книги / Общая термодинамика.-1
.pdf(10.19) — указывают на строгую взаимосвязь всех фундаменталь ных механических свойств тела: модулей упругости и коэффициента Пуассона. Однако следует иметь в виду, что модули упругости бра лись из простых взаимосвязей формоизменений и механической си лы. Более точные соотношения могут быть получены, если учитывать не простые, а сложные взаимосвязи.
И. Воздействие на тело термодинамических и механических сил
11.1.В соответствии с (3.1) под механическими здесь понимают ся Fz-силы, а под термодинамическими — прочие. При оценке меха нической прочности тела наибольшее, пожалуй, влияние оказывают такие термодинамические явления, как нагревание (охлаждение) и колебания. На этих двух факторах сосредоточим основное внимание.
11.2.Выше принимали, что внешние механические силы, воздей ствующие на испытуемое тело, равны (и обратны по знаку) механи ческим силам, развиваемым внутри тела и противодействующим этим внешним силам. Как это и понимается в термодинамике, со стояние системы (тела) оценивается измеряемыми извне параметра ми. Это напоминание известных положений необходимо, ибо здесь рассматривается тело не обязательно в состоянии испытания. Вме сте с тем, чтобы сохранить общность подхода, в данном параграфе будем оперировать уравнением состояния (3.1) в приведенной фор ме, когда вес экстенсивные параметры приведены к единице геомет рического параметра: длины, площади или объема.
11.3.Рассмотрим внутреннее состояние ненагруженного внешней механической силой одномерного тела (системы), в котором под воздействием теплоты возникает в направлении х некоторая меха ническая сила F\ (ранее рассматривали ситуацию, когда такие силы возникали под воздействием внешних сил, теперь под воздействием внутренних — температуры). Для такой ситуации из (3.1) уравнение
состояния будет |
d{J = ш _ ^ |
(ц . ,) |
или, сделав преобразование Лежандра, |
|
|
|
dU x = -S d T + xd F i. |
(11.2) |
Из (11.2) соотношение Максвелла, описывающее любые ситуации, происходящие с одномерным телом под воздействием температу
ры, будет иметь вид
ШгШг |
(11.3) |
|
|
или, в приведенных величинах, при F\ = const |
|
Ci — |
(П-4) |
где |
|
OLn -I (™ - \ . |
(H-5) |
x \d F i J T |
|
Уравнение (11.4) выражает закон теплового одномерного (линейно го) расширения, но со строгим термодинамическим определением условий его применимости (Fi = const). Это справедливо, в частнос ти, для свободно расположенного тела или, с соответствующей по нятной поправкой, для одномерного тела, находящегося под постоянной внешней механической F\-силой. Термодинамический смысл щ выражен (11.5). Этот коэффициент выражает меру измене ния организованности структуры тела (системы) при приложении к нему единицы механической силы, причем сила эта может быть приложена извне или возникнуть как производная от некоторого другого термодинамического воздействия, в частности от темпе ратуры.
Для двумерного тела из уравнения состояния
|
dU = TdS - |
F2ds |
|
(П.6) |
|||
подобным образом сразу получаем |
|
|
|
||||
о |
- |
а71 |
_ |
1 |
( |
d S \ |
(11.7) |
|
т' |
|
Гг |
5 |
\ |
дрг ) ‘ |
|
|
|
|
|||||
Для трехмерного |
тела |
из |
|
|
|
|
|
|
dU = TdS - |
F3dv |
|
(11.8) |
|||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
ез - а тАТ, |
|
|
|
|
(П.9) |
||
В частном случае для тела, состояние которого определяется уравнением
dU =■- CpdT + vdFi = О,
можно рассчитать термический эквивалент механической силы как
(11.10)
где Q — плотность, сруя — удельная теплоемкость при постоян
ном давлении. |
|
|
|
11.4. |
Рассмотрим внутреннее состояние ненагруженного внешней |
||
механической силой одномерного тела, в котором под воздействием |
|||
колебаний возникает в направлении х некоторая механическая сила |
|||
F\. Для такой ситуации из (3.1) |
уравнение состояния |
будет |
|
|
dU = - vdx - |
F\dx. |
(H.ll) |
Из (11.11), сделав соответствующее преобразование Лежандра, по |
|||
лучаем |
соотношение Максвелла |
|
|
|
|
|
( 11. 12) |
где qv — квантероемкость (на единицу длины) одномерного тела. Параметр квантерной термодинамики qv характеризует способность одномерного тела воспринять (отдать) определенное количество движения, возникающее при изменении величины силы Fi, в резуль тате изменения частоты колебаний на единицу. Этой характеристи кой можно пользоваться при оценке механической прочности тел при одноосном растяжении. Для дву- и трехмерных тел определяю щей характеристикой является квантероемкость дву- и трехмерного тела соответственно.
