книги / Теория литейных процессов
..pdfтемпературы на поверхности отливки. Для этого продифференцируем уравнение температурной кривой (формула (10.58)) поу:
О0МУ
Для поверхности тела у = £(см. рис. 10.9). Отсюда следует, что
^кр_ |
(10.65) |
|
Ш.~" ( |
||
|
||
-tu |
( 10.66) |
|
/у/г = Л ,/7 ^ -^ /у /г, |
где Х\ -теплопроводность затвердевшего тела, ккалч°С.
Элементарное количество аккумулированной теплоты dQaKK находится путем дифференцирования выражения для ()жк. Полное количество аккумулированной теплоты QaKKв джоулях может быть определено по средней
температуре затвердевшей корки: |
|
|
QQKK = УУ\С\ (tKp —tap), |
(10.67) |
|
где V - объем затвердевшей корки, м3; у\ - |
удельный вес материала корки, |
|
кг/м3; С| - удельная теплоемкость материала корки, ккал/(кг °С); |
tcp - средняя |
|
по объему температура в момент г, °С. |
|
|
Для плоской отливки |
|
|
V = F\£. |
|
(10.68) |
Средняя по объему корки температура может быть найдена путем |
||
интегрирования уравнения температурной кривой: |
|
|
/«ф-/ср=■* г |
1 |
(10.69) |
)dVx |
|
|
где dV1- элементарный объем затвердевшей корки, обладающий температурой /.
Для плоской отливки величина dVx= F\dy.
Подставляя в предыдущее выражение значение соответствующих величин,находим
тI ,,/1+1 h
|
_ .0 |
*кр ~ ^1н К |
In |
I |
\ |
(10.70) |
^кр *ср |
|
J o - _ L ( , |
||||
|
(/7+ 1)?" |
|
/7+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
\F^dy |
|
|
|
|
Здесь переменной величиной являлась координата у. Интегрирование производилось в пределах толщины затвердевшей корки. Найденная разность температуры /кр - tcp представляет собой среднее понижение температуры корки.
Подставляя эту разность температуры в выражение количества аккумулированной теплоты, будем иметь
На рис. 10.9 количество теплоты QaKK определяется площадью, заключенной между горизонтальной прямой, которая отвечает температуре Гкр затвердевания, и параболой /7-го порядка, которая соответствует распределению температуры в сечении корки для момента г. Чтобы определить элементарное количество dQaкк, надо продифференцировать полученную формулу (10.71). Найденная таким образом величина dQmK будет равна изменению количества теплоты Оакк за время d г. Это изменение связано с перемещением фронта затвердевания на величину dÇ. Формула в правой части содержит две переменные величины - £ и /jn. Чтобы выполнить операцию дифференцирования, необходимо одну из указанных величин выразить через другую. Это можно сделать на основе геометрических соображений.
Действительно, касательная на поверхности отливки к температурной кривой всегда проходит через направляющую точку Н (см. рис. 10.9). Расстояние от поверхности отливки до направляющей точки известно, оно
равно —L. Продолжив касательную до пересечения с горизонталью, которая
соответствует температуре /кр, получим подобные треугольники CDB и СЕН. Из этих треугольников находят необходимые связи между переменными.
