§ 28.2. Уравнения магнитной гидродинамики. Систему уравнений магнитной гидродинамики образуют следующие группы уравнений.

Уравнения Максвелла применительно к движущейся проводящей среде. Прово­дящая среда по отношению к некоторой системе отсчета движется со скоростью v во внешнем магнитном поле индукции В. Скорость движения среды ничтожно мала по сравнению со скоростью света, поэтому релятивистские поправки в уравнения, Максвелла не вносят. Ток смещения не учитывают, так как он ничтожно мал по -. сравнению с током проводимости.

Напряженность электрического поля равна сумме электрической и магнитной

составляющих Е+ [vВ]. Тогда

Уравнение-Навье—Стокса выражает собой второй закон Ньютона применительно к единице объема проводящей среды, движущейся в магнитном поле.

Произведение массы единицы объема ρ, движущейся со скоростью v жидкости на ускорение равно сумме сил, действующих на единицу объема:

Где полная или материальная производная, учитывающая изменение v в данной точке во времени и в результате того, что точка наблюдения попадает в поле

196

с иными значениями v вследствие движения; F₁ = —grad p — сила, вызванная перепадом давления и направленная в сторону уменьшения давления (тогда как grad р направлен в сторону увеличения давления); F₂ = pg — сила тяжести, действующая на единицу объема; (g— ускорение силы тяжести в данной точке); F₃ — сила вязкого трения на единицу объема; v — кинематический коэффи­циент вязкости.

Сила вязкого трения взята пропорциональной второй производной скорости потому, что равна разности сил, действующих с каждых двух противоположных граней объема, отнесенной к расстоянию между гранями; F₄ = [δВ]—-электромаг­нитная сила. Выражение для нее получим из формулы (21.1), если ввести ток I в квадратные скобки и заменить произведением плотности тока δ на сечение , через которое он проходит; затем обе части выраженияF = [lB] разделить на выделенный объем проводящего тела l= l.

Уравнение непрерывности, выражающее собой то обстоятельство, что изменение массы в элементарном объеме обусловлено притоком жидкости (плазмы),

Силы F₂ и F₃ малы по сравнению с F₁ и F₄ и поэтому их не учитывают. Окончательно имеем:

Где ρс тепло расходуемое на увеличение температуры объема; с —удельнаятеплоемкость; λ²T — тепло, приносимое в единичный объем за счет теплопровод­ности; λ — коэффициент теплопроводности; δ²/γ— джоулевы потери в единице объема; W_тр — тепло, выделяющееся в объеме в силу наличия трения; р — давление; ρ /р dp/ dt— тепло при изменении плотности р. В установившемся тепловом режиме температура Т неизменна и в этом случае уравнение (28.8) не используется.

§ 28.3. Просачивание (диффузия) магнитного поля. Положим, что плазма неподвижна. Из уравнений (28.5) и (28.6) при v= 0 следует:

Уравнение (28.9) является уравнением диффузии или уравнением теплопроводности где 1/γμ_а коэффициент диффузии. Если принять, что В имеет только одну не равную нулю составляющую в декартовой системе координат В = iB_x (х, t), то Решение (28.9) будет следующим:

где v - параметр; a (v) и b (v) - постоянные интегрирования, определяемые из начальных и граничных условий.

Из (28.11) следует, что поле, просачиваясь сквозь плазму, затухает с постоян- ной времени:

τ=γμ_а l² (28.12)

где l— линейный размер области, занятой полем.

На расстоянии l укладывается одно колебание sin vx или cos vх при v = 1.

§ 28.4. Электромагнитный барьер. Согласно уравнению (28.10) grad р перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы δ и В (рис. 28.1). Отсюда следует, что при определенной конфигурации поля давление р может быть уравно­вешено электромагнитной силой. Это особенно важно хотя бы для кратковременной локализации плазмы с температурой порядка миллиона градусов, когда не при­ходится рассчитывать на барьеры из какого-либо вещества.

§ 28.5. Вмороженное поле. Положим, что проводимость плазмы γ очень велика, теоретически стремится к бесконечности и что плазма находится в движении со ско­ростью v. На рис. 28.2, а показана плоскость, в которой в исходном состоянии рас­положены линии магнитной индукции. Возьмем произвольный контур в этой пло­скости и допустим, что скорость движения плазмы поперек линий В стала неодина­ковой (см. стрелки для v на рис. 28.2, а). Через некоторое время плоскость дефор­мируется и примет вид, изображенный на рис. 28.2, б. Силовые линии растянутся вместе с контуром, они как бы приклеены или вморожены в плазму (поток через кон­тур останется неизменившимся). Физически это объясняется тем, [что при движе­нии плазмы поперек линий В в ней индуктируются токи, поле которых, складываясь с первоначальным, так его деформирует, что силовые линии смещаются вместе с плаз­мой. Практически проводимость v не бесконечно велика и поэтому деформация линий В несколько отстает от деформации контура.

§ 28.6. Возникновение волн в плазме. При определенных условиях в плазме могут возникать магнитогидродинамические волны. Для выяснения механизма их возникновения обратимся к рис. 28.3. Для упрощения выкладок примем, что про­водимость плазмы γ.

Прямоугольная система координат расположена в плазме так, что внешнее магнитное поле индукции В₀ направлено по оси z. Положим, что по какой-то при­чине слой плазмы / (рис. 28.3, б) начал двигаться со скоростью v в направлении оси у. Так как движение этого слоя есть движение проводящего тела в магнитном поле, то в каждой точке слоя 1 возникнет напряженность поля [vB] = i v B₀. Под ее действием в плазме возникнут токи проводимости с плотностью δ= 1/μ_а rot B

замыкающиеся через соседние слои, как показано на рис. 28.3, о. Результирующая индукция В равна сумме индукции внешнего поля В₀ и индукции b от токов проводимости: В =jb+kB₀.

Сила F1 действующая на слой плазмы1,начавший двигаться первым,будет замедлять его движение.Слои 2 и 3,расположенные выше и ниже слоя 1 (в них токи направлены в противоположную сторону по сравнению с током в слое 1),будут испытывать силы F₂и F₃,под воздействием которых слои начнут двигаться по оси y,

Вдоль направления внешнего магнитного поля возникают две волны, распростра­няющиеся со скоростью v₁ = ± kv_1. Одна из них распространяется вверх, другая — вниз. Волны будут поперечными — слои плазмы движутся перпендикулярно направ­лению распространения волны. Рассмотренный тип волн называют волнами Альфена.

Давление р волны изменяется только в направлении оси z:

Если учесть, что γ конечна, не бесконечно велика, то вследствие потерь от вихре­вых токов и от вязкого трения амплитуда волны А по мере продвижения волны вдоль оси z будет затухать по экспоненте.

В плазме могут возникать и другие типы волн, при которых силовые линии, увлекаемые частицами плазмы или жидкости, участвуют в турбулентном движении.