В первом приближении для одномерного тела данного размера
из (11.4), интегрируя, получаем уравнение |
|
Fi = Fio - q>v, |
(П.13) |
говорящее о том, что колеблющееся тело требует для компенсации меньшую противодействующую силу, чем неколеблющееся. И это уменьшение при данной частоте тем больше, чем больше квантеро
емкость |
испытуемого тела. |
|
|
11.5. |
Рассмотрим внутреннее состояние нагруженного внешней |
||
механической силой F\ одномерного тела, в котором под воздейст |
|||
вием теплоты возникает в направлении х |
механическая сила F * , |
||
причем в простейшем частном случае силы действуют в противопо |
|||
ложном направлении и F\ > F* |
Такая ситуация имеет место, на |
||
пример, |
когда одномерное |
испытуемое |
тело одновременно |
нагревается и растягивается. Для этой ситуации уравнение состоя ния будет
|
dU = TdS + Ff d x - Fidx = TdS - |
F\dx, |
(11.14) |
где |
_ |
|
|
|
FI = F I - F XX |
|
(11.15) |
Из |
(11.14) следуют два случая. Во-первых, |
когда F\ - |
const. Тогда |
остаются справедливыми уравнения (11.3)—(11.5). Во-вторых, когда F\ изменяется от одного равновесного состояния до другого по не которому закону, тогда в (11.3)—(11.5) вместо F\ должно фигуриро вать F\. Подобные рассуждения применимы также к дву- и трехмерному телам.
11.6. Под действием механических сил в испытуемом теле могут произойти химические изменения, и наоборот. Эта ситуация из (3.1)
определяется уравнением состояния |
|
dU = iidm - Fidx. |
(11.16) |
Сделав над (11.6) преобразование Лежандра и упростив, получаем
dFi = Qldii, |
(11.17) |
где Q1 — одномерная в данном случае плотность. Аналогичны уравнения состояния и для дву- и трехмерных тел; меняются только нижние индексы, обозначающие геометрический параметр испытуе мого тела.
11.7. Теоретически прочность тела данного структурного уровня при одноосном растяжении определяют энергией когезии, — энер-. гией, которая необходима для полного разрушения всех межатом ных (межмолекулярных) связей:
^ к о г = ^ „ с п - ^ |
(11.18) |
где ^исп — теплота испарения. Ее можно определить из (11.16) хи мическим потенциалом испарения, обусловленного разрывом межа томных и (или) межмолекулярных связей. Энергию когезии термодинамически строго определяют как работу разрушения тела с образованием двух новых поверхностей раздела:
U = 21/ . |
(11.19) |
Поэтому есть все основания считать, что прочность в конечном сче те имеет термодинамическую природу и является объектом общей термодинамики. Однако измерение параметров термодинамики
прочности осложнено тем, что при испытании проявляется кинети ческий фактор (особенности формы испытуемого тела и расположе ния межатомных связей здесь не рассматриваются).
12.Сопоставление растягивающих
исжимающих сил
12.1.Сопоставление растягивающих и сжимающих испытуемое тело механических сил крайне затруднено ввиду неоднородности структуры этого тела на микроскопическом (атомно-молекулярном)
имакроскопическом (поры, трещины) структурных уровнях. Рас
считать прочность и формоизменение возможно только для идеаль ных тел, образованных атомами одного сорта, связанных между собой одним видом химической связи. Это — простейшие кубиче ские структуры типа NaCl. Причем все равно расчет может быть осуществлен только приближенно, допуская строгую линейность функции Ei(Fi), а также наличине только упругих деформаций вплоть до разрушения тела.
12.2.За основу теоретического анализа прочности и формоизме нения идеального одномерного испытуемого тела примем извест ную зависимость общей энергии от межьядерного расстояния, измеряемого по координате х . Эта зависимость графически выра жается известной кривой энергии (рис. 6).
12.3.Квантерная термодинамика дает для такой ситуации в иде альном случае уравнение состояния
xU = const. |
(12.1) |
12.4. В реальном же случае имеется равновесное состояние хими чески связаных атомов, когда эти атомы находятся на расстоянии хо. При сжатии изменение энергии определяется соотношением
F\c ~ tg «с, |
( 12.2) |
dUc dx
а при растяжении
dUp
Fip ~ tg c*p. (12.3)
dx
На небольшом удалении от точки равновесия на координате х , по которой и действуют механические силы, всегда
Fic > Fip. |
(12.4) |
Рис. 6. Схема межчастичного разнознакового взаимодействия типа электрон-атом- ное ядро
Действительно, опыт и термодинамическая теория строения ве щества говорят о разной физической природе межатомных сил при тяжения и отталкивания, о разной их величине. Следовательно, учитывая (6.5), всегда для идеальных тел
Sic > Sip. |
(12.5) |
Отсюда следует, что одна и та же по величине механическая си ла, действующая на реальное одномерное тело, образованное хими чески связанными атомами, вызывает при растяжении большую
деформацию, чем при сжатии. Сказанное в принципе справедливо и для дву- и трехмерных тел. Только наличие поперечных связей усложняет картину.
