§ 19.12. Вектор электрической индукции . Кроме векторов е и р в электротехнических расчетах используют еще вектор электри­ческой индукции, или вектор электрического смещения d.

Вектор D равен сумме двух векторов: вектора ε₀Е, характеризую­ щего поле в вакууме, и вектора поляризации Р, характеризующего . способность диэлектрика в рассматриваемой точке поля поляризо­ ваться: D = ε₀Е+P.

Так как

Относительная диэлектрическая проницаемость имеет нулевую размерность; она показывает, во сколько раз абсолютная диэлектриче- ская проницаемость вещества (ε_а) больше, чем электрическая постоянная е₀, характеризующая электрические свойства вакуума,

В системе СИ [D] = [Р] = к/м².

§ 19.13. Теорема Гаусса в интегральной форме. Теорема Гаусса является одной из важнейших теорем электростатики. Она соответствует закону Кулона и принципу наложения. Теорему можно сформулировать и записать тремя способами.

1. Поток вектора электрического смещения через любую замкну­тую: поверхность, окружающую некоторый объем, равен алгебраиче­ской сумме свободных зарядов, находящихся внутри этой поверхности:

Из формулы (19.16) следует, что вектор D является такой характе­ристикой поля, которая при прочих равных условиях не зависит от диэлектрических свойств среды (от величины е).

* Раньше относительную диэлектрическую проницаемость обозначали ε_г а абсолютную проницаемость —ε, т. е ε = ε₀ε_г

16

2. Так как D — ε₀ε Е, то теорему Гаусса для однородной и изо-. тропной среды можно записать и в такой форме:

т. е. поток вектора напряженности электрического поля сквозь любую замкнутую поверхность равен сумме свободных зарядов, находящихся -внутри этой поверхности, разделенной на произведение е₀е.Из формулы (19.17) следует, что вектор представляет собой характеристику поля, которая в отличие от вектораD при прочих равных условиях зависит от диэлектрических свойств среды (от вели- чины е).Поток вектора D определяется лишь суммой зарядов и не зависит от их расположения внутри замкнутой поверхности*.

3. Поток вектора Е через любую замкнутую поверхность создается не только суммой свободных зарядов (Σq_своб), но и суммой связанных зарядов (Σq_связ), находящихся внутри поверхности.

Из курса физики известно, что поток вектора поляризации сквозь любую замкнутую поверхность равен взятой с обратным знаком алгебраической сумме связанных зарядов, находящихся внутри этой поверхности; .

Напомним вывод формулы (a). С этой целью сначала покажем, что плотность _:поверхностных связанных зарядов на поверхности раздела поляризованного диэлектрика и вакуума равна модулю вектора поляризации.

На рис. 19.6, б показано расположение диполей в поляризованном диэлектрике длиной L, сечением S. На торцах диэлектрика образуются связанные заряды, По- верхностную плотность их.обозначим через ơ. На длине L' положительные и отри- цательные заряды взаимно компенсируют друг друга. Поэтому поляризованный диэлектрик (рис. 19.6, б) можно рассматривать как диполь длиной L с сосредоточенными на концах зарядами ơS.

Электрический момент всего диэлектрика длиной L равен ơSL. Электрический .момент единицы объема диэлектрика

Таким образом, плотность связанных зарядов, на торцах поляризованного ди­ электрика равна модулю вектора поляризации Р (вектор перпендикулярен торцам). На рис. 19.6, в изображен свободный положительный заряд, вызвавший поляриза­ цию окружающего его диэлектрика.

Окружим заряд сферой и подсчитаем нескомпенсированные связанные заряды, попавшие внутрь сферы. Нескомпенсированными связанными зарядами оказываются заряды диполей, пересекаемых поверхностью S.

Так как поверхностная плотность их равна ơ, то

Знак минус появился вследствие, того, что знак нескомпенсированных связан­ных зарядов противоположен знаку свободного заряда (см. рис. 19.6, в).

