§ 19.20. Граничные условия. Под граничными условиями понимают условия, которым подчиняется поле на границах раздела сред с раз­ными электрическими свойствами.

При изучении раздела «Переходные процессы» большое значение имел вопрос о начальных условиях и законах коммутации, которые поз­воляли определить постоянные интегрирования при решении задач классическим методом. В классическом методе они использовались в явном виде, в операторном — в скрытом. Без использования их нельзя решить ни одной задачи на переходные процессы. . Можно провести параллель между ролью граничных условий в элек­трическом (или в любом другом) поле и ролью начальных условий и законов коммутации при переходных процессах.

При интегрировании уравнения Лапласа (или Пуассона) в решение входят постоянные интегрирования. Их определяют, исходя из гра­ничных условий. Прежде чем перейти к подробному обсуждению граничных условий,- рассмотрим вопрос о поле внутри проводящего тела в условиях электростатики.

24

§ 19.21 Поле внутри проводящего тела в условиях электростатики.

В проводящем теле, находящемся в электростатическом поле, вследствие явления электростатической индукции происходит разделениезарядов. Отрицательные заряды смещаются на по-верхность тела, обращенную в сторону более высокого

потенциала, положительные — в противоположную сторону

(рис. 19.9).

Все точки тела будут иметь одинаковый потен­циал. Если между какими-либо точками возникла бы разность потенциалов, то под ее действием появи­лось бы упорядоченное движение зарядов, что проти­воречит понятию электростатического поля.

Поверхность тела эквипотенциальна.Вектор на­пряженности внешнего поля в любой точке поверх-

ности подходит к ней под прямым углом. Внутри проводящего тела напряженность поля равна нулю, так как внешнее поле компенси­руется полем зарядов, расположившихся на поверхности тела.

§ 19.22. Условия на границе раздела проводящего тела и диэлек­трика. На границе проводящее тело — диэлектрик при отсутствии тока по проводящему телу выполняются два условия: 1) отсутствует тангенциальная (касательная к поверхности) со­ставляющая напряженности поля:

Е_t = 0; . (19.32),

2) вектор электрического смещения D в любой точке диэлектрика, непосредственно примыкающей к поверхности проводящего, тела, численно равен плотности заряда о на поверхности проводящего тела в этой точке:

D. = ơ (19.33)

Рассмотрим первое условие. Все точки поверхности проводящего .тела имеют один и тот же потенциал. Следовательно, между двумя

любыми весьма близко расположенными друг к другу точками поверхности прира­щение потенциала dφ = 0, но dφ — E_tdl_t следовательно, E_tdl == 0.

Так как элемент пути dl между точками на поверхности не равен нулю, то равно нулю E_t.

Для доказательства второго условия мысленно выделим бесконечно малый па-

раллелепипед (рис. 19.10). Верхняя грань его параллельна по­верхности проводящего тела и расположена в диэлектрике. Нижняя грань находится в проводящем теле. Высоту параллелепипеда

возьмем весьма малой (сплющим его). Применим к параллелепипеду теорему Гаусса. В силу малости линейных размеров можно принять,

что плотность заряда ơ во всех точках на поверхности dS проводящего

25

тела попавшей внутрь параллелепипеда, одна и та же. Полный заряд внутри рассматриваемого объема равен ơdS.

Поток вектора D через верхнюю грань объема DdS=DdS. Потока вектора D через боковые грани объема ввиду малости последнего и того, что вектор D скользит по ним, нет. Через «дно» объема поток также отсутствует, так как внутри проводящего тела Е = 0 и D = О (ε_а проводящего тела есть величина конечная). Таким образом, поток вектора D из объема равен DdS = ơdS или D = ơ