13. Нескомпенсированное механическое состояние
13.1. Выше рассматривались такие состояния испытуемого тела, когда действующая на него механическая сила строго компенсиро валась соответствующим его формоизменением или какими-либо термодинамическими силами. В соответствии с законом сохранения другой ситуации быть не может. Если же опыт говорит о против ном, значит, все условия проведения опыта должны быть провере ны с целью обнаружения скрытых явлений. Ниже, базируясь на всеобщности закона сохранения, дан термодинамический анализ возможности кажущегося нескомпенсированного механического со стояния.
13.2. Рассмотрим явление измерения механической прочности одномерного (подобные закономерности нетрудно получить также для дву- и трехмерных тел) тела в условиях изменения механиче ской UF и тепловой UT энергии испытуемого тела. Это явление можно охарактеризовать уравнением состояния
F\x = ST |
(13.1) |
или из(13.1) в дифференциальной форме
-d U F = -F \d x = SdT = dUT. |
(13.2) |
Эти уравнения говорят о соотношении(при отсутствии прочих энергетических факторов) механической и тепловой энергий, что в дифференциальной форме представим как
-d U F =dUT. |
(13.3) |
Как (13.1), так и (13.2)—(13.J) являются элементарными уравнения ми, назовем условно, механотермического состояния испытуемого тела. Специальные уравнения состояния можно получить, взяв от ношение элементарных уравнений состояния, например сопоставляя (13.1) и (13,i), как
dUF _ dUT
(13.4)
ST ~ Fix
Далее, из (13.2), разделив правую и левую части на х, т. е. отнеся явление к испытуемому телу длиной х, а также преобразуя получен ное соотношение с учетом (13.4), получаем для испытания при дан ной температуре Т = То
dx _ |
dUF ^ AUF |
(13.5) |
~х |
Sn~ = ~RT~ ' |
|
Интегрируя (13.5) и определив постоянную интегрирования как ль, получаем для одномерного тела данной структуры и размеров, ког да S = R, а нижним «нуль»-индексом определена постоянная инте грирования, термодинамическое экспоненциальное уравнение
|
х = льехр |
(13.6) |
13.3. |
Рассмотрим уравнение (13,6). Согласно (13.6), при отсутст |
|
вии механической силы ( U F = 0) формоизменения не происходит, и, |
||
следовательно, х = Хо. Если же выполняется |
закон сохранения со |
|
гласно (13.2), то х = ехо. Эти ситуации можно назвать тривиальны ми в отличие от нетривиальных, когда двупараметрическим уравнением (13.2) явление описывается не полностью. Полностью явление определяется не дву-, а многопараметрическим, например трехпараметрическим уравнением состояния. Только другие, кроме указанных в (13.2), параметры по каким-то причинам или неизвест ны, или в данном случае неопределимы. Тогда вместо равенства (13.2) будет иметь место неравенство
dUF * d U T. |
(13.7) |
Пользуясь законом сохранения, приведем неравенство (13.8) к ра
венству |
(13.8) |
dUF =dU T +dUj. |
Равенство (13.8) в соответствии с законом сохранения утверждает, что в случае, определенном (13.7) в действительности проявляет се бя некоторый неучтенный в заданных условиях опыта у-й энергети ческий параметр. Невозможность по каким-либо причинам учесть вклад у-го параметра при испытании тела вызывает необходимость прибегать для его описания к экспоненциальным термодинамиче ским уравнениям. И наоборот, использование экспоненциальных уравнений позволяет описать многопараметрическое явление, поль зуясь только двумя параметрами.
Итак, в случае, когда в (!3.7)
0 < b = <оо, b * 1,
испытуемое тело подвергается хак механическому и тепловому воз действию, так и иному невыявленному воздействию (положитель ному или отрицательному). При этом полезно различать области, когда b < 1 и когда, b > 1. Итак, величина b является важной ха рактеристикой искусственного явления — измерения прочности. На пример, возможно, что в (13.6) учитывается вся механическая энергия, но не вся квазиэквивалентная ей энергия тепловая (b > 1), ибо последняя рассеивается или затрачивается на изменение струк туры испытуемого тела. Если испытуемое тело теплоизолированно, то весьма вероятно (полагая, что другие факторы пренебрежимо малы), что величина Ь характеризует структурные изменения тела (Ь < 1).
Величина UF в (13.6) есть механическая энергия — термодинами ческий обобщенный параметр механического состояния тела. Гово ря об уравнениях типа уравнения Аррениуса, этот параметр называют энергией активации некоторого процесса, в данном слу чае процесса одномерного формоизменения. Однако в термодина мике нет процессов, требующих активации; условность такого определения очевидна.
13.4. Выше уравнениями (13.1)—(13.6) на конкретном примере нескомпенсированного взаимодействия механической и тепловой энергий в процессе равновесного испытания тела был проиллюстри рован метод построения термодинамических экспоненциальных уравнений, пригодный в принципе для любых двупараметрических явлений. Так, для нескомпецсированного взаимодействия механиче ской и колебательной энергий в испытуемом теле из уравнение со стояния
—F\dx — vd\ ~ О |
(13.10) |
|
соответствующим образом для единичного акта можно получить
(13.11)
13.5. Метод построения термодинамических экспоненциальных уравнений позволяет, сделав над (13.101 преобразование Лежандра