§ 19.43. Понятие о плоскопараллельном, плоскомеридианном и равномерном полях. В литературе можно встретить термины «пло­скопараллельное поле», «плоскомеридианное поле» и «равномерное

поле» *.

Под плоскопараллельным полем понимают поле, картина которого (т. е. совокупность силовых и эквипотенциальных линий) повторя­ется во всех плоскостях, перпендикулярных какой-либо одной оси декартовой системы координат, т. е. в плоскопараллельном поле кар­отина поля не зависит от какой-либо одной координаты декартовой системы.

В качестве примера плоскопараллельного поля можно назвать поле двухпроводной линии (двух параллельных проводов). Если ось z декартовой системы направить вдоль оси одного из проводов, то потен­циал φ не будет зависеть от координаты z.

* Физики и математики в термин «поле» вкладывают свое («профессиональное») содержание. Когда говорят о поле в физическом смысле (электромагнитном, грави­тационном, тепловом, поле ядерных сил), то под ним понимают вид материи. Когда о поле говорится в математическом смысле, то имеется в виду поле величины, кото­рой оно описывается. С чисто математической точки зрения поля могут быть век­торные и скалярные, вихревые и безвихревые, плоскопараллельные, плоскомериди­анные и др.

(51)

Под плоскомеридианным полем понимают поле, картина которого повторяется во всех меридианных плоскостях, т.е. картина поля не зависит от координаты а цилиндрической или сферической системы координат. В литературе встречается еще определение плоскомери-дианного поля как поля, образованного телами вращения с общей осью.

В качестве примера плоскомеридианного поля можно назвать поле образованное внесением металлического шара в равномерное до вне­сения шара поле (см. рис. 19.23), или поле диполя, о котором идет речь в примере 197. В обоих случаях потенциал зависит только от ра­диуса R и угла θ сферической системы координат, но не зависит от угла α.

Частным случаем плоскомеридианного поля является поле, в кото­ром потенциал зависит только от какой-либо одной координаты сфе­рической или цилиндрической системы координат.

В равномерном поле напряжённость одинакова во всех точках поля^; т. е. величина ее не зависит от координат точки.

Равномерное поле Образуется, например, между обкладками плоского конденсатора, если в пространстве между ними отсутствуют сво­бодные заряды и если пренебречь искажающим влиянием краев кон­ денсатора.

Следует иметь в виду, что большинство встречающихся на прак­тике полей не обладает ни одним из перечисленных видов симметрии и потому не может быть отнесено ни к плоскопараллельному, ни к пло­скомеридианному, ни к равномерному полям.

§ 19.44. Графическое построение картины плоскопараллельного поля.

Аналитический расчет полейчасто вызывает затруднения, например, кргда поверхности электродов имеют сложную форму.

В этом случае картину поля строят графически. С этой целью сначала выяс­няют, не обладает ли изучае­мое поле симметрией. Если она имеется, то картину поля строят только для одной из областей симметрии. Так, картина поля, образованного двумя проводящими взаимно

перпендикулярными относительно тонкими пластинками (электрода­ми), построена на рис. 19.25, а только для верхней полуплоскости (в нижней полуплоскости картина повторяется).

Для того чтобы слагаемые в скобке по величине были одинаковы, при построе-

нии должно быть выдержано соотношение

При построении руководствуются следующими правилами. 1. Силовые линии должны подходить к поверхностям электродов перпен­дикулярно. 2. Силовые и эквипотенциальные линии должны быть взаимно перпендикулярны и образовывать подобные ячейки поля (криволинейные прямоугольники), для .которых отношение средней длины

ячейки а к средней ширине этой ячейки b для всех ячеек должно быть приблизительно одинаковым, т. е. a ₁lb₁ = a₂/b₂ = ... .

Если число ячеек в силовой трубке обозначить п, а число тру­бок т (в примере п = 8, т = 2 х 10), то при соблюдении пере­численных правил разность потенциалов между соседними эквипотенциалями будет одинакова и равна =U/n, где U — напря­жение между электродами, а поток вектораD в каждой силовой трубке будет такой же, что и в соседней. Обозначим длину электро­дов в направлении, перпендикулярном рисунку, через l .Тогда

Отсюда

Напряжение между электродами U == E₁a₁ + Е₂а₂+ ... + Е_nа_n. Под­ставим в последнее выражение значения напряженностей поля Е₁ Е_п и учтем, что по построению a_1/b₁ = a₂/b₂ = a_n/b_n = a/b. Получим

Л -

Поток в одной силовой трубке

Емкость между электродами C=

§ 19.45. Графическое построение картины плоскомеридианного поля. В пло скомеридианном поле силовые линии также должны подходить к поверхностям электродов под прямым углом, а силовые и эквипотенциальные линии должны быть взаимно перпендикулярны. Однако в отличие от плоскопараллельного поля в образующйхся при построении ячейках поля в меридианной плоскости отношение а_k к b_k не одинаково для всех ячеек, а зависит от расстояния центра этой ячейки до оси вращения .На рис. 19.25, б изображена часть картины поля между двумя шарами. Каждая силовая линия при вращении вокруг общей оси образует поверхность враще­ния, а каждая силовая трубка занимает пространство между смежными поверхностями вращения.

