книги / Общая термодинамика.-1
.pdf4.Геометрические свойства тела
4.1.Термодинамика традиционно оперирует такими геометрически ми параметрами, как длина, площадь и объем. Эти соответственно од но-, дву- и трехмерные параметры, отражающие природу рассматрива емой системы, являются обобщенными (в самом общем виде это отно сится и к одномерному параметру в том смысле, что линия не всегда характеризует кратчайшее расстояние между заданными двумя точка ми). Обобщенный подход к оценке геометрических свойств системы обеспечил известную высокую эффективность использования термоди намического метода, его абсолютную достоверность.
Применительно к испытуемому телу использование термодийамического метода в принципе обеспечивает ту же абсолютную до стоверность. Однако при решении задачи расчета механической прочности конкретных испытуемых тел с определенными размера ми возникает необходимость конкретизации геометрических пара метров и топографии прикладываемых механических сил.
4.2.Применительно к испытуемому телу геометрические пара метры определяются в декартовых координатах лг, у, z (ничто не изменяется если взять другую систему координат). Использование
втермодинамике прочности конкретных геометрических парамет ров позволяет описать форму тела и его деформацию в процессе испытания — при переходе тела из одного равновесного (квазиравновесного) состояния в другое, также равновесное (квазиравновесное) состояние в соответствии с (3.1).
4.3.Одномерное испытуемое тело определяется линейным гео метрическим параметром. Удобно считать, что этот параметр всег да определяется по координате х , причем расстояние между двумя точками этого линейного тела является только кратчайшим рассто янием. Иными словами, линейное испытуемое тело моделируется прямой. Таково приближенное рассмотрение линейного испытуемо го одномерного тела (рис. 1). Это — стержень, в идеале предельно тонкий. Такая термодинамическая идеализация в принципе соответ ствует известному в механике прочности определению прочности тела в форме струны.
В соответствии с рис. 1 идеальное одномерное тело в ортого нальных у , z-направлениях имеет нулевую протяженность. В этих направлениях такое тело никак не взаимодействует с окружением.
Одномерное испытуемое тело можно называть элементарным. Заданным числом элементарных одномерных тел можно смодели-
обозначения: |
|
|
#- '• |
общий вид |
'z |
|
упругость |
|
|
•I |
|
|
вязкость |
|
о— -о формоизменение |
|
|
4 - |
неподвижность |
}У |
•m-zZ* |
подвижность |
|
~/7- мерная
Рис. 1. Схема испытания жесткого одномерного тела
ровать любое линейно-анизотропное испытуемое тело. Ниже для простоты будет рассматриваться только элементарное одномерное испытуемое тело.
4.4. Двумерное испытуемое тело (пластина) определяется (рис. 2) двумя геометрическими параметрами: х , у. С помощью этих параметров определяется площадь испытуемого тела s в (3.1).
В самом общем виде
•у = /(*, у ) |
(4.1) |
или в дифференциальной форме для изменения площади s = ху:
ds = d(xy) = xdy + ydx. |
(4.2) |
На рис. 2 приведены некоторые модели испытания двумерных тел. На основании известных разработок можно представить и многие другие варианты моделей. Тем самым полагаем: открывается новая ступень моделирования дву- и трехмерных тел (с включением со вершенно нового элемента — системы опорных точек) и построе ния соответствующих аналитических соотношений. Однако, по скольку такое моделирование весьма многообразно, здесь рассмот рены лишь простейшие случаи.
В первом приближении в (4.2) принимается, что размер тела по х, у определяется только по кратчайшему расстоянию. Иными сло вами, двумерное испытуемое тело, как это принято в простейших испытаниях, имеет правильную форму прямоугольной пластины. Эта в идеале бесконечно тонкая пластина в направлении z никак не взаимодействует с окружением.