* Теорема Гаусса [формула (19.16) или (19.17)] применима не только к элек­тростатическому полю, но и к переменному электромагнитному полю при..условии, что расстояние от заряда, создающего поле, до точки, в которой определяют напря­женность, должно быть много меньше длины электромагнитной волны (подробнее • см. § 26.6).

Распространил теорему Гаусса на переменное электромагнитное поле (посту­лировал возможность ее применения) Д. Максвелл. Поэтому теорему Гаусса в при­менении к переменному электромагнитному полю в литературе называют постула­том Максвелла.

Формулы (19.17) и (19.17') отличаются своими правыми частями.

§ 19.14. Применение теоремы Гаусса для определения напряжен­ности и потенциала в поле точечного заряда. Теорему Гаусса в ин­тегральной форме можно использовать для нахождения напряженности или электрического смещения в какой-либо точке поля, если через эту точку можно провести замкнутую поверхность таким образом, что все точки этой поверхности будут в одинаковых (симметричных) условиях по отношению к заряду, находящемуся внутри замкнутой поверхности.

Такой поверхностью является обычно сфера (если заряд точеч­ный) или боковая поверхность цилиндра (если заряд «линейный»). При этом в силу симметричного расположения всех точек поверхности относительно заряда числовое значение напряженности поля в различ­ных точках этой поверхности будет одинаковым.

В качестве примера использования теоремы Гаусса найдем напря­женность поля, создаваемую точечным зарядом в точке, удаленной на расстоянии R от заряда. С этой целью проведем через заданную точку сферическую поверхность радиусом R, полагая, что заряд находится в центре сферы, и применим к этой сфере теорему Гаусса (см. рис. 19.7, д).

Элемент поверхности сферы перпендикулярен к поверхности сферы * и направлен в сторону внешней (по отношению к объему вну­три поверхности) нормали.

В данном примере в каждой точке сферы Е и dS совпадают по направлению. Угол между ними равен нулю. Если учесть, что числовое

Следовательно, напряженность, создаваемая точечным зарядом q на расстоянии R от него,

* Имеется в виду вектор, изображающий элемент поверхности сферы. 18

значение Е во всех точках сферы одно и то же, то Е можно вынести из-под интеграла:

В силу сферической симметрии напряженность поля имеет только ' одну R-ю составляющую в сферической системе координат. Значит

Отсюда

Таким образом, потенциал в поле точечного заряда обратно про­порционален первой степени расстояния R от точечного заряда до точки, в которой определяется потенциал; С представляет собой постоянную интегрирования, с точностью до которой определяется потенциал. Напомним, что аналогичные выражения для Е и φ были о получены в § 19.4 при использовании закона Кулона.

§ 19.15. Теорема Гаусса в дифференциальной форме. Теорема Гаусса в интегральной форме выражает связь между потоком вектора D через поверхность S, ограничивающую некоторый объем, и алге­браической суммой зарядов, находящихся внутри этого объема. С помощью теоремы Гаусса в интегральной форме нельзя определить, как связан исток линий D в данной точке поля с плотностью свобод­ных зарядов в той же точке поля. Ответ на этот вопрос, дает дифференциальная форма теоремы Гаусса. Чтобы прийти к ней, разделим o6e части уравнения (19.16) на одну и ту же скалярную величину — на объем V, находящийся внутри замкнутой поверхности S:

Выражение (а) остается справедливым для объема V любой величины. Устремим объем к нулю:

При стремлении объема к нулю §D dS также стремится к нулю, но

отношение двух бесконечно малых величин D dS и V есть вели­чина конечная *. Предел отношения потока векторной величины сквозь замкнутую поверхность, ограничивающую некоторый объем, к объему V называют дивергенцией вектора D (divD). Часто вместо термина «дивергенция» употребляют термин «расхождение» или «исток» вектора D.

