§ 21.14. Выражение магнитного потока через циркуляцию вектора-потенциала. Магнитный поток, пронизывающий какую-либо поверхность ,

Ф=ВdS (21.24)

s

Так как В = rot A, то Ф = rot A dS.

s

На основании теоремы Стокса поверхностный интеграл может быть преобразован в линейный:

∫ rot AdS=Adl (21.25)

s Таким образом,

Ф = Adl (21.26)

Другими словами, для определения магнитного потока, пронизы­вающего некоторую площадь (поверхность) S, необходимо подсчитать Циркуляцию вектора потенциала по замкнутому контуру, на который опирается

поверхность S.

Определение потока по (21.26) часто имеет преимущества по сравнению с определением потока через магнитную индукцию по (21.24) Соотношением (21.24) можно пользоваться в том случае, когда известно значение В в любой точке поверхности S, тогда как для вычисления потока с помощью соотношения (21.26) достаточно знатьзначение А на контуре и не требуется знание А в точках внутри контура.

Переход от ∫ rot AdS к интегралу Аdl можно пояснить следующим

образом.

Разобьем площадь S на элементарные площадки (рис. 21.7). Заме­ним интеграл суммой и под интегралом вместо rot A подставим в со-

Таким образом, для вычисления ∫rot AdS

s

необходимо найти составляющие циркуляции

вектора А по контурам всех элементарных площадок и затем сложить их. Так как пои

составлении циркуляции обход участков, являющихся смежными между какими-либо двумя соседними площадками, совершается дважды и притом в противоположных направлениях, то составляю­щие циркуляции на всех смежных участках взаимно уничтожаются и остается циркуляция только по периферийному контуру mnpq: Adl= Adl

по контуру . .

mnpq

Рассмотрим граничные условия для векторного потенциала.

Если к плоскому контуру на границе раздела двух сред (подобно изображенному на рис. 21.5, б и у которого размер пр0)применить (21.26) и учесть, что поток через этот контур равен нулю, то получим граничное условие для тангенциальной составляющей вектора А A_1t = A_2t _

Нормальная составляющая вектора А в постоянном магнитном поле тоже непрерывна, т. е. А_1п = А_2n. Это следует из того, что для этого поля div А = 0.

Но для переменного электромагнитного поля div А = - ₂ [см. формулу (26.12)],

поэтому для синусоидального поля при использовании нормировки Лоренца

A_{1n –} A_{2n= - 2}

94

§ 21.15. Векторный потенциал элемента тока. Определим величину и направление составляющей векторного потенциала А, создаваемой i ,протекающим по элементу линейного пробника длиной dl. Пусть расстояние от элемента тока по произвольной точки пространства обозначено через R (рис. 21.8) (Rdl). В соответствии с общим выражением

где dS— площадь поперечного сечения проводника.

Следовательно,

dA= (21.27)

Составляющая векторного потенциала от элемента тока имеет такое направление в пространстве, как и ток в элементе проводника.

Пример 207. Вывести формулы для определе­ния A и В в поле кругового витка (рис. 21.9) ра­диусом r₀ с током (, находящегося в плоскости хоу.

Решение. От элемента тока idl (он состав­ляет угол α с осью у) в произвольной точке М, уда­ленной от оси z на расстояние р и на Z от плоско­сти хоу, если полагать, что расстояние R велико по сравнению с линейными размерами поперечного сечения проводника, составляющая векторного потенциала определится формулой (21.27).

Разложив dl на две проекции: dl ₁ = dl sin α и dl ₂ = dl cos а и учитывая, что dl = rtfla и что си-

Полное значение

На основании.формул (21.16) и (21.7), заменив в них Н на А и опустив выкладки, получим проекции индукции В в точке М на оси α, r, z цилиндрической системы ко- ординат: В_α= 0;

§ 21.16. Взаимное соответствие электростатического (электриче­ского) и магнитного полей. Между картинами электростатического и магнитного полей постоянного тока в областях, не занятых током, может быть соответствие двух типов.

Первый тип соответствия— когда одинаково распределение ли­нейных зарядов в электростатическом поле и линейных токов в магнит-

щего электростатического поля. Отличие состоит лишь в том, что си­ловым линиям электростатического поля отвечают эквипотенциальные линии магнитного поля, а эквипотенциалям электростатического поля соответствуют силовые линии магнитного.

В качестве примера на рис. 21.10, а изображена картина электри­ческого поля, образованного уединенным линейным зарядом +τ, а на рис. 21.10, б — картина магнитного поля уединенного проводника с током (для области вне проводника).

Второй тип соответствия — когда одинакова форма граничных эквипотенциальных поверхностей в электростатическом поле и в маг­нитном поле постоянного тока. В этом случае картина поля оказы­вается совершенно одинаковой.

Соответствие второго типа показано на рис. 21.11. На нем изобра- жена картина магнитного поля в воздушном промежутке между по­люсом и якорем машины, постоянного тока (обмотки не показаны). Если допустить, что полюс и якорь этой машины используются в ка­честве электродов некоторого конденсатора, то картина электриче­ского поля в воздушном промежутке между электродами соответст­вовала бы картине магнитного поля — в обоих случаях силовые ли-

96 -

нии выходили бы из полюса и входили бы в якорь нормально к поверхности полюса и якоря.