Для определения величины подкасательной CD воспользуемся выражением (10.65). Из рис. 10.9 видно, что угол наклона касательной равен со. Угол (р= 180 - со, следовательно,
dt' |
|
|
|
(10.72) |
Эу), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из треугольника DCB находим |
|
|
|
|
tg(p = |
|
|
|
(10.73) |
Из двух последних равенств следует, что |
|
|
|
|
CD = Ç-. |
|
|
|
(10.74) |
п |
|
|
|
|
Теперь молено найти связь между величинами £ и /|П. Из подобных |
||||
треугольников CDS и СЕН получается |
|
|
|
|
BD = НЕ или ^кр |
(ill |
'кр-'с |
(10.75) |
|
DC ЕС |
£ |
M |
L |
|
|
п |
п |
а. |
|
|
/ |
-/ |
(10.76) |
к р |
1+ п- |
||
I I I |
|
|
|
|
|
ei« |
|
Подставим полученную разность температур в выражение (10.71) для |
|||
вычисления количества аккумулированной теплоты: |
|
||
”+1 |
|
1+„А . |
< 1 0 '7 7 ) |
|
|
|
|
Элементарное количество аккумулированной теплоты получается путем |
|||
дифференцирования: |
|
|
|
|
|
1+2п-^- |
(10.78) |
“ W |
K |
- '0)7------ 4 ï d Ç • |
|
w+1 |
|
|
|
l+w-i- «i£,
Величина dQKp, входящая в уравнение теплового баланса, определяется из выражения
(10.79)
где pi - удельная теплота кристаллизации металла, ккал/кг; Fyd^ - объем корки, затвердевшей за время dr, м3
ч/ Подставляя найденные значения величин dQ, dQKp, dQaKK в уравнение теплового баланса (10.63), находим
|
|
|
1 + 2и— |
|
|
|
|
F,dr =- Ц Fj,C,(/ |
- /с)--------^ T d Ç + F j,pxdÇ. |
(10.80) |
|||||
£ |
» + 1 |
|
f, |
Л ) |
|
|
|
|
|
|
I |
аЛ) |
|
|
|
Заменив в этом уравнении разность температур tKp - |
/i„ |
и произведя |
|||||
некоторые преобразования, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2^ + ^ i - f- |
|
|
|
axdv = -% —^-dÇ +- Я — 4dÇ+ - À —, -----^ — d$ , |
|
(10.81) |
|||||
С Д р а, |
пСх&кр |
я(«+1) |
1+ “L * |
|
|
|
|
|
|
|
|
wA |
|
температуры tc |
|
где i9Kp - температура затвердевания, |
отсчитываемая |
от |
|||||
окружающей среды, как от нуля, |
°С |
(i9Kp |
= /кр - О; |
а\ |
~ |
коэффициент |
|
температуропроводности затвердевшей корки, м2/ч: |
|
|
|
||||
|
|
= |
|
|
|
|
(Ю.82) |
С,у, Полученное дифференциальное уравнение с разделяющимися
переменными легко интегрируется, так как оно содержит только хорошо известные табличные интегралы. Имеем
а,т = |
Pi |
|
+ - i - i |
|
|
Pi |
|
|
c2 |
w |
Ar |
|
A, |
' |
+C. (Ю.83) |
||
i ^ a , |
|
_2'>C A-P |
2/J(/J+I) |
b |
--77 i ln |
и— +£ |
|
||||||||||
|
C |
n + \a { |
|
|
и+1 a. |
|
|
|
|
||||||||
|
Постоянная интегрирования С находится из следующего условия: |
||||||||||||||||
при т- г2, £= <£>. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Подставляя эти значения величин в предыдущее выражение, получаем |
||||||||||||||||
|
|
|
Р\ |
^1 j |
1 |
^1 |
\ |
Pi |
+ |
1 |
|
+ |
|
|
|
|
(Ю.84) |
С =А.Ь - |
£ _ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
С|5кра, |
/7+ la. |
Ь2 |
2«ОДр |
2л(л + 1)_ |
w + lar |
l a . |
|
‘ J |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разделив |
искомое решение на |
|
а также подставив в него значение |
|||||||||||||
величины С, окончательно будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, + ®L |
|
(10.85) |
||
|
|
|
|
Fo - |
F o, |
= А. (5 - <5,)+ А, (5:2 - <57 |
+ A, In----- |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ч |
|
■' |
J |
1+ |
o^Bi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ul\ |
|
|
||
где Fo = -^ -; |
F o ,= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Z 7 |
Q \ T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
\ |
|
|
x ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Л, = — |
L +- ^ ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A = ~Bi}L +n + 1 |
|
A} |
|
л + Г B ir |
’ |
|
|
|
|||||||||
|
|
2/71 |
/7+ 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
* ] = -fX ,; L = Pi ; |
8 - J - ; |
* |
X x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
C A P |
|
|
Хл |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Формула (40.85) дает искомую связь между толщиной затвердевшей корки и временем. Число переменных в этой формуле снижено до минимума путем введения их в состав критериев подобия.
