скорость именно по координате х , т. е. их = dx/dt. Тогда, преобразуя, из (1.6)

получаем уравнение переноса в форме потока /7/-параметра

а из (1.9) — уравнение переноса в форме перепада Абсиды

2.2. В (2.1) и (2.2) величина /^-параметра есть функция коорди­ нат (в частности, декартовых) и времени

Полная производная тогда будет

2.3. Предполагалось, что в канонических градиентных функциях (2.1) и (2.2) Л, gi, WJT = const. Вместе с тем в специальных случаях возможно допустить и их взаимозависимую изменчивость. Напри­ мер, в случае простейшего гармонического колебания

2.5. Специальное уравнение переноса в форме потока получаем, если принять Д = Q и учесть значение теплоты по (1.1), отнести перенос к единице площади As и привести теплоемкость к единице массы (^ = Cs*/m). Тогда получаем уравнение

выражающее закон теплопроводности Фурье, утверждающий, что количество теплоты, переносимое за время dt к этой площадке в сторону убывания температуры, пропорционально градиенту тем­ пературы. Термодинамический смысл коэффициента теплопровод­ ности в соответствии с (2.6) ясен и однозначен.

2.6. Если в качестве кинетического множителя принять скорость иу = dy/dt, в то время как термодинамическое действие по Д-пара­ метру происходит по х-координате, то для такого случая канониче-

В (2.9) параметрами, задаваемыми по направлению, являются количество движения и скорость, определяемая по Гамильтону как

Уравнения (2.8) и (2.10) являются в ньютоновой механике одни­ ми из основных; они по своей сути служат соответствующими взаи­ мосвязанными определениями.

Примем в (2.8) Я, = qx\ тогда, учитывая еще одно определение

после понятных преобразований, полагая, что т = const, получаем

Если, следуя сложившимся в реологии традициям, определить Fx = г — напряжение, вызываемое касательной силой, действующей по лг-координате, gu — градиент скорости щ по координате и счи­ тать, что измеряемое напряжение относится к площадке Asy а кине­ тический коэффициент при таких определениях есть коэффициент вязкости, то (2.12) можно переписать в известном виде уравнения вязкости:

3.Топография вязкого течения

3.1.Проанализируем известную гипотезу (мысленный экспери­ мент) Ньютона о вязкости с общетермодинамических позиций. Со­ суд, наполненный жидкостью, с вращающимся посередине его цилиндром, по гипотезе Ньютона был принят очень больших раз­ меров. Это необходимо, чтобы принять, что скорость жидкости на стенке сосуда равна нулю. Бесконечная же длина цилиндра, враща­ ющегося где-то в центре такого сосуда (его диаметром и объемом, следовательно, можно пренебречь), необходима лишь для того, что­ бы пренебречь эффектами на его концах.

Основное условие измерения вязкости по Ньютону состоит в том, что цилиндр вращается с некоторой постоянной скоростью до­ статочно долго и в сосуде установилось такое состояние, что ско­ рость перемещения частиц жидкости у стенки цилиндра равна таковой у самой стенки, но у «края» сосуда она равна нулю. Такое «устройство» позволяет, во-первых, измерить величину градиента, не пользуясь дифференциальным исчислением; во-вторых, экспери­ ментатор может измерить и силу, необходимую для такого враще­ ния цилиндра, чтобы градиент установился точно от его стенки до стенки сосуда. Заметим, что в реальных опытах (не рассматривая пристенных явлений) принята такая же схема измерения коэффици­ ента вязкости, но только, считая gu = const, оказалось возможным перейти к отношению малого или даже бесконечно малого значения изменения скорости к малому отрезку, на котором измеряется это изменение.

