§23.1. Уравнения Максаелла для проводящей среды. Рассмотрим особенности распространения электромагнитной волны в прово­дящей среде с проводимостью у и магнитной проницаемостью μа.

Обратимся к первому и второму уравнениям Максвелла, записан­ным в комплексной форме для синусоидально изменяющихся во времени Е и Н:

и

B проводящей среде даже при очень высоких частотах произведе- ние^: ωε_а много меньше проводимости у. Поэтому с большой степенью точности слагаемым jωε_а Ё в первом уравнении Максвелла для про­изводящих сред можно пренебречь.

В настоящее время наука не располагает точными данными о числовом значении электрической проницаемости ε для металлов. Имеются лишь сведения, что порядок ε для металлов такой же, как и для большинства диэлектриков (т. е. от нескольких единиц до нескольких десятков). В качестве примера возьмем ε для меди, равное 10, и найдем, во сколько раз ток проводимости в ней будет больше тока смещения при ω=10³ и при ω = 10⁸ рад/с. При ω = 10³

т. е. рассмотренном числовом примере даже при ω = 10⁸ ток проводимости больше тока смещения в 6,33- 10⁹ раз. -

Таким образом, первое и второе уравнения Максвелла для проводящей среды приобретают вид:

Уравнение (23.3) является дифференциальным относительно Н, В общем случае, когда Н зависит от всех трех или даже только от двух координат, решение (23.3) довольно сложно. Поэтому ограничимся рассмотрением решения этого уравнения для частных случаев — для плоской и цилиндрической электромагнитных волн.

образом:

§23.2. Плоская электромагнитная волна. В общем случае под плоской электромагнитной волной понимают волну, векторы Е и Н которой расположены в плоскости хоу, перпендикулярной направлениюраспространения волны (ось z) и вменяю­щиеся только в функции координаты z и вре­мени t. В дальнейшем (за исключением §24.8) под плоской волной будем понимать плоскую линейно поляризованную волну, в которой вектор Е направлен вдоль одной, а вектор Н вдоль другой координатной оси плоскости хоу. Плоская линейно поляризованная волна по­казана на рис. 23.1. На рисунке изображены для одного и того же момента времени век­торы Е и Н в двух параллельных плоскостях, перпендикулярных оси z декартовой системы координат. Во всех точках первой плоскости (рис. 23.1, а) напряженность электрического (магнитного) поля одинакова по величине и направлению. Во всех точках второй плоскости (рис. 23.1,6) напряженность электрического (магнитного) поля также одинакова по величине и направлению, но не равна напряженности поля в первой плоскости.

В силу самого определения плоской волны:

В плоской волне Е и Н являются функциями только одной коор­динаты, в рассматриваемом случае функцией только z.

Повернем координатные оси таким образом, чтобы ось у совпала с напряженностью магнитного поля Н. При этом Н=jH, где j —

134

В этом уравнении (23.5) вместо частной написана обыкновенная производная. Переход от частной производной к обыкновенной для плоской волны является естественным, так как Н— это функция только одной переменной z.

Уравнение (23.5) представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение записывают следующим образом

где С₁ и С₂ — постоянные интегрирования; это комплексы, которые

определяют из граничных условий; для каждой конкретной задачи это свои постоянные.

Из характеристического уравнения р² =jωγμ_а найдем коэффициент

Найдем напряженность электрического поля с помощью уравнений (23.1) и (23.6). Из (23.1) следует, что Е = 1/γ rotH.

Выражение (23.10') показывает, что напряженность электриче­ского поля в плоской волне при выбранном расположении осей коор­динат направлена вдоль оси х, об этом, свидетельствует присутствие единичного орта оси х (орта i). Таким образом, в плоской электро­магнитной волне между Е и H есть пространственный сдвиг в 90(Е направлено по оси х, а H — по оси у).

Частное от деления р на у принято называть волновым сопротив­лением:.

где

где

Волновое сопротивление Z_B, измеряемое в омах, зависит от свойств среды (от у и μ_а ,) и угловой частоты ω. В соответствии с (23.10') и (23.11) проекция Е на ось х равна:

Компоненты падающей волны Е_пад и H_пад дают вектор Пойнтинга П_пзд (рис. 23.2, а), Направленный вдоль положительного направления. оси z. Следовательно, движение энергии падаю­щей волны происходит вдоль положительного направле­ния оси z.

Компоненты отраженной отражен-

волны Е_отр и Н_отр дают вектор Пойнтинга П_отр (рис. 23.2, б), направленный вдоль отрицательного направления оси z. Это означает, что отра-

женная волна несет с собой энергию вдоль отрицательного направле­ния оси z.

Волновое сопротивление Z_в можно трактовать как отношение Ё_пад/Н_пад .*. Так как волновое сопротивление является числом ком­плексным [см. формулу (23.12)] и имеет аргумент 45°, то сдвиг во вре­мени между Е_пад и Н_пад для одной и той же точки поля тоже равен 45°.

* Отношение Ё_0ТР к — Н_OTp также равно Z_в

136

проводящей среде, простирающейся теоретически в бесконечность (рис. 23.3). Электромагнитная волна проникает из диэлектрика в проводящую среду и рас­пространяется в ней. Так как среда прости­рается теоретически в бесконечность и па- дающая волна в толще проводящей среды не встречает границы, которая «возмутила» бы ее распространение, то отраженной волны в данном случае не возникает. При наличии только одной падающей волны Н=С₂е^-рz и Е=Z_вС₂е^-рz