§ 25.1. Вывод уравнений для Аи φ в переменном электромагнит-

ном поле и их решение. Переменное электромагнитное поле создается токами и зарядами, зависящими не только от координат, но и от времени. Рассмотрим, каким уравнениям подчиняются, векторный и скалярный потенциалы А и φ в переменном электромагнитном поле, С этой целью выпишем систему уравнений Максвелла

В (25.10) в качестве градиента скалярной функции взят grad φ. Объясняется это тем, что уравнение (25.10) должно быть справедливо и для статического поля. А так как в статическом поле ∂А/∂t =0, то

выражение, которое получается, из (21.10) для статического поля, должно совпадать с известным из электростатики выражением: Е = — grad φ.

В соответствии с (25.10) можно сказать, что в переменном электро- магнитном поле напряженность электрического поля имеет две состав-

ляющие. Одна из них (—∂А/∂t) обусловлена переменным магнитным

160

т.е из (25.10) получили (25.10') — закон электромагнитной индукции

Обратим внимание на то, что формула (25.10), определяющая Е, записана для случая неподвижных тел и сред и при отсутствии сторонней напряженности поля Е_стор. возникающей, например, при соприкосновении проводящих тел различного химического состава или имеющих неодинаковую температуру.

В более общем случае, когда тело или среда движется со скоростью v в магнитном поле, индукции В (v и В измеряются в одной и той же системе координат, а скорость v значительно меньше скорости света) и когда в данной точке поля имеется Е_стор, результирующая напряженность поля будет состоять, из четырех компонент: Е = — grad φ — ∂А/∂t + Е_стор. + Первые два слагаемых имеют тот же смысл , что и в (25.10), третье - сторонняя напряженность поля, четвертое – магнитная составляющая силы Лоренца, представляющая собой силу, действующую на единичный заряд, двигающийся со скоростью v в магнитном поле индукции В. Все четыре компоненты Е в одной и той же точке поля одновременно, как правило, не возникают.

Вектор-потенциал представляет собой функцию, ротор которой равен В. В гл. 21 отмечалось, что вектор-потенциал А должен быть подчинен определенному условию, а именно: в постоянном магнитном поле div А = 0, т. е. линии вектора представляют собой замкнутые сами на себя линии.

* Первую из них можно назвать вихревой составляющей, вторую — потенциальной (или кулоновой).

161

В переменном электромагнитном поле таким требованием к век­тору-потенциалу является требование (калибровка Лоренца):

Для того чтобы убедиться в том, что уравнение (25.12) совпадает с уравнением непрерывности (22.3), проделаем следующие выкладки. Применим оператор □² к обеим частям уравнения (25.12):

Нетрудно убедиться в том, что для неизменного во времени поля условие (25.12) сводится к условию dtv А = 0. В дальнейшем будет показано, что это условие является уравнением непрерывности div == — ∂ρ/∂t (§ 22.3), записанным в иной форме.

Вместе с тем уравнение (25.12) свидетельствует о том, что в пере­менном электромагнитном поле между векторным потенциалом А и скалярным потенциалом φ существует определенная связь и что функ­ции А и φ зависят друг от друга.

С учетом (25.12) уравнение (25.11) приобретает вид:

и называется уравнением Даламбера.

Если А не является функцией t , то ∂²А/∂t² = 0 и уравнение (25.13)

переходит в уравнение Пуассона.

Уравнение (25.13) является неоднородным векторным волновым уравнением. Его часто записывают в иной форме:

²А= —μ_а. (25.13')

1 д²

Оператор □² = ²— 1/v²²/∂t² называют четырехмерным лапласиа­ном (за четвертое измерение принимают время t).

Выясним, какому уравнению в переменном электромагнитном поле подчиняется потенциал φ. С этой целью в уравнение (25.4) вместо на­пряженности Е подставим ее эквивалент по (25.10):

div(-∂А/∂t-gradφ)= ρ/ε_а или -∂/∂t divА - div grad φ=ρ/ε_а

Но divА=-1/v²∂φ/∂t и, следовательно, -∂/∂t divА= 1/v²∂²φ/∂t²

В свою очередь div grad φ = ²φ. Поэтому уравнение (25.4) приобретает следующий вид:²φ - 1/v²∂²φ/∂t²= - ρ/ε_а

Таким образом, в переменном электромагнитном поле скалярный потенциал φ удовлетворяет неоднородному волновому уравнению (25.14). Если поле статическое и потенциал не является функцией времени, то (∂²φ)/(dt²) = 0 и уравнение (25.14) переходит в уравнение Пуассона ²φ = — ρ/ε_а, обсуждавшееся в § 19.19.

162

Причем функции и f₂ могут быть любыми, лишь бы они позво- ляли дважды дифференцировать их по t и z. Вид функций опреде- ляется граничными условиями. .

Напомним, что о волновом уравнении* (25.17') уже говорилось при рассмотре- нии вопроса о переходных процессах в линиях с распределенными параметрами в гл. XII.

Обсудим решение уравнения (25.13). В общем случае это уравнение можно разбить на три уравнения для трех проекций вектора-потенциала*. Каждое из уравнений в проекциях будет составлено относительно скалярной величины (проекция вектора есть величина скалярная). Общее решение для каждой из проекций проводится точно так же, как проводилось решение для скалярной величины φ, но вместо объемного заряда будет участвовать соответствующая проек­ция плотности тока и μ _а вместо 1/ε_а.

После умножения решений на соответствующие орты и сложения

окажется, что составляющая вектора потенциала от элемента тока

dV в некоторой точке пространства, удаленной от элемента тока на

Для получения результирующего значения А необходимо

геометрически просуммировать составляющие от всех элементов тока

§ 25.2. Запаздывающие потенциалы переменного электромагнитного поля. Рассмотрим, в чем состоит физический смысл выражений (25.18) и (25.20). Электромагнитная волна распространяется со скоростью v. Расстояние R она пройдет за время R/v. Поэтому значения составляющей потенциалаφ в переменном электромагнитном поле в некоторой точке, удаленной от заряда на расстояние R в момент времени t, определяется значением заряда в момент времени (t —R/V)

Также следует понимать и выражение dА =

В силу конечной скорости распространения электромагнитное волны значение вектора-потенциала от элемента тока dV в точке удаленной от элемента тока на расстояние R, изменяется с запаздыванием во времени на величину R/v. Поэтому потенциалы переменного электромагнитного поля называют запаздывающими потенциалами.

Так как скорость распространения: электромагнитной волны в дна электрике очень велика (в воздухе v 300 000 км/с), то запаздывание проявляется заметно только при значительных R. При малых R запаздывание настолько незначительно, что им практически можно пре- небречь.

Наиболее часто понятием запаздывающих потенциалов пользуются в радиотехнике при рассмотрении вопросов, связанных с .излучением электромагнитной энергии.

В переменном электромагнитном поле с учетом явления запазды- вания:

Ток i может изменяться во времени по любому закону. С практи­ческой точки зрения наиболее интересен синусоидальный закон из- менения тока во времени, поэтому полагаем: