§ 19.23. Условия на границе раздела двух диэлектриков. На границе раздела двух диэлектриков с различными диэлектрическим проницаемостями выполняются два следующих условия:

1) равны тангенциальные составляющие напряженности поля:

Ε_1t = Ε_2t (19.34)

2)равны нормальные составляющие электрической индукции:

D_1n = D_2n. (19.35)

Индекс 1 относится к первому диэлектри­ку, индекс 2 — ко второму.

Первое условие вытекает из того, что в потенциальном поле ∮ Е dl = 0 по любо­му замкнутому контуру. Второе условие представляет собой следствие теоремы Гаусса.

Докажем справедливость первого условия. С этой целью выделим плоский замк­нутый контур mnpqm (рис. 19.11) и составим вдоль него цирку­ляцию вектора напряженности электрического поля. Верхняя сто­рона контура расположена в диэлектрике с диэлектрической прони­цаемостью с ε₂, нижняя — в диэлектрике с ε_t. Длину стороны тп, равную длине стороны pq, обозначим dl. Контур возьмем так, что размеры пр и qт будут бесконечно малы по сравнению с dl. Поэтому составляющими интеграла §E₁dl вдоль вертикальных сторон в силу их малости пренебрежем. Составляющая §Edl на пути тп равна E₂dl₂ = E₂tdl, по пути pq равна Edl₁ = — E₁tdl. Знак «минус» появился потому, что элемент длины на пути pq и касательная составляющая вектора Е₁ направлены в противоположные стороны (cos 180° = —1).

Таким образом, §Е dl = E_2t dl — E_ltdl = 0 или E_1t — E_2t

Убедимся в справедливости второго условия. С этой целью на границе раздела двух сред выделим очень малых размеров параллеле­пипед (рис. 19.12). Внутри выделенного объема есть связанные заряды

и нет свободных (случай наличия свободных зарядов на границе раз- дела рассмотрим отдельно), поэтому §DdS=0.

Поток вектора D:

через верхнюю грань площадью dS: D₂dS₂=D_2ndS₂;

через нижнюю грань: D₁dS₁= D₁dS₁cos180° = - D_lndS; /dS₁/=/dS₂/=dS

Следовательно,

При наличии на границе раздела двух сред свободных зарядов плотностью (это встречается весьма редко)

при этом

т. е. при наличии на границе раздела двух сред свободных зарядов нормальная составляющая вектора D скачком изменяется на величину плотности свободных зарядов на границе раздела.

Из § 19.3 известно, что потенциалу придается смысл работы при переносе единичного заряда. При переходе через границу, отделяю­щую один диэлектрик от другого, — например при переходе от точки п к точке р на рис. 19.11 — нормальная составляющая напряженности

является величиной конечной, а длина пути np стремится к нулю. Произведение их равно нулю. Поэтому при переходе через границу раздела двух диэлектриков потенциал не претерпевает скачков.

§ 19.24. Теорема единственности решения. Электрическое поле описывается уравнением Лапласа или Пуассона. Оба они являются уравнениями в частных производных. Уравнения в частных производ­ных в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений имеют в общем случае множество линейно независимых друг от друга решений. В любой же конкретной практической задаче есть единственная картина поля, т. е. единственное решение. Из множества линейно

независимых решений, допускаемых уравнением Лапласа— Пуассона, выбор единственного, удовлетворяющего конкретной задаче, произво­дят с помощью граничных условий. Если есть некоторая функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа — Пуассона и граничным условиям в данном поле, то эта функ­ция и представляет собой то единственное решение конкретной за­дачи, которое ищут. Это положение называют теоремой единственности решения. До­кажем ее. Допустим, что есть два решения (φ' и φ", Е' и Е "). На по­верхности каждого k-гo проводящего тела с зарядом q_k потенциал φ' k = φ" k, Во всех точках разностное поле (φ = φ'— φ"и Е = Е' — Е ")

27

отсутствует, так как его энергия ∫ 1/2на поверхности проводника ф* =-=; фа — фа = 0].