Величины Fo, Fo2, S, Bi\ и L представляют собой критерии подобия (безразмерные комбинации физических величин).
Критерий Фурье (Fo) представляет собой безразмерное или относительное время. Критерий Fo2 характеризует время, соответствующее началу третьей стадии охлаждения отливки.
Критерий 5 есть относительная или безразмерная толщина корки. Критерием определяется начальная безразмерная толщина корки для третьей стадии процесса.
Критерий Био (Вii), как уже было установлено ранее, характеризует относительную интенсивность теплообмена между телом и окружающей средой. На этом основании критерий Bi\ можно назвать относительным или безразмерным коэффициентом теплообмена.
Критерий L является специфическим для процессов, сопровождающихся фазовыми превращениями. Его можно назвать относительной или безразмерной теплотой кристаллизации.
Решение (10.85) является наиболее общим. Путем правильного выбора показателя п точность этого решения может быть приведена в соответствие с запросами инженерной практики.
При расчете свойств отливки важное значение имеет скорость изменения толщины затвердевшей корки со временем (линейная скорость затвердевания), которая определяется по формуле
|
и = d4 |
( 10.86) |
|
dr |
|
Эта скорость может быть найдена из общего выражения (10.85) |
||
посредством его дифференцирования. |
|
|
Определим вначале безразмерную линейную скорость затвердевания |
||
(критерий линейной скорости затвердевания) |
|
|
|
U = — |
(10.87) |
|
dFo |
|
путем непосредственного дифференцирования формулы (10.85): |
||
U = -dô |
1 |
( 10.88) |
dFo |
А. + 2А,8 + - А, |
|
|
с |
п |
|
8 |
+ — |
|
|
Bi |
Как видим, безразмерная линейная скорость затвердевания не зависит от начальных параметров г2 и £2 и весьма существенно изменяется в зависимости от интенсивности теплообмена (Bi\).
Связь между Un и находим по соотношению |
|
|
dô |
XLd l_ X 1 |
|
и =dFo'' |
а,т' я, dт= — и |
|
|
V*fy |
|
или u = — U |
|
|
На основе этого соотношения получаем |
|
|
к |
----------- а _ |
(10.89) |
dT |
А\Хх+ 2AJ; + |
|
|
Bh |
|
Рассмотрим теперь отдельные частные случаи затвердевания отливки, |
||
характеризуемые различной интенсивностью теплообмена. |
|
|
Большая интенсивность теплообмена ( B i » 1) |
|
|
Общая формула (10.85) принимает весьма простой вид: |
|
|
F o-F o, = Аг (S2 - 5?), |
(10.90) |
|
Коэффициенты А \ и А3 в формуле (10.85) обратились в нуль, так как критерий Bi входит в знаменатель.
Частная формула (10.90) легко может быть преобразована к виду, при котором толщина £ затвердевшей корки непосредственно выражается через время и другие физические величины:
£= |
<т-тй7г |
(10.91) |
|
ç |
+0 + Г |
-)Н г |
|
Если ~ 0 (начальная корка отсутствует) и г2 = 0, то из этого выражения |
|||
получим |
|
|
|
| |
= |
|
(10.92) |
где R = /2Ч” + ’К м/ч|/2. |
|
|
(10.93) |
^ l ( n + l ) + l |
|
|
|
Таким образом, известная эмпирическая формула (£ = /?Vr), найденная Ламе и Клайпероном или Стефаном на основе результатов замерзания воды или промерзания влажного грунта, справедлива для случая затвердевания отливки в условиях бесконечно большой интенсивности процесса. При этом должны отсутствовать две предыдущие стадии теплообмена (г2 = 0 и = 0).
Если отливка не является плоской, величины <£> и г2 не равны нулю и интенсивность теплообмена не бесконечно велика, то формула (10.92) уже не может применяться для расчетов.
