§23.3. Распространение плоской электромагнитной. Волны в однодном проводящем полупространстве. Рассмотрим вопрос о распространении плоской электромагнитной волны в однородной

Постоянную интегрирования С₂ найдем ИЗ граничных условий. Если обозначить напряженность магнитного поля на поверхности поводящей среды через Н_а = Н_ае^i𝜓, то при z = 0 С₂ = Н_а. Поэтомуc yчетом (23.8)в свою очередь

Чтобы записать выражения для мгновенных значений Н и Е,

необходимо правые части (23.13) и (23.14) умножить на е^iωt и взять мнимые части от получившихся произведений.

туда Е=Н_аа/γ^-kz .С увеличением z множитель ^-kz уменьшается

по показательному закону. Следовательно, по мере проникновения электромагнитной волны в проводящую среду амплитуда Е и Н уменьшаются по показательному закону. На рис.23.4 изображены огибающие амплитуд Н, построенные на основе Н_а^-kz. Мгновенное значение Н и Е определяется аргументом синуса, который в выражении (23.15), например, зависит от z и от ωt . Если принять ωt=сonst, то на графике мгновенных значений Н в функции от z будет получена

137

Для того чтобы охарактеризовать, насколько быстро уменьшается амплитуда падающей волны по мере проникновения волны в проводя­щую среду, вводят понятие «глубина проникновения».

§23.4. Глубина проникновения и длина полны. Под. глубиной проникновения понимают расстояние вдоль направления распрост­-ранения волны (вдоль оси z), на котором амплитуда падающей волны Е (или H) уменьшается ве= 2,71 раз. Глубину проникновения опре­- деляют с помощью выражения: е^-k =е^-1. Отсюда следует, что /k= 1или

= 1/k. (23.17)

Глубина проникновения зависит от свойств проводящей среды (у и μ) и частоты ω.Так, если электромагнитная, волна имеет частоту f=5000 Гц и проникает в проводящую среду, у которой γ= 10⁷ (Ом-м)-¹ и μ= 10³, то*

Глубина проникновения —1/k 710^-5 м, т. е. на расстоянии в 0,007 см амплитуды H и Е снизились в 2,71 раза.

Для рассмотренного числового примера

Под длиной волны λ в проводящей среде понимают расстояние вдоль направления распространения волны (вдоль оси z), на котором фаза колебания изменяется на 2л. Длину волны определяют из уравнения λ= 2л. отсюда:

Иногда пользуются понятием фазовой скорости распространения электромагнитной волны в проводящей среде.

Под фазовой скоростью понимают скорость, с которой надо было бы перемещаться вдоль оси z чтобы колебание имело одну и ту же фазу. Фаза колебания определяется выражением ωt — kz + 𝜓_а

Производная от постоянной есть нуль, поэтому d/dt (ωt-kz+ 𝜓_а ) = 0, или

Для рассмотренного числового примера v_фаз = 2π5000/141002,25м/с

-------------------------------------------------

* Полагаем, что μ не зависит от величины Н. Решение, в котором

учтено, что μ является функцией величины Н, дано в [10].

138

§ 23.5. Магнитный поверхностный эффект. В качестве примера распространения плоских электромагнитных волн в проводящей среде рассмотрим поле в стальном листе при прохождении вдоль листа переменного магнитного потока Лист (рис. 23.5) имеет толщину 2а, высоту h (ha) и большую протяженность в направлении, перпендикулярном рисунку. Средняя плотность магнитного потока по сечению листа В_ср = Ф_m /2а h .

Задача состоит в определении законов изменения Н и Ё по сечению листа. В силу симметрии напряженность магнитного поля на левой поверхности листа та же, что и на правой поверхности листа. Обозначаем через Н_а и будем полагать известной (в дальнейшем выразим ее через В_ср.)

Так как толщина листа 2а много меньше высоты листа h, то искажающим влиянием краев листа на поле можно в первом приближении пренебречь и считать, что в лист с двух сторон проникает плоская электромагнитная волна. Расположим оси координат декартовой системы в соответствии с рис. 23.5. Примем, как и прежде, Н= jH. Общее решение для Н таково: Н = С₁е ^рz + С₂е ^–рz.