3.2.По Ньютону к элементу поверхности As прилагается именно касательная сила. Ньютонова поверхность — цилиндрическая; в простейшем же случае — это плоскость. Плоскость, которой при­ надлежит элемент поверхности As, является разделяющей (следова­ тельно, на ней не могут быть поверхностные явления, вкладом которых в силу их незначительности пренебрегают). Она разделяет испытуемую систему на две фазы Ф1 и Фг, принимаемые гомоген­ ными (квазигомогенными). Если собственно испытуемая система есть фаза Ф\, то фаза Фь — есть рабочий орган измерителя вязкос­

ти, близкий к идеальному, если его толщина пренебрежимо мала, а прочность достаточна, чтобы обеспечить полную передачу каса­ тельной силы фазе Ф\. Это близкий к идеалу случай измерения вяз­ кости, когда F-сила действует по обе стороны разделяющей поверхности в форме тончайшей пластины, и площадь ее приложе­

3.4. Термодинамическая система, к которой приложена механи­ ческая сила, в частности тангенциальная, может подвергаться и иным термодинамическим воздействиям (тепловым, электриче­ ским, магнитным, колебательным и др.). Поэтому уравнение состо­ яния для такой системы можно записать как

Знак «минус» при реологическом члене ud£ указывает на то, что он отражает некоторую реологическую работу системы против внешнего воздействия тангенциальной силы.

Уравнение состояния (3.1) принципиально пичается от таково­ го (1.1), ибо оно четко определяет топографию образования количе­ ства движения в системе.

Всоответствии с (3.1) внутренняя энергия системы, содержащееся

вней количество движения могут изменяться за счет п иложения

кней касательных сил. Чтобы отличить этот случай от других, ко­ личество движения такого рода определяется как термодинамиче­ ская вязкость.

Всоответствии с топографией явления вязкого течения, проил­ люстрированной рис. 1, уточняя, следует записать, ч^о £ = дх, а

также в дифференциальной форме при т = const

4. Соотношение термодинамической

иньютоновой вязкости

4.1.Термодинамическая вязкость является в соответствии с (3.1) параметром состоян я равновесной системы, ньютонова же вяз­ кость характеризует систему (ее содержание, качество ее вещества)

в состоянии переноса по (2.12), (2.13) Но это всего лишь две — хоть и принципиально отличные, но все же родственные — реоло­ гические характеристики веществ. Для аналог и укажем на два родственных межд> собой теплофизических свойства: теплоемкость по (1.1) и теплопроводность по (2.7).

4.2. В соответствии с (2.12) и (2.13 ньютонова вязкость есть им­ пульс, э несенный к единице площади приложения касательной си­ лы, е. некоторый удельный импульс. Подобным образом можно определить и термодинамическую вязкость. Это удобно для расче­ тов, но не меняет термодинамического существа этих параметров.

Для получения общей картины нет необходимости пользоваться

\.

Вместе с тем, сопоставляя значения вязкости из (2.12), (2.13) и теп­ лопроводности, получаем

4.4. Из (4.1) и (4.2) приходим, во-первых, к следующему опреде­ лению термодинамической вязкости:

Во-вторых, умножив, используя принцип суперпозиции, правую и левую части (4.3) на ту"1, получаем соотношение вязкостей в виде

Возможно также из (1.1) для системы, где имеют место тепло­ вые и реологические явления, получить второй термодинамический

Критериальный вид соотношения ньютоновой и термодинамиче­ ской вязкости говорит о нелинейности функции ту = гу(^).

вой вязкости от температуры определяется уравнением Аррениуса

где А — предэкспоненциальный множитель, иногда определяемый как т7о, Uo — энергия активации вязкого течения.

5.4. Для получения уравнения типа (5.1) получим из (4.1) при прочих постоянных параметрах, в том числе при неизменной внут­ ренней энергии, двучленное уравнение состояния, характеризующее связь реологических и тепловых явлений:

В конечных значениях параметров из (3.1) также можно по­ лучить

Далее, из (5.2) для рассматриваемой двухпараметрической изолиро­ ванной системы можно, разделив обе части уравнения на £, по­ лучить

где $о — постоянная интегрирования.

Уравнение (5.7) есть преобразованное уравнение состояния, т. е. термодинамически строгая закономерность. В том случае, когда Pr = const, из (5.7) для этого частного случая получаем уравнение (5.1).