§ 19.35. Емкостные коэффициенты. Вторая группа формул Макс­велла. Решим систему (19.48) относительно зарядов, полагая потен­циалы φ и коэффициенты α известными:

Коэффициенты β_kn= ∆_kn/∆. Здесь через ∆ обозначен] определитель системы (19.48):

Алгебраическое дополнение ∆_kn получают из определителя си­стемы ∆ путем вычеркивания k-строки и n-столбца и умножения полу­ченного минора на (—1)^k+n.Система (19.49) является второй группой формул Максвелла.

Коэффициенты р называют ёмкостными коэффициентами. Раз-

мерность их обратна размерности коэффициента α. Так как опреде-

литель системы ∆ симметричен относительно главной диагонали, то ∆_kn = ∆_nk и потому β_kn = β_nk. Все β с одинаковыми индексамиположительны, ас разными индексами отрицательны.

Убедимся, например, в том, что β₁₁ положительно, а β₂₁ и β_3]

отрицательны. С этой целью все провода, кроме первого, соединим

тонкими (чтобы не искажать поля) проводниками с землей. Потен-

циал земли примем равным нулю. При этом из (19.49) следует, что

Придадим первому проводу положительный по отношению к земле потенциал, соединив его с землей, например через батарею (рис.

19.19, а). Заряд первого провода положителен и потенциал первого провода положителен (φ₁ > 0; τ₁ > 0). Отрицательный заряд рас­сечется по земле и по всем телам, с ней электрически соединенными

39

Все провода, кроме первого, поскольку они электрически соединены с землей, приобретут отрицательные заряды:

Из системы (19.49') следует, что

Отсюда вытекает методика определения опытным путем коэффи­циентов β₁₁ и β₂₁.

Если после зарядки провода 1 (ключ К на рис. 19.19, а включен)

до известного потенциала φ₁ ключ K разомкнуть, убрать батарею,

включить гальванометры G₁ и G₂ (рис. 19.19, б), а затем замкнуть

ключ К, то система разрядится; G₁ измерит заряд τ₁, aG₂— заряд τ₂

провода 2 и т. д. Далее находим β₁₁ = τ₁/φ₁ и β₂₁ = τ₂/φ₁

§19.36. Частичные емкости. Третья группа формул Максвелла.

Систему (19.49) Цринято записывать ив иной форме, так чтобы в правой части каждой строчки были не потенциалы, а разности потенциа­лов между данным телом и.всеми остальными, в том числе и землей. В соответствии с (19.49) заряда k-тела:

Слагаемое

Поэтому

Обозначим:

Тогда

Если придать k значения 1, 2, 3, .... то получим

Система (19.53) является третьей группой формул Максвелла. Коэффициенты C_kk называют собственными частичными емкостями, а коэффициенты С_kт— взаимными частичными емкостями. (Часто слова «собственная» и «взаимная» опускают.) Так как β_km= β_mk то и С_kт = C_mk

Размерность частичных емкостей та же, что и размерность емкостных коэффициентов β Все частичные емкости положительны. Так как С_kт <0, то очевидно, что C_km > 0. Чтобы убедиться, что С_kk положительно, проведем следующий опыт: соединим тонкими проводниками все провода с . При этом всеUkт= 0, и из (19.52) следует, что τ_k =. φ_k C_kk

Если -проводу сообщить положительный по отношению к земле

потенциал (потенциал земли принят. равным нулю), соединив его

с плюсом батареи, минус которой соединен с землей, то τ_k и φ_kбудут

положительными и

Емкость C_kk оказывается положительной, несмотря на то что в состав ее [см. формулу (19.50)] может входить большое число отри-

(коэффициент

Сог-

цательных коэффициентов

ласно (19.53), полный заряд k-тела равен сумме зарядов. Зарядφ_k C_kk обусловлен разностью потенциалов между k-телом и землей; Ukт С_kт — есть заряд, обусловленный разностью потенциалов, между k- и m-телами. Поэтому частичной емкости C_hm между k- и m-телами можно дать следующее толкование: С_кт — есть отношение: составляющей заряда k-тела, обусловленной разностью потенциалов Ukm между k- и m-телами, к величине этой разности потенциалов.

Для более наглядной иллюстрации системы (19.53) можно представить, что в системе трех проводов (рис. 19.20) первый провод как бы соединен с обкладками трех конденсаторов С₁₁, С₁₂ и.С₁₃. Заряды на обкладках этих конденсаторов, обращенных к проводу 1 соответственно равны φ₁ С₁₁; U₁₂С₁₂; U₁₃G₁₃. Заряды на других обклад­ках записаны на рис. 19.20.

Три группы формул Максвелла справедливы для системы заряжен­ных тел любой формы. Однако, если тела имеют произвольную форму,

41

помещенного в центре

расположенного

заданного заряда q, заряда зеркального изображения

то потенциальные коэффициенты уже нельзя определять по формулам (19.48"), справедливым только для системы линейных параллельных

на расстоянии х = а²/b от центра шара, и заряда

достаточно длинных проводов

шара. При этом суммарный заряд шара равен нулю,

Определение емкостных коэффициентов и частичных емкостей в этом случае производят опытным путем. Частичные емкости используют при расчетах не только электростатических полей, но и при расчетах быстро протекающих процессов в электрических цепях, а также процессов в электрических цепях, в основу которых положено использование частичных емкостей, например при емкостном отборе мощности от высоковольтной линии электропередачи. Частичные емкости между электродами электронных ламп, между электродами транзисторов учитывают при расчетах быстро протекающих процессов (см., например-, гл. 9).