§ 19.40, Проводящий шар в равномерном поле. Для определения

четырех постоянных необходимо учесть не только условие на поверхности шара, но и условия на большом удалении от шара, теоретически

на бесконечно большом удалении от шара, или, как принято говорить,

условия на бесконечности.

Совокупность весьма удаленных от шара точек в условном смысле

рассматривается при этом как бесконечность. Если шар не заряжен,

то все. точки плоскости хоу, проходящей через центр шара, имеют

один и тот же потенциал. Обозначим его φ₀.

При удалении от шара на большое расстояние z =R cosθ, по сравнению с которым радиус шараα весьма мал, возмущающее действие шара на поле либо вовсе не проявится (если суммарный заряд шара будет равен нулю), либо проявится как возмущение от точечного заряда (если шар будет иметь на себе суммарный свободный зарядQ). Потенциал φ на бесконечности определим так:

Первое слагаемое правой части (19.63) дает составляющую потенциала от заряда шара Q, слагаемоеE₀R cosθучитывает прирост потенциала от напряженности равномерного поляЕ₀ на путиz = R cosθ. Так как решение (19.62) годится и для точек поля, весьма далеко (бесконечно далеко) удаленных от шара, то можно сопоставить выражения (19.62) и (19.63). 0ни должны давать один и тот же ре­зультат. Это будет только в том случае, когда соответствующие сла­гаемые в обоих выражениях равны. Из сопоставления следует, что

Сопоставление на бесконечности не дает возможности найти вели­чину С₄, так как в (19.63) нет слагаемого, изменяющегося обратно пропорционально второй степениR. Для нахождения С₄воспользу-

-------------------------------------------

* Задачи теории поля, в которых приходится решать уравнение в частных производных и из большого числа выбирать решения, удовлетворяющие граничным условиям, в математических работах принято называть краевыми задачами.

47

емся в условиях электростатики все точки поверхности шара имеют один и тот же потенциал. Это условие равносильно тому, что тангенциальная составляющая напряженности поля на поверхности шара равна нулю. При R= a

Правая часть будет постоянной с изменением θ только при усло-

вии, что

Таким образом, для всех точек диэлектрика

Если Q=0, то на поверхности шара (при R — а) Е_R = -3E₉ cos θ.

При θ=0 напряженность E_R = -3 E_9; при == 180° Е_R = 3E_Q, т. е. в этих точках напряженность поля стала в три раза больше напряженности равномерного поля E_Q в которое был внесен шар. На «экваторе» при θ = 90° напряженность, напротив» стала равной нулю. Таким образом, капелька воды, попав в бак трансформатора с масляным заполнением, вызовет значительное местное увеличение напряженности поля.

§ 19.41. Диэлектрический шар в равномерном поле. Если в равномерное поле помещен незаряженный диэлектрический шар, то как внутри шара, так и вне его нет свободных зарядов и потому поле описывается уравнением Лапласа. Полное решение (19.62) пригодно и для данной задачи. Величины, служащие для описания поля внутри шара, обозначим с индексом i, а величины, с помощью которых записывается потенциал во внешней по отношению к шару области,— с индексом е. Таким образом, для внутренней области

Надо найти 8 постоянных интегрирования. Потенциал на бесконеч­ ности в этом случае φ= φ₀ + E₀R cos θ.

для внешней области

48,

Сопоставим последнее выражение с (19.66): C_2е = φ₀ и С_3е = Е₀. В § 19.14 было рассмотрено поле точечного заряда. Там было показано, что потенциал в поле точечного, заряда изменяется обратно пропорционально R. Поэтому C_le/R — есть составляющая потен­циала от суммарного заряда шара, рассматриваемого как точечный заряд. Так как суммарный заряд шара равен нулю, то в выражении для φ_е составляющая должна выпасть, т. е. С_1е = 0. Следовательно,

Отсюда С₄ == —Е₀а³.

В выражении (19.66) осталась неизвестной лишь постоянная C_4е.

Так как потенциал зависит только от R и 0, напряженность элек­трического поля имеет только две составляющих (см. § 19.8):

Рассмотрим выражение потенциала φ_i для внутренней области. Оно должно давать конечное значение для всех точек внутри шара. Это возможно только тогда, когда С_1i = 0 и С_4i =0 (если бы C₁i 0, то слагаемое С_1i/R в центре шара при R = 0 давало бы бесконечно большое значение). Постоянная С_2i с точностью до которой опре­деляется потенциал в рассматриваемом поле, равна аналогичной постоянной С_2е = φ₀ для внешней области. Таким образом, для внутренней области

Оставшиеся неизвестными постоянные С_4е и C_3i найдем из гранич-

НЫХ: УСЛОВИЙ. Из равенства потенциалов φ_i и φ_е при R == а (это условие, как нетрудно, убедиться, эквивалентно .условию E_1t=E_2t) следует, что

Из равенства нормальных составляющих вектора D на границе следует, что '

Совместное решение двух последних уравнений дает:

.

Т.е.

Потенциал внутренней области:

.Потенциал внутренней области:

.Потенциал внешней области:

Напряженность поля внутри шара:

Решая уравнение Лапласа в цилиндрической системе координат, Получим следующие формулы для определения потенциала внутри

цилиндра (φ_i) и вне ци­линдра (φ_е):

Напряженность равномер- ного поля внутри цилиндра, направленная по оси х,

Напряженность Е направлена вдоль оси - z и не зависит от коор­динат точки. Это означает, что поле внутри шара однородное. На рис. 19.23 изображены линии вектора D и эквипотенциальные линии (картина поля) для трех случаев:

а) когда в равномерное (до внесения шара) поле помещен незаряженный проводящий шар (рис.19.23,а);

б) когда в равномерное (до внесения шара) поле помещен диэлектрический шар, ε _i которого больше ε_е окружающей среды (рис. 19.23, б);

в) когда ε _i диэлектрического шара меньше ε_е окружающей среды (рис.19.23,в)

Как известно из § 19. 15, линии вектора D начинаются на свободных зарядах.Эти линии прерываются на поверхности металлического шара (см.рис.19.23,а) и проходят, не прерываясь, через диэлектрический шар (см.рис.19.23,б и в).

Если на рис.19.23,б и в вместо линий вектора D изобразить линии вектора напряженности поля E, то линии E частично претерпевали бы разрыв на поверхности шаров,так как истоком для E являются не только свободные, но и связанные заряды (см.формулу (19.21')

§ 19.43. Диэлектрический цилиндр в равномерном поле. Аналогично формулам § 19.41 выводятся формулы, позволяющие определить потенциал и напряженность равномерного поля, возмущенного внесением в него диэлектрического цилиндра (ось цилиндра перпендикулярна E₀).

Пусть напряженность E₀ равномерного (до внесения цилиндра) поля направлена параллельно оси х декартовой системы (рис.19.24,а). Поместим в это поле диэлектрическийцилиндр так, чтобы ось цилиндра совпала с осью z.

50

В заключение отметим,

что если в равномерное поле

напряженностью Е₀ внести

проводящий цилиндр радиу-

сом а, расположив его так, что продольная ось его будет перпендикулярна Е, то потенциалв области вне цилиндра