Обозначим а _k –длина ячейки вдоль силовой.трубки; b_k —ширина ячейки; n-число ячеек.вдоль силовой трубки; т — число силовых трубок. Запишем условие равенства потока вектора D через ячейки силовой трубки = 2πr₁b₁ε _aE₁ =

2πr₂b₂ε _aE_2=..'Напряжение между электродами

т.е. с увеличением

53

расстояния центра ячейки от оси вращения отношение_а_k/b_k должно возрастать. Если это соотношение выдержано, то

расстояния центра ячейки от оси вращения отношение_а_k/b_k должно возрастать. Если это соотношение выдержано, то

§ 19.46. Объемная плотность энергии электрического поля и выражение меха­нической силы в виде производной от энергии электрического поля по изменяющейся координате. Положим, что в некоторый момент времени напряжение на конден­саторе равно и. При увеличении напряжения на конденсаторе на величину du за­ряд на одной из пластин конденсатора увеличится на величину dQ, а на другой - на величину —dQ: dQ = Cdu, -где С— емкость конденсатора.'

Для переноса заряда dQ источник энергии должен совершить работу, равную udQ=Cudu, которая затрачивается на создание электрического поля в конден­саторе.

Энергия, доставленная легочником при заряде конденсатора от, напряжения и =0 до напряжения и = U и перешедшая в энергию электрическогополя конден­сатора,

Рассмотрим вопрос об объемной плотности энергии электрического поля. С этой адлью возьмем плоский конденсатор и положим, что расстояние между пластинами его равно х, а площадь каждой пластины с одной стороны равна S. Диэлектрическая проницаемость среды между пластинами ε_а. Напряжение между пластинами U. Пренебрежем искажающим влиянием краев конденсатора на поле [между пласти­нами. При этом условии поле моясно считать равномерным. Напряженность элек­трического поля по модулю Е = U/x.

Вектор электрической индукции по модулю D =ε_аЕ = Q/S. Емкость плоского

конденсатора С = Для нахождения объемной плотности энергии электрического поля разделим энергию W= ⁼ на объем V = Sх, «занятый полем».Получим

Таким образом, объемная плотность энергии электрического поля равна ,

Если поле неравномерно, то напряженность будет изменяться при переходе от одной точки поля к соседней, но объемная плотность энергии поля будет по-прежнему равна

так как в пределах бесконечно малого объема поле можно считать равномер­ным. Выделим в поле элементарный объем dV. Энергия в этом объеме равна dV .

Энергия, заключенная в объеме V любых размеров, равна

54

В электрическом поле между заряженными телами действуют механические силы и их можно выразить в, виде производной от энергии поля по изменяющейся координате. На рис, 19.24, б изображен плоский конденсатор, который присоединен к источнику напряжения U. В Соответствии с предыдущим расстояние между пла­стинами назовем х, а площадь пластины — S. На каждую пластину конденсатора действует сила F. Под действием этих сил пластины конденсатора стремятся сбли­зиться. Сила, действующая на нижнюю пластину, направлена вверх, на верхнюю пластину — вниз.

Положим, что под действием силы F нижняя пластина медленно, теоретически бесконечно медленно, переместилась вверх на расстояние dx и приняла положе­ние, показанное пунктиром на рис. 19.24, б. Составим уравнение для баланса энергии при таком перемещении пластины. На основании закона сохранения энергии достав­ленная источником питания энергия dW_и должна равняться сумме трех слагаемых: 1) работе силы F на расстоянии dx : Fdx= Fdx; 2) изменению энергии электриче­ского поля конденсатора dW₃; 3) тепловым потерям от тока , который протекает по проводам с сопротивлением R в течение времени от 0 до:dW_и = Fdx + dW +Rι²dt

Так как по условию проведения эксперимента пластина конденсатора переме­щается вверх теоретически бесконечно медленно, то изменение зарядов на пластинах также происходит весьма медленно, а следовательно, и проходящий через конденсатор ток смещения бесконечно мал. Другими словами, тепловыми потерями

Rι²dt в силу их малости в уравнении энергетического баланса можно пренебречь

Таким образом, силу F можно.выразить в виде производной от разности энер­гий (W_и— W) по изменяющейся координате х.

В общем случае при перемещении пластины могут изменяться и напряжение «между пластинами U и заряд Q

Рассмотрим теперь два характерных частных случая перемещения пластины конденсатора. В первом конденсатор отсоединен от источника напряжения и переме­щение пластины происходит при неизменных зарядах на пластинах. Во втором пере-_: мещение пластины происходит при неизменном напряжении между пластинами (конденсатор присоединен к источнику неизменного напряжения U).

Пе р в ы й случай. Так как конденсатор отсоединен от источника энергии,

то последний энергии не доставляет и потому dW_n = 0. При этом F= -

Таким образом, сила, действующая на пластину, равна взятой с обратным знаком производной от энергии электрического поля конденсатора по изменяющейся

координате. Знак «минус» свидетельствует о том, что в рассматриваемом случае

работа силы производится за счет убыли энергии в электрическом поле конденса-

Второй случай. Энергия, доставляемая источником питания при U = =_rconst, dW_и = UdQ = U²dC, где dC — приращение емкости, вызванное умень­шением расстояния между пластинами, на величину dx.

тора

Сила, действующая на пластину конденсатора во втором случае, равна силе, действующей пластину конденсатора в первом случае. На единицу повеохности

конденсатора действует сила

выражает собой не только плотность

Обратим внимание на то, что величина

энергии электрического поля, но и числе силе, действующей на единицу, поверхности пластины конденсатора. Действующие на пластины конденсатора силы можно рассматривать как результат проявления сил продольного сжатия (вдоль силовых трубок) и сил бокового распора (поперек силовых трубок). Силы продоль­ного сжатия стремятся укоротить силовую трубку, а силы бокового распора — расширить ее. На единицу боковой поверхности силовой трубки действует сила,численно равная ε_аE²/2 . Эти силы проявляются не только в виде сил, действующих на пластины конденсатора, но также в виде сил на границе раздела. двух диэлектриков. В этом случае на границе раздела действует сила, направленная в сторону диэлектрика с' меньшей диэлектрической проницаемостью.