Воспользовавшись формулой (10.85), определим безразмерную линейную скорость затвердевания металла. После дифференцирования выражения (10.85) будем иметь
и = dS |
1 |
(10.94) |
dFo |
‘2A2S |
|
Отсюда определим линейную скорость затвердевания в метрах, деленных на секунду:
d Ç _ я, _ |
Я,/7 |
(10.95) |
|
|
*2А,( (i+^TÎ>
Эту частную формулу можно получить также из выражения (10.89), если в нем Bi) = оо. При этом коэффициенты А | и Аз обращаются в нуль.
Для частного случая Bi » 1 легко выразить линейную скорость затвердевания в функции времени. Из формулы (10.91) и (10.95) находим
d i |
ахп |
dr |
2п{п + \)а~](г -г 2)+^2 |
|
L(A7+ 1)+1 |
и = ^ = |
а,п |
(10.97) |
dr |
L +— }R 4T |
|
|
п+1 |
|
где R находится из выражения (10.93).
Две последние формулы можно также получить путем непосредственного дифференцирования выражений (10.96) и (10.97) по г.
Малая интенсивность теплообмена ( B i « 1)
Чтобы получить из общего выражения (10.85) частную формулу, справедливую для малой интенсивности теплообмена, разложим натуральный
логарифм формулы (10.85) в ряд. Для этого логарифм представим в виде |
|
||||
|
ÔBL |
|
ôg/, |
1 - f |
|
1п- |
ô2Bix= In |
|
n |
(10.98) |
|
|
1+ |
ô,Bi. |
|
||
1 + |
|
|
|
|
|
Тогда в соответствии с формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
-3 |
и4 |
(10.99) |
ln(l + w)= z/ - — + - ------- + ..., |
|||||
V |
' |
2 |
3 |
4 |
|
которая используется для разложения логарифма в ряд, получим
~|3
1 + - |
Ш |
<50 |
|
т - щ |
|
>Л <5 )1 , [ « { ■ - 1 ) 1 |
I 1 |
||||
1п - |
|||||
|
2 1+5iBl' |
1--- |
( 10.100) |
||
1+ ô,BL |
l + W |
3 |
/7 |
||
|
п |
п |
|
||
Воспользуемся первым слагаемым этого ряда. Кроме того, будем считать, |
|||||
, |
|
ô^BL |
|
|
|
что при Bi « 1 величина ——L, входящая в знаменатель первого слагаемого,
п
пренебрежимо мала по сравнению с единицей (что действительно так, ибо множители $2 и Bi\ много меньше единицы, а показатель п несколько больше единицы). В результате можно приближенно принять, что
8BL |
SBi( |
|
|
|
|
1+^ - |
к ) |
, |
ВВЦ |
02 |
|
1п-------- а - |
( 10. 101) |
||||
SM |
S2Bi{ |
n I |
<5 |
||
1+ |
1+ |
|
|
|
|
Подставив значение логарифма в общую формулу (10.85), после |
|||||
некоторых преобразований получим |
|
|
|
|
|
F o -F o , = - { ô - ô ,) . |
|
( 10.102) |
|||
|
- |
Bi |
|
|
|
При выводе формулы (10.102) в правой части оказалось два слагаемых |
|||||
Fo-Fo-, = Z.+ 1 |
|
|
|
|
(10.103) |
/7+ 1 |
|
|
|
|
|
Из них |
первое, включающее величину (5 - |
<%), имеет |
в знаменателе |
||||
критерий |
Bi, |
а второе, |
включающее разность (82 - |
&2) не |
содержит его. |
||
Поскольку |
Bi |
« |
1, |
то первое значительно |
по |
абсолютной величине |
|
превосходит второе слагаемое, им возможно пренебречь по сравнению с первым. Так как при B i « 1 направляющая точка Н (см. рис. 10.7-10.9) стремится в бесконечность, перепад температуры в сечении затвердевшей корки отливки обращается в нуль, и поэтому температурная кривая при любом показателе п практически не отличается от горизонтальной прямой. По этой причине в формуле (10.102) не содержится показателя п.