* В ч. III учебника неоднократно использованы величины, которые опреде­ляются при стремлении рассматриваемого объема или площади к нулю.

Стремление к нулю не следует понимать дословно: речь идет о таком уменьше­нии линейных размеров объема или площади, при котором еще не сказывается ди­скретность материи.

В правой части выражения (б) находится объемная плотность свободного заряда, ее обозначают ρ_сво6.

Таким образом, теорему Гаусса в дифференциальной форме запи­сывают следующим образом (первая форма записи):

т.е. исток линий D в .данной точке поля определяется величиной плотности свободных зарядов в этой точке. Если объемная плотность зарядов в данной точке положительна (ρ_сво6> 0), то из бесконечно малого объема, окружающего данную точку поля, линии вектора D исходят (исток положителен, рис. 19.8, а). Если в данной точке поля -

Рис. 19.8

ρ_сво6 <0, то в бесконечно малый объем, внутри которого находится данная точка, линии вектора D входят. И, наконец, если в какой-либо точке поля ρ_сво6 = 0, то в данной точке поля нет ни истока, ни стока линий D, т. е. в данной точке линии вектора D не начинаются и не заканчиваются.

Если среда однородна и изотропна, то ее ε_а = const.. Вместо (19.20) запишем выражение: div ε_а Ē = ρ_сво6

Вынесем ε_а за знак дивергенции:

следовательно,

Формула (19.21) представляет собой вторую форму записи теоремыГаусса. Она справедлива только для однородной и изотропной среды.

Для неоднородной среды ε_а является функцией координат и потому

ε_а не может быть вынесена за знак дивергенции.

■••■■••■'-.'■ ' ^:

20

Уравнение (19.17') в дифференциальной форме записывают так третья, форма записи):

Следовательно, истоком вектора Е в отличие от истока вектора D являются не только свободные, но и связанные заряды.

В различных системах координат div Ē раскрывается по-своему.

§ 19.16. Вывод выражения для div E в декартовой системе координат. Выделим в пространстве весьма малый Параллелепипед с ребрами dx, dy, dz. Расположим ребра параллелепипеда параллельно осям декартовой системы (рис. 19.8, б). Для нахождения истока вектора Е из данного объема составим разность потоков, выходящих из объема (и входящих в него, и разделим разность потоков на величину объема параллелепипеда, равную dx dy dz.Левую грань площадью dxdz пронизывает только одна составляю-, щая вектора Ē т. е. составляющая jЕ_у, остальные (iE_х и kE_z) скользят по грани. Поток вектора Е, входящий в эту грань, равен E_у dxdz.

Так как Е есть функция координат, то и ее составляющие также являются функциями координат. Правая грань площадью dxdz от­стоит от левой грани на расстоянии dу Проекция вектора Е на ось у для нее равна

где -скорость измененияЕ_у в направлении оси у;dy-приращение «игрековой» составляющейнапряженности поля на пути dy.Поток, выходящий из правой грани площадью dxdz, равен (Е_У +

dy) dxdz.. Исток через грани площадью dxdz равен dx dydz.

Таким же путем получим разность потоков через грани площадью

• ■-

dydz :dx dydz. Разность потоков через грани dxdy (верхнюю и нижнюю стенкиобъема) равна _/ dx dydz.

Для нахождения div Ē сложим разности потоков через все грани и поделим на объем параллелепипеда dxdydz, получим

§19.17. Использование оператора набла для записи операции взятия дивергенции. Ранее было показано, что умножение оператора V на скалярную функцию равносильно взятию градиента от этой ска­лярной функции. Покажем, что скалярное умножение оператора V на векторную функцию, например на функцию Е, означает взятие дивергенции от этой векторной функции.

произведение Е можно записать так

:

Правые части (19.22) и (19.23) равны; следовательно, должны быть равны и левые их части. Поэтому Е = div Е, т. е., действи­тельно, умножение оператора у на вектор Е означает взятие диверген­ции от этого вектора.