§ 21.3. Дифференциальная форма закона полного тока. Соотноше­ние (21.3) пригодно для контура любых размеров, в том числе и для весьма малого.

84

Выделим в какой-либо среде небольшой контур («жирно» обведен на рис. 21.3) и составим вдоль него циркуляцию вектора H. Цирку-­ ляция напряженности поля вдоль этого контура равна току, прони­ зывающему обведенную площадь. Если площадь мала, то можно полагать, что плотность тока в пре-делах этой площади одинакова и тогда ток, пронизывающий площадь, == S = _nS. Здесь _n— проекция вектора плотности токана нормаль к площади, т. е. на направлениеS; Н dl = _nS.

направление движения острия правого винта головка которого вращается в направлении, принятом за положительное. при обходе контура и составлении циркуляции.

Разделим обе части равенства на S и устремим S к нулю. Это будет соответ­ ствовать стягиванию рассматриваемой пло­щади щади к нулю. Предел полученного отно- 'Щенпя , _\,

За положительное направление нормали к площади принимают

щади к нулю. Предел полученного отношения

В левой части равенства находится величина, которая является роекцией ротора H на направление нормали к площади S. Следо- ательно, rot_n H = _n Если площадь S ориентировать в пространстве так, что напра- ление нормали к ней совпадет с направлением вектора плотности ока б в данной точке поля, то тогда вместо равенства проекций двух екторов (rot_n H и _n ) можно записать равенство самих векторов rot_n H = (21.4)

Формула (21.4) и представляет собой закон полного тока в диф­ференциальной форме.

Ротор — это функция, характеризующая поле в рассматриваемой точке в отношении способности к образованию вихрей.

Уравнение (21.4) записано в общей форме, безотносительно к системе координат, и в каждой конкретной системе координат оно раскрывается по-своему.

§21.4. Раскрытие выражения rot H — в декартовой системе | координат. Равенство двух векторов rot иозначает, что равныпроекции их на ось х, проекции на ocь y и проекции на ось z. Проекция rot H на ось z равна rot _z H = Hdl проекция вектора на ось

s_z0 s_z z есть _и и т. д.

На рис. 21.4 в декартовой системе координат изображен малый прямоугольный контур mnpq. Обойдем этот контур против часовой

85

стрелки и составим циркуляцию вектора H; при ее составлении необ­ходимо учесть, изменение вектора H от точки к точке. Обозначим проекции H на оси х и у в точке т соответственно через Н_х и H_y.

при составлении циркуляции на участках тп и рq необходимо принимать во внимание лишь «иксовые» составляющие H («игрековые» составляющие перпендикулярны элементу пути).

Составляющую Н dl на участке тп находят как произведение среднего значения «иксовой» составляющей напряженности на этом

участке на длину пути dх

§ .21.5. Запись ротора в виде векторного произведения. Формально rot можно представить в виде векторного произведения оператора пространственного дифференцирования на вектор H, т. е. rot H =

В этом нетрудно убедиться путем непосредственного умножения

§ 21.6. Раскрытие rot Н в виде определителя в декартовой системе. Ротор любого вектора, используемого в теории электромагнитного поля, можно представить в виде определителя третьего порядка. Так, rot H в декартовой системе записывают в виде следующего определителя:

Непосредственное раскрытие определителя показывает, что полу­чается выражение (21.5).