§ 19.48. Метод средних потенциалов. Как уже говорилось в электростатиче­ском поле, образованном системой заряженных проводящих тел, все точки поверх-

ности каждого тела имеют одинаковый потенциал, а по­верхностная плотность зарядов т в общем случае изме­няется от точки к точке.

В тех случаях, когда неравномерность распределения зарядов по поверхности тела невелика, для подсчета емкостей иногда пользуются методом средних потенциалов (приближенный метод). В. его основу положено заведомо неправильное предположение, что-на поверхности каждого тела заряды распределены с одинаковой плотностью, а различные точки одного и того же проводящего тела имеют неодинаковые потенциалы. Это предположение дает воз­можность относительно легко найти среднее значение потенциала φ_ср. тела и по известному заряду тела найти его емкость. Результат оказывается. близким к истинному.

Пример 195. Определить емкость уединенного пря­мого проводника длиной l и радиусом r

единицу длины и помести h = r). Тогда

Решение. Воспользуемся формулой для потенциа­ла произвольной точки k. полученной в примере 194. Сосредоточим заряд на оси провода с плотностью τ на и точку k (рис. 19.32) на поверхность провода (т.е. примем

По определению (§ 19.29), заряд уединенного тела τl = φ _ср.С. Поэтому емкость уединенного цилиндрического провода

Пример 196. Вследствие неравномерного нагрева диэлектрическая проницаемость изоляции коаксиального кабеля (см.-рис, 19.33) изменяется в функции' радиуса r следующим образом: ε _а = т/r. Вывести формулы для определения напряженности электрического поля Е и смещения D. Радиус жилы кабеля r₁, внутренний радиус оболочки r₂, напряжение между жилой и оболочкой U. Объемный заряд отсутствует.

Решение. Воспользуемся теоремой Гаусса [формула (19.20)] в дифферёнциальной форме [применять уравнение Лапласа в данном случае нельзя, так как оно выведено при условии, что ε _а = const, (см. § 19.15)].-В формуле (19.24) заменим Е на D и учтем, что D имеет только одну r-составляющую и в силу симметрия не зависит от координат r и α. Будем иметь

Отсюда следует, что rD_r = rD = С; D = С/r, где С — некоторая постоянная. Таким образом, D изменяется обратно пропорционально радиусу. Напряженность поля E = D/ε_a = C/m, т.е. напряженность поля—величина постоянная. Определим постоянную С. Для этого воспользуемся тем, что отсюда

Графики изменения Е, D и φ см. на рис. 19.33.

Обратим внимание на то, что если бы диэлектрическая проницаемость ε_а изо­ляции коаксиального кабеля примера 196 была постоянной величиной (не являлась бы функцией r), то имели бы место следующие зависимости:

т. е. в этом случае напряженность поля была бы не постоянна, а изменялась обратно пропорционально радиусу, потенциал φ изменялся бы не линейно в функции r. а.по логарифмическому закону. _

Пример 197. Вывести формулы для расчета поля диполя.

Решен и е. Диполь изображен на рис. 19.34. Расстояние между

зарядами обозначим через l. При решении воспользуемся сфериче- 3 Зак. 1730

ской системой координат. Обозначим расстояние от произвольной точки а до заряда +q через R_1, до заряда — q — через R₂ и до сере­дины диполя — через R. Угол между вертикалью и радиусом R θ.Потенциал точки а определим как потенциал в поле двух точечных зарядов:

Таким образом, в поле диполя при RI потенциал ср изменяется обратно пропорционально второй, а напряженность — обратно про-

порционально третьей степени расстояния R рассматриваемой точки до диполя;φ и Е являются функциями угла θ.

Картина поля диполя изображена на рис. 19.35. Напряженность поля в некоторой произвольной точке а равна геометрической сумме напряженностей E₁ и E₂ от зарядов +q и — q. Если воспользуемся сфе­рической системой координат, то напряженность поля в той же точке. а можно представить в виде суммы напряженностей E_R и Е_в; E_R на­правлена вдоль радиуса R, а Е_θ имеет направление θ.

Пример 198. Вывести формулы для определения величины напря­женности поля и емкости двухслойного плоского конденсатора рис. 19.36, а также построить графики изменения модуля вектора напря­женности электрического поля Е, модуля вектора электрической индукции D и потенциала φ в функции расстояния х.

66

Толщина первого слоя диэлектрика d₁ второго — d₂. Абсолютная диэлектрическая проницаемость первого слоя ε_a1, второго слоя ε_a2. Принять ε_a1= 2ε_а2 и d₂ — 1,5 d₁

Ре ш е н и е. Все величины, относящиеся к первому слою, обозначим индексом 1, а ко второму слою—индексом 2. Поло­жим, что разность потенциалов между обкладками конденсатора равна U.

Искажающее влияние краев конденсатора на поле учитывать не будем. При этом условии в каждом слое поле будет равномерным.В силу того что нормальная составляющая вектора D непрерывна, имеем D_ln = D_2n. .НоD_ln = ε_a1E_1;D_2n = ε_a2E₂.Следовательно,

ε_a1E₁= ε_a2E₂ (а)

Таким образом, отношение напряженностей обратно пропорционально отношению 'электрических проницаемостей.

Графики зависимостей D, Е и φ от рас­стояния х изображены на рис. 19.36.

Уравнение (а) связывает две пока неиз­вестные величины E₁ и Е₂. Второе уравнение относительно Е₁ и Е₂ составим, исходя из того, что

Для нормальной работы конденсатора необходимо, чтобы напря­женность электрического поля ни в первом, ни во втором слоях кон­денсатора не достигла значения напряженности, при котором проис­ходит пробой данного диэлектрика.

Напряженность равномерного поля, при которой происходит пробой

данного диэлектрика, принято называть пробивной напряжен­ностью. Пробивная напряженность диэлектриков, особенно газооб­разных, сильно зависит от температуры и давления. Пробивная напряженность воздуха равна 30 кВ/см при нормальном атмосферном Давлении и температуре 18° С.

При выводе формулы для емкости двухслойного плоского конденсатора на границу раздела двух диэлектриков мысленно поместим бесконечно тонкий металлический листок. Эта операция вполне допустима, так как поверхность раздела диэлектриков как была экви­потенциальной поверхностью до помещения листка, так и остается ею после помещения на нее листка; причем значение потенциала ее при этом не изменится.

После проведения такой операции (ее иногда называют способом

отвердения) емкость двухслойного конденсатора можно: подсчитать

как емкость двух последовательно включенных конденсаторов С₁

и С₂; С₁ — емкость первого слоя конденсатора, С₂ — емкость второго

где S— площадь одной пластины конденсатора с одной стороны. Емкость двух последовательно, включенных конденсаторов

слоя конденсатора: