§ 19.49. О расчете электрических полей, создаваемых диэлектриками, сохраняю­щими остаточную поляризацию при снятии внешнего поля. Поле, которое создает

однородно поляризованный диэлектрик с остаточной поляризацией P (электрет, сегнетодиэлектрик) (на рис. 19.37, а он изображен в виде цилиндра длиной и площадью поперечного сечения.S) на ос­новании § 19.14 .будет таким же; как поле воздушного конденсатора, изображенного на рис. 19.37, б. Площадь пластин этого конденсатора равна S, расстояние между ними ,заряды на пл,астинах равны соответственно PS.

Если поле создается не только диэлектриком с остаточной поляризацией,

но и другими заряженными телами, то следует использовать принцип на­ложения. Поле определяется вне поляризованного диэлектрика.

Вопросы для самопроверки

1. Охарактеризуйте понятие «электростатическое поле». 2. Какой физический смысл придается E и φ? Какая интегральная и дифференциальная связь существует между ними? 3. Какие поля называют потенциальными? 4. Что понимают под кар­тиной пап я? Какие характеристики поля называют точечными, какие интеграль­ными? 5. В чем отличие свободных зарядов отсвязанных? 6. Каков смысл вектора Р? Что послужило основанием для введения вектора D? 7. Дайте физическое толкова­ние понятиям градиента и дивергенции. 8. Могут ли при переходе через границу раз­дела двух сред с различными е полные значения E и D изменяться скачками? 9. Оха­рактеризуйте поле точечного и линейного зарядов и поле диполя. 10. Дайте обосно­вание методу зеркальных изображений. 11. Что определяют потенциальные и ем­костные коэффициенты и частичные емкости? 12. Дайте примеры плоскопараллельного, плоскомеридианного и равномерного полей. 13. Охарактеризуйте идёюи этапы решения уравнений в частных производных методом разделения переменных. 14. Ка­кое допущение принято в методе средних потенциалов? 15. Тонкое кольцо радиуса а заряжено с плотностью т и находится в воздухе; определите создаваемую им напря-

ГДАВА ДВАДЦАТАЯ

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА

В ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЕ

§ 20.1. Плотность тока и ток. Если под воздействием внешних источников в проводящей среде (металлических проводниках земле жидкостях) создано электрическое поле, то в ней будет протекать электрический ток.

Упорядоченное движение свободных электронов в металле и ионов в.жидкости под действием электрического поля принято называть током проводимости.

При своем упорядоченном движении носители зарядов испытывают многочисленные столкновения с другими частицами вещества, которые находятся в тепловом движении. Эти столкновения затрудняют упоря­доченное движение носителей зарядов и являются причиной сопро­тивления, оказываемого проводящей средой прохождению тока. Свойство среды, характеризующее ее способность проводить ток называют удельной проводимостью у. Удельная проводимость y зави-. сит от физических свойств проводящего материала и температуры имеет размерность Ом^-1м^-1 = См/м.

Электрическое поле в проводящей среде подчиняется законам, рассмотренным в данной главе.

Основной величиной в электрическом поле проводящей среды является плотность тока . Это векторная величина, направленнаяпо напряженности электрического поля. Она численно равна отношению тока , протекающего; через элемент поверхностиS (перпен­дикулярный к направлению-напряженности поля в данной точке) к величине S этой поверхности.

Если поверхность имеет конечные размеры, то направление век- тора плотности тока во всех элементах, на которые может быть раз- убита эта поверхность, и направление элементов поверхности могут быть различны, и ток определится так:I= ...

Таким образом, ток есть поток вектора плотности тока. Ток в отличие от плотности тока является скаляром алгебраиче­ского характера.

При протекании постоянных токов как внутри проводящих тел так и вне их существуют постоянные (неизменные во времени) магнитные поля. Так как эти поля неизменны во времени, то в поле не воз­никает явления электромагнитной индукции, т. е. магнитное поле созданное постоянным током, не оказывает влияния на электрическое поле постоянного тока. Поэтому электрическое и магнитное поля постоянного тока можно рассматривать раздельно.

Магнитное поле постоянного тока рассматривается в гл. 21.