Из выражения (10.102) следует, что толщина затвердевшей корки (при В /« 1 ) пропорциональна времени в первой степени (линейная зависимость).
Критерий линейной скорости затвердевания для относительно малой интенсивности теплообмена определяется путем дифференцирования
выражения (10.102): |
|
|
|
|
_ dS |
_ Bix |
|
(10.104) |
|
dFo |
L |
|
||
|
|
|||
Линейная скорость затвердевания |
|
|
|
|
dÇ |
Bix tf]|('кр-'с) |
(10.105) |
||
dr X x |
L |
Y\P\ |
||
|
||||
Как видим, при Bi\ « 1 линейная скорость затвердевания плоской отливки является величиной постоянной (не зависящей ни от толщины затвердевшей корки, ни от времени). Скорость оказывается прямо пропорциональной интенсивности теплообмена (критерию Bi или коэффициенту теплоотдачи а{).
Средняя интенсивность теплообмена (/?/= 1)
Из общего решения уравнения (10.85) можно получить упрощенную формулу применительно к средней интенсивности теплообмена. Для этого надо воспользоваться не одним, а двумя первыми слагаемыми разложения
логарифма в ряд. По-прежнему, будем считать, что величина - —
п
пренебрежимо мала по сравнению с единицей. Тогда логарифм можно будет представить в виде
+ SBL1 |
|
(10.106) |
In |
|
|
1+ S2Bi] |
|
|
Подстановка выражения (10.106) в формулу (10.85) дает |
||
Fo- FO2= — (<5 |
)+ ----- !---- (5 - S2У +— (b +— )(<52 - 5,2)- |
|
2 Bi |
2/ 2«(/7+ 1)V |
27 2n{ n + \JK |
или в виде с помощью критериев подобия:
|
х/Х, |
|
'кр-'с |
:1 — |
(ЮЛ 14) |
1 + - |
|
|
|
SBL |
|
Определив из выражения (10.85) толщину затвердевшей корки, нетрудно найти связь между температурой t, координатой * и временем г.
Обобщенная зависимость, связывающая параметры /, х и г, может быть получена при решении уравнений (10.85), (10.113). При этом необходимо исключать 8. Однако решить общее уравнение (10.85) относительно 8 затруднительно.
Соответствующую зависимость между t, х и г легко найти лишь для
определенных частных условий теплообмена (Bi » t , Æ/ « 1, Bi « |
1). |
|||||
При Bi » 1 формула (10.113) приобретает вид |
|
|
|
|||
|
|
|
V' |
|
|
(10.115) |
|
/ - 4 |
, - 0 - h |
- l + V |
|
|
|
|
|
V |
ь ) |
|
|
|
Из выражения (10.115) и формулы (10.91) находим |
|
|
||||
'= - ( '* -О - 1— |
|
, |
+'кр |
(10.116) |
||
|
|
2и{я+])а!_(г_ } |
|
|
||
|
|
Vi(n+l) +l |
- |
|
|
|
или в критериях подобия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
.t |
|
|
|
|
t ~ î c |
|
X . |
|
|
(ЮЛ 17) |
|
= 1- |
1— j--------------------- ------- |
|
|
|||
'кр _/с |
^ |
( /7 +1)+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Формулы (10.113), (10.116) и (10.117) справедливы для х < £(в пределах толщины затвердевшей корки).
Для относительно малой интенсивности теплообмена (Æ/'i«l) температура в любой точке в течение всей третьей стадии процесса (затвердевания металла) сохраняет постоянное значение, равное гкр (t = tKp).
Формула (10.113) определяет температуру t в виде функции от толщины Ç [/=X<£)L а формула (10.85)-толщину корки Çв функции от времени г[^ = /г)].
По правилу дифференцирования сложной функции найдем
dt_^dt_dÇ_
(10.118)
дт 8Ç с/т
Производная от температуры по толщине затвердевшей корки определяется из выражения (10.113):