§ 19.18. Выражение div e в цилиндрической и сферической системах координат.

Без вывода запишем выражение div E: в цилиндрической системе координат

Уравнение (19.26) называют уравнением Пуассона. Частный видуравнения Пуассона, когда р_своб = 0, называют уравнением Лапласа. Уравнение Лапласа записывают так:

Оператор ² = div grad называют оператором Лапласа, или лапласианом, и иногда обозначают еще символом ∆. Поэтому можно встретить и такую форму записи уравнения Пуассона:

Раскроем ² φ в декартовой системе координат. С этой целью произведение двух множителей и φ запишем в развернутом виде:

Произведем почленное умножение и получим

сферической системе координат

§ 19.19. Уравнение Пуассона и уравнение Лапласа. Уравнения Пуассона и Лапласа являются основными дифференциальными уравне­ниями электростатики. Они вытекают из теоремы Гаусса в дифферен­циальной форме/Действительно, известно, что Е = — grad φ. В то же время согласно теореме Гаусса (19.21): div Ё — р_СВОб/ ε_а

Подставив в (19.21) Ё из (19.6), получим

Таким образом, уравнение Пуассона в декартовой системе коор­динат записывают следующим образом:

Уравнение Лапласа в декартовой системе координат:

Приведем без вывода выражения ² φ: в цилиндрической системе координат

Вынесем минус за знак дивергенции:

в сферической системе координат

Вместо grad φ запишем его эквивалент φ; вместоdiv напишем Тогда

или

* Почленно умножаем слагаемые первой скобки на слагаемые второй скобки. Учитываем,что скалярное произведение одноименных ортов равно единице, а раз­ноименных равно нулю: » ί ί = j j =k k =11 -cos 0° = 1; ί j = ί k = j k = 1 -1 х cos 90° = 0.

22

Уравнение Пуассона выражает связь между частными производ­ными второго порядка от φ в любой точке поля и объемной плотностью свободных зарядов в этой точке поля. В то же время потенциал в ка­кой-либо точке поля зависит от всех зарядов, создающих поле, а не только от величины свободного заряда, находящегося в данной точке. Уравнение Пуассона применяют при исследовании потенциальных полей (электрических и магнитных) с 1820 г.

Уравнение Лапласа (1780 г.) первоначально было применено для описания потенциальных полей небесной механики и впоследствии использовано для описания электрических полей.

23

Рассмотрим вопрос о том как в общем виде можно записать решение уравнения Пуассона.

Положим, что в объеме V есть ооъемные (р), поверхностные (ơ) и линейные (τ) заряды. Эти заряды представим в виде совокупностей точечных зарядов: pdV, ơ dS, τ dl; dV — элемент объема; dS — эле­мент заряженной поверхности; dl — элемент длины заряженной оси. Составляющая потенциала dφ в некоторой точке пространства, удаленной от pdV на расстояние R, в соответствии с формулой (19.19)

pdV

Равна _4π ε_а R

Составляющие потенциала от поверхностного и линейного зарядов, если рассматривать их как точечные, определим аналогичным образом: ơ dS и τ dl

4π ε_а R 4π ε_а R

Полное значение ср определим как сумму (интеграл) составляющих потенциала от всех зарядов в поле:

В формуле (19.31') ρ, ơ и τ есть функции радиуса R. Практически формулой (19.31) пользуются сравнительно редко, так как распреде­ление а по поверхности, τ по длине и ρ по объему зависит от конфигурации электродов и, как правило, перед проведением рас­чета неизвестно. Поэтому интегрирование произвести затрудни­тельно, так как обычно неизвестно, какова зависимость ρ, ơ и τ от радиуса R.

При использовании формулы (19.31') предполагается, что потен­циал на бесконечности равен нулю и что заряды, создающие поле, рас­пределены в ограниченной (не бесконечно протяженной) области (ина­че интеграл может оказаться расходящимся).