Двумерное испытуемое тело можно называть элементарным. Заданным числом сложенных вместе двумерных тел можно смоде лировать любое пластинчато-анизотропное испытуемое тело. Ниже
Рис. 2. Схема |
испытания двумерного тела одномерной |
силой |
А — жесткого, Б — упругого, В — упруго-пластичного (обозначения как на Рис. 1) |
||
для простоты будет рассматриваться только элементарное двумер |
||
ное испытуемое тело. |
|
|
4.5. |
Трехмерное испытуемое тело (блок) определяется тремя гео |
|
метрическими параметрами: х , у , z . Объем блока в общем виде |
||
определяется как |
|
|
|
V = f i x , У, z ) . |
(4.3) |
В первом приближении в (4.3) примем, что размер блока во всех трех направлениях определяется только по кратчайшим расстояни ям. В качестве второго приближения примем, что всегда
z = к„у, |
|
(4.4) |
где kjy — коэффициент пропорциональности. |
|
|
Третье приближение — когда всегда |
= 1; оно |
удобно для |
упрощения, справедливого для призм квадратного сечения и цилин дров. Во всех расчетных термодинамических уравнениях, где опери
руют относительными изменениями геометрических параметров, этот коэффициент выпадает, поэтому в последующем им пользо ваться не будем. Тогда в дифференциальной форме, при к^,= 1, уравнение изменения объема трехмерного тела будет
dv = d(xy2) = y 2dx + Ixydy = y(ydx + 2xdy). |
(4.5) |
Трехмерное термодинамическое испытуемое тело можно назы вать и блоком связанных между собой частиц (напомним: термоди намика внутреннюю структуру системы не рассматривает, оценивая ее определяемыми извне обобщенными параметрами) или некото рым континуумом.
5.Формоизменение
5.1.Формоизменение — это изменение геометрических парамет ров испытуемого тела под воздействием внешних и внутренних ме ханических сил. В данном разделе рассматривается формоизмене ние, обусловленное внешними /^-силами. В соответствии с (3.1) формоизменение происходит в равновесных (квазиравновесных) ус ловиях. При механических испытаниях формоизменение возможно оценивать как обобщенными, характеризующими одно-, дву- и трехмерные изменения термодинамическими параметрами, так и с помощью конкретных, например декартовых, координат.
5.2.Рассмотрим формоизменение одномерного испытуемого те ла. Его поведение при прочих неизменных условиях из (3.1) опреде ляется дифференциальным уравнением
dUi = Fidx. |
(5.1) |
Уравнение (5.1) справедливо для тела любой длины (по координате х). Для тела же заданного изменения длины, на которое воздей ствует сила Fi, запишем уравнение состояния
Ui = F\x. |
(5.2) |
Сопоставляя (5.1) и (5.2), получаем, что относительному измене нию длины одномерного тела £i соответствует относительное изме
нение его внутренней энергии: |
|
|
|
dx |
dU\ |
(5.3) |
|
£l = T = |
t/-, |
||
|
Уравнение (5.3) является строгим термодинамическим. Однако практически бесконечно малые величины неизмеримы. Поэтому,
Рис. 3. Схема испытания двумерного жесткого тела двумерной силой (обозначения как на рис. 1)
следуя принятому в механике приближенному измерению прираще ния длины, будем считать, что
dx = Ах, |
(5.4) |
где Ах — приращение конечных, т. е. измеряемых размеров. Отно сительное изменение длины одномерного тела
- А* |
(5.3а) |
х |
|
есть приведенный линейный параметр, выражающий в неявной форме дифференциальную природу явления — одномерного формо изменения.
5.3. Рассмотрим двумерное формоизменение —г изменение пло щади лишь за счет прироста длины по координате х. Тогда из (4.2)
Рис. 4. Схема деформирования двумерного тела под действием одномерной силы (обозначения как на рис. 1)
Л — тело с опорной гранью, В — тело с опорной точкой
Рис. 5. Схема деформирования двумерного тела под воздействием двумерной силы; тело закреплено неподвижной и подвижной точками (обозначения как на рис. 1)
получаем ds = ydx. (5.5)
Этот случай графически представлен на рис. 3. Если же сила Fz, действующая по координате х 9 вызывает изменения линейных раз меров х9у, то эта ситуация представляется рис. 4. Согласно рис. 4, при Ах > 0 всегда сц> оц. Возможен и сложный случай (рис. 5), когда сила Fi вызывает изменение площади одновременно по моде лям, представленным на рис. 3 и 4. Общее дифференциальное урав нение двумерного формоизменения (4.2) справедливо для всех этих случаев, характеризуемых тем, что ds > 0.