Из граничных условий найдем постоянные интегрирования. При z= -а, т. е. для точек, находящихся на левой стороне листа,

Напряженность электрического поля

При z = + а напряженность Е направлена вверх (вдоль оси —х)\ при z = — а— вниз (вдоль оси +х, см. рис. 23.5, а). Вектор Пойнтинга направлен к средней плоскости листа (внутрь листа).

Как известно из ч. II учебника, ток, возникающий при прохож­дении по листу переменного магнитного потока, принято называть вихревым. Вектор плотности вихревого тока =уЕ в любой точке

Среднее значение магнитной индукции в листе

листа коллинеарен с вектором Е в этой же точке. Магнитная индукция в произвольной точке

Если считать, В_ср известной и равной Ф_m /2а h , то из (23.25) можно найти напряженность поля на поверхности листа:

Заметим, что аргумент pa — ka + jka является комплексом и th pa есть гиперболический тангенс от комплексного аргумента; он также является комплексом:

Отношение среднего значения магнитной индукции по сечению листа В_ср к напряженности поля на поверхности листа Н_а называют комплексной магнитной проницаемостью:

Она зависит от величины μ, частоты ω и толщины листа. При больших значениях аргумента 2ka sh 2ka ch 2ka, значения этих функций намного больше 1. Поэтому при больших значениях 2ka

и комплексная магнитная проницаемость μ_а = μа/ра

140

Напряженность поля в средней плоскости листа (при z = 0) Н_z=0 = Н_а/ chρа.

Отношение напряженности поля на краю листа (при z = d) к напряженности поля в средней плоскости листа:

Левая и правая части формулы (23.28) являются комплексами. Модуль ch pa показывает, во сколько раз модуль Н_а больше модуля Н_z=0. Найдем модуль ch pa.. С этой целью запишем два сопряженных комплекса: ch (ka + jka) = ch ka cos ka + j sin ka sin ka и ch (ka — jka)= ch ka cos ka — jsh ka sin ka

Произведение сопряженных комплексов дает квадрат модуля, Следовательно,

Таким образом, напряженность поля в средней плоскости листа может быть много меньше напряженности поля на краю листа. , Явление неравномерного распределения поля по сечению прово­дящего тела, вызванное затуханием электромагнитной волны при ее распространении в проводящую среду, называют поверхностным эф-

фектом. Если вдоль листа направлен магнитный поток, то поверх- ностный эффект часто называют магнитным, если вдоль плоской шины направлен переменный ток, то поверхностный эффект часто называют электрическим поверхностным эффектом. Природа их одна и та же , а слова «магнитный» или «электрический» свидетельствуют лишь о тома, что направлено вдоль листа (шины): поток или ток.

На рис. 23.5, б построены две кривые. Кривая Н (z) характеризует изменение модуля напряженности магнитного поля в функции от z.

В средней плоскости листа Н до нуля не снижается, так как ch 0 0. Кривая Н строится по уравнению (23.22). Кривая Е (z) характеризует изменение модуля напряженности электрического поля в функции от z. Эта кривая строится по (23.23); sh р_z.₀ = 0 и потому кривая проходит через нуль при z= 0. Кривая плотности вихревых токов = γЕ качественно повторяет кривую Е от z (разница только в масштабе).

§ 23.6. Электрический поверхностный эффект в плоской шине. Эффект близости. При электрическом поверхностном эффекте — рис. 23.6, а — вдоль пластины (шины) направлен синусоидальный ток.

Зависимость модуля H (z) в этом случае такая же, как и зависи­мость Е (z) на рис. 23.5, б, а зависимость Е (z) такая же, как и за­висимость Н (z) на этом же рисунке.

Если по двум параллельным близко расположенным плоским ши­нам (см. рис. 23.6, б) будет протекать в противоположных направле­ниях синусоидально изменяющийся во времени ток I частоты ω, а размеры 2а h и 2b h, то, поместив начало декартовой системы координат в средней плоскости левой шины и учтя, что слева от левой шины напряженность поля Н = 0, а в пространстве между шинами

142

Эпюра модулей H и Е в функции от координаты z показана на рис. 23. 6, б. Поле одной шины влияет на распределение поля в другой шине. Это явление называют эффектом близости. Комплексное сопро­тивление единицы длины двух плоских шин, расположенных в воздухе, равно двум комплексным сопротивлениям самих шин плюс индуктивное сопротивление, обусловленное магнитным потоком, проходящимв пространстве между шинами,