§ 20.2. Закон Ома и второй закон Кирхгофа в дифференциальной форме. Выделим в проводящей среде небольшой параллелепипед объе-. мом V. Длина ребpa параллелепипеда , площадь поперечногосечения S. Расположим этот параллелепипед так, чтобы напряжен-

69

ность поля в нем была направлена параллельно ребру (рис. 20.1, а). В силу малости объема можно считать, что напряженность электри­ческого поля Е одна и та же во всем элементарном объеме; ==n °;S = Sn°, гдe n° — единичный вектор по направлению ,S и Ё. Ток I = dS =S. Напряжение на элементе объема U = Е ==

= R. Сопротивление элемента объема R= /yS

Соотношение (20.1) называют законом Ома в дифференциальной форме. Оно устанавливает связь между плотностью тока в данной точке проводящей среды и напряженностью поля в этой же точке.

Уравнение (20.1) справедливо для областей вне .источников э. д. с. В областях, занятых источниками э. д. с, кроме кулонова (электро­- статического) поля существует еще так называемое стороннее элек­ трическое поле, обеспечивающее непрерывное движение зарядов в элек­- трической цепи.

Под сторонним электрическим полем понимают электрическое поле, обусловленное химическими, электрохимическими, тепловыми, термоэлектрическими процессами.

Напряженность стороннего поля обозначают E_стор.. В областях,

занятых источниками э. д. с, полное значение напряженности поля

равно геометрической сумме напряженности кулонова и стороннего

полей Е + E_стор..

На рис. 20.1, б схематически изображена электрическая цепь постоянного тока, состоящая из источника питания и нагрузки. .

70

Источник сторонней э. д. с. создает внутри источника питания стороннюю напряженность поля E_стор..

Линейный интеграл от сторонней напряженности поля внутри источника на­зывается э. д. с. источника (Е_t)

Под действием стороннего поля в источнике непрерывно происходит разделе- ние электрических зарядов. Положительные заряды перемещаются к плюсу источника, а отрицательные — к минусу.

Эти заряды в области внутри и вне источника создают электрическое поле, на- пряженность которого, как и напряженность электростатического (кулонова) поля, направлена от положительных зарядов к отрицательным.

При протекании постоянного тока по цепи одни электрические заряды непре­рывно сменяются другими, такими же, как и в предыдущие моменты времени. Таким образом, картина поля в макроскопическом смысле повторяется в смежные моменты времени. Поле носит как бы статический характер. Это и послужило основанием для того, чтобы поле, созданное в проводящей среде разделившимися зарядами, называть кулоновым полем, а его напряженность Е — напряженностью кулонова поля.

Внутри источника кулоново поле направлено навстречу стороннему полю. Пол-

ное значение напряженности поля внутри источника равно E+E_стор..Вне источника кулоново поле направлено от положительного электрода, к отрицательномуПод действием этого поля и происходит упорядоченное движение зарядов в области вне источника. При протекании тока по цепи | E_стор | |E| .При разомкнутой цепи

| E_стор | |E|;.

Закон Ома в дифференциальной форме для областей, занятых источниками э. д. с, записывают следующим образом:

Уравнение (20.3) называют обобщенным законом Ома в дифферен­циальной форме.

Если, от обеих частей уравнения (20.3) взять интеграл по замкну­тому контуру, включающему в себя источник э. д. с, то из уравнения (20.3) будет получен второй закон Кирхгофа. Поэтому уравнение (20.3) называют также вторым законом Кирхгофа в дифференциальной форме.

На рис. 20.1, в изображен замкнутый контур, по которому течет ток I. На участке 123 имеется источник сторонней э. д. с. Е₁ На участке 341 нет источников сторонней э. д. с. Обозначим через R₁ сопротивление участка 123 и через R — сопротивление участка 341. Примем, что площадь поперечного сечения всех участков замкнутого контура достаточно мала для того, чтобы можно было считать направление плот­ности тока и напряженности поля в некоторой точке совпадающими с направле­нием элемента пути dl в той же точке.

Умножим обе части (20.3) на dl/y и составим циркуляцию вдоль замкнутого кон­ тура 12341 (рис. 20.1, в):

=0 в силу потенциального характера кулонова поля.

₇₁

В свою очередь

но равен сторонней Э. д. с. E_1,а E_стор dl=0, так как на участке 341

123 341

нет сторонней э. д. с.

Для подсчета величины умножим и разделим подынтегральное выраже­ние на площадь поперечного сечения S, от плотности тока перейдем к току I и

заменим на сопротивление участка путиdR. Получим;

Таким образом,.из уравнения (20.3) образовано .уравнение I (R₁+R) = E₁ составленное по второму закону Кирхгофа. '