В частном случае неизменности общей площади из (4.2) получим
xdy + ydx = 0. |
(5.6) |
|
Преобразуем (5.6) в |
|
|
d y .d x |
(5.7) |
|
у * х |
||
|
и обозначим левую часть дифференциального уравнения (5.7) как коэффициент Пуассона или коэффициент двумерного формоизмене ния fi. Тогда, перейдя к конечным размерам, определим
X s |
Ay яАх |
(5.8) |
||
^ |
у |
' х |
||
|
||||
и получим, что при ds = 0 |
|
|
|
|
|
= |
1. |
(5.9) |
|
Если же в (4.2) ds < 0, то вместо (5.9) полупим
XI
д= \ — а.
Иными словами, всегда
Мх ^ 1 . |
(5.11) |
Знак равенства в (5.11) относится к случаю, когда в соответст вии с (4.2) общая площадь под действием силы Fi неизменна. Знак «меньше» относится к случаю, когда под действием силы F2 изме нение линейных размеров х , у сопровождается общим изменением
площади двумерного испытуемого тела.
Чтобы получить ответ на вопрос, насколько уменьшается значе ние /*х, сделаем следующие преобразования:
ds |
x ^ _ d s d x ^ A S 'A x _ £ i |
(5 12) |
ydx |
x ~ ~ s ~ x ~ ~ s '~ x ~ l^ \ |
|
где €2 = As/s — относительная двумерная деформация. Отсюда по лучим справедливое всегда соотношение
€2 = £i(l - /Iх ). |
(5.13) |
Обратим внимание на знак перед /Iх : в (5.13) он обратен при нятому.
Заметим: уравнение (5.13) внешне выглядит как алгебраическое (так рассматриваются в механике и другие подобные уравнения, включающие е, /Iх), но в действительности это — дифференциаль ное уравнение термодинамики механической прочности, производ ное от (5.6).
5.4.Трехмерное формоизменение испытуемого трехмерного тела
всоответствии с (4.5) может происходить как с изменением общего объема, так и без такового. В последнем случае с учетом (4.5) получим
ydx + 2xdy = 0 |
(5.14) |
или с приближениями, принятыми в механике, и учитывая опреде ление (5.8), приходим к равенству
/*хх =0,5, |
(5.15) |
которое по глубокой своей сути есть, как уже говорилось примени тельно к (5.13), дифференциальное термодинамическое уравнение.
Если же формоизменение трехмерного тела сопровождается из менением общего объема тела, то следует использовать (4.5), кото рое для удобства преобразуем, разделив правую и левую части на
y 2dx. Тогда с учетом (5.7) и (5.8) получаем
dv |
= 1 - 2/tх * |
(5.16) |
y 2dx |
|
|
Умножив и разделив левую часть (5.16) на х и определив относи тельную трехмерную деформацию как ез = Av/v получим
XX |
(5.17) |
|
|
ИЛИ |
|
е3 = Si(l - 2цх х ). |
(5.18) |
Таким образом, если известно относительное удлинение испыту емого тела £i и его коэффициент формоизменения fix х, то по (5.18) возможно рассчитать относительное объемное, а по (5.13) двумер ное формоизменение. Из (5.17), (5.18) понятна — это относится и к (5.13) — причина, почему в опыте получается меньшее значение
коэффициента Пуассона. |
|
|
Взяв отношение (5.18) и (5.13), |
можно |
получить |
£з = £2 (1 - 2II |
х х } |
(5.19) |
О - и |
*Г |
|
Из (5.18) и (5.19) следует, что для реальных тел всегда
(5.20)
Приведенные в данном разделе уравнения позволяют рассчитывать формоизменение испытуемого тела и описывать его с помощью от носительных геометрических термодинамических параметров £i, £2, £3> м •
5.5. В (5.19) в принципе fix Ф ц х х, поэтому в самом общем слу чае справедливо неравенство для (5.20). Это обусловлено тем, что максимальные значения определяются для fix по (5.19), а для д х х
по (5.15), хотя в том и в другом случае /*' назначено одинаково —
по (5.8). Если, учитывая максимальные значения ц \ |
условно при |
нять, что |
|
/* = /*хх = 2 /Iх, |
(5.21) |
то в (5.20) вместо левого неравенства будет равенство. Можно предположить и
Такое назначение \il требует также теоретически необоснованного для fix органичения
/I ^ 0,5. |
(5.23) |
В самом же общем случае теория требует различать ц1, уравнения
(5.13), (5.18), т. е. отношения £i/ei и ез/si.
6. Простая взаимосвязь формоизменения
имеханической силы
6.1.Простой является такая взаимосвязь формоизменения испы туемого тела и механических сил, которая определяется однопара метрическим уравнением механического состояния (3.4). При этом предполагается, что в каждый данный момент определения проч ности испытуемое тело находится в равновесном, точнее в квазиравновесном состоянии. Иными словами, предполагается, что ис пытуемое тело есть упругое тело, деформация которого абсолютно обратима. Его поведение в (3.1) и (3.4) описывается полными диф ференциальными уравнениями.
6.2.Для одномерного испытуемого тела из (3.1) и (3.4) запишем полное дифференциальное однопараметрическое уравнение со стояния
-dUi =Fidx + xdFi. |
(6.1) |
В том случае, когда изменения внутренней энергии испытуемого тела не происходит, из (6.1) приходим к
F&dx + XotiFi = 0, |
(6.2) |
где крестами подчеркнуто постоянство величин: л*0х — линейный размер испытуемого тела до начала определения его прочности, FQI
— специфичная силовая константа (о ней будет сказано ниже). Пре образуя (6.2), получаем
dFx = |
. |
(6.3) |
|
Х о |
|
В первом приближении, полагая линейной функцию F(x), перехо дим к конечным значениям и преобразуем (6.3) к
Сделаем второе приближение, полагая, что AFi = 0 при Е\ = 0. Тогда из (6.4), определив силовую константу F0xi как модуль одно мерной упругости Е\ для одномерного испытуемого тела, формоиз менение которого обусловлено силой F\, действующей строго по координате х, получаем уравнение
Fi = Е 1еи |
(6.5) |
подобное (с уточненными нижними индексами) уравнению Гука (2.1), где Ei — модуль Юнга. Преобразования от (6.2) к (6.5) позво ляют утверждать, что уравнение Гука является термодинамическим дифференциальным уравнением прочности одномерного упругого тела испытываемого в равновесных (точнее, квазиравновесных) ус ловиях при dUi = 0.
6.3. Для двумерного упругого испытуемого тела с неизменной
внутренней энергией из (3.1) и (3.4), преобразуя, получим |
|
dFi = F o ly . |
(6.6) |
Полагая функции линейными и рассматривая явления вблизи нуле вой точки, а также принимая модуль сдвига — модуль двумерной деформации, получаем термодинамическое уравнение прочности двумерного тела исходной площадью s вида
F2 = E2e2, |
(6.7) |
где Е2 — модуль двумерной упругости — модуль сдвига.
По определению (6.7) механическая сила F2 лежит в некоторой плоскости, на которой* располагается и 5-площадь. Характер же формоизменения 5-площади не определен.
6.4. Для трехмерного испытуемого тела с неизменной внутрен ней энергией из (3.1) и (3.4) аналогичным образом получим
Fz = Е ъЕъ• |
(6.8) |
Коэффициент пропорциональности Ез, как это принято в механиче ской теории прочности и по аналогии с (6.5) и (6.7), есть модуль
объемной упругости.
Следует отметить, что по (6.8) объемное формоизменение в трехмерном (декартовом) пространстве так же как и по (6.7), не определено. ‘Поэтому, как уже отмечалось выше, механическая сила Рз и давление р в (3.1) как бы тождественны, это гидростатическая сила, равномерно распределенная на объем v испытуемого тела.