§ 22.2. Первое уравнение Максвелла. Первое уравнениеМаксвела записывают следующим образом

Максвелла записывают следующим образом:

■

В правой части его имеются две плотности тока: плотность тока проводимости и плотность тока электрического dD/dt. Ток электрического смещения возникает в любом диэлектрике, в том числе и в. вакууме, при изменении напряженности электрического поля во времени. Ток смещения порождает магнитное поле так же,как и ток проводимости. Хотя природа тока проводимости и тока смещения неодинакова, оба они обладают одним и тем же свойством — вызывать магнитное поле.

Таким образом, смысл первого уравнения Максвелла состоит

в том, что всякое изменение электрического смещения во времени (dD/dt)

в некоторой точке поля (т. е. возникновение в ней тока смещения) на таких же правах, как и ток проводимости, вызывает в этой точке вихрь магнитного поля (rot H), т. е. вызывает вихревое магнитное поле. Если среда однородна и изотропна, то ε_а = const и тогда

С током смещения в предыдущих разделах (особенно в гл. 3 и 8) приходилось встречаться неоднократно. Так, известно,что при зарядке конденсатора через него протекает ток. Этот ток протекает через диэлектрик и является током смещения. Если, например, взять незаряженный плоский воздушный конденсатор и подключить его к источнику э. д. с. напряжением U через сопротивление R, то напряжение на обкладках конденсатора будет

Через поверхность S ток смещения в S раз больше, т. е. он равен току проводимости, протекающему по проводникам, соединяющим конденсатор с источником э. д. с.Отметим, что первое уравнение Максвелла представляет собой закон полного тока в дифференциальной форме.

Убедимся в том, что из закона полного тока следует уравнение (22.1). С этой целью возьмем произвольный контур и составим для него уравнение по закону полного тока . Полный ток, пронизывающий площадь, ограниченную контуром, равен сумме тока проводимости и тока смещения. Поэтому

§ 22.3. Уравнение непрерывности. Линии полного тока

являются непрерывными. Физически это означает, что на границе проводящей среды и диэлектрика ток проводимости переходит в ток смещения.

Можно математически сформулировать принцип непрерывности

(замкнутости) линий полного тока. С этой целью от обеих частей (22,1) дивергенция от ротора тождественно равна нулю (см. § 21.12).

Уравнение непрерывности (22.3') называют также законом сохранения заряда. Этот закон означает, что электрический заряд неуничтожаем, он может только перемещаться из одного места в другое.

§ 22.4. Второе уравнение Максвелла. Второе уравнение Максвелла

записывают следующим образом:

Физический смысл его состоит в том, что всякое изменение магнитного

поля во времени (dB/dt) в какой-либо точке поля возбуждает вихрь или

ротор электрического поля в той же точке поля, т. е. вызывает вихревое

электрическое поле

119

Второе уравнение Максвела представляет собой дифференциальную форму закона электромагнитной индукции.

Для того чтобы убедиться в этом, проведем следующие рассуждения. Мысленно возьмем некоторый замкнутый контур, расположенный в переменном электромаг нитном поле. Переменный магнитный поток, пронизывающий контур, наведет в нем. э.д.с.

Равенство (22.5) должно выполняться при любых площадях S, что возможно только в том случае, когда равны подынтегральные функции- обоих интегралов. Следовательно,

rot E=

Знак «минус» в правой части второго уравнения Максвелла (как и в формуле

е=- d𝜓/dt) объясняется тем, что в основу положено правило правого винта. Если завинчивать правый винт так, что положительное направление вектора .магнитнойиндукции В в некоторой точке пространства при возрастании индукции этой точке совпадет с направлением движения острия винта, то положительное направление:для вектора напряженности электрического поля E при составлении циркуляции вектораЕ вдоль бесконечно малого контура, окружающего эту точку и лежащего,в плоскости, перпендикулярной векторуВ, совпадет с направлением вращения го- ловки винта.

Знак «минус» в правой части (22,4) поставлен для того ,_г чтобы привести в соответствие действительное направление для E при оговоренных ранее условиях с направлением, принятым для E за положительное.

Как в первом, так и во втором уравнениях Максвелла участвуют частные (не полные) производные во времени. Объясняется это тем, что уравнения Максвелла записаны для таких тел и контуров, кото­ рые неподвижны по отношению к выбранной системе координат. (Вопросы электродинамики движущихся сред кратко рассмотрены в § 22.9.)

В переменном электромагнитном поле кроме силовых линий элект-, рического поля, «начинающихся» и «оканчивающихся» на электриче- ских зарядах (как в электростатическом поле) могут быть и замкнутые на себя силовые линии электрического поля, охватывающие замкнутые на себя силовые линии магнитного Поля (см., например, рис. 26.5, а).

120

§ 22 5 Уравнения Максвелла в комплексной форме записи. Уравнения (22.1) и (22 4) записаны для мгновенных значении. Если H и E изменяются во времени синусоидально, то можно воспользоваться символическим методом и записать эти уравнения (22.1) и (22 4) в иной форме. Пусть H =Н_т sin(ωt +𝜓_н) иЕ. =Е_т sin(ωt +𝜓_E). Можно записать Н=ImH_me^iωt (Im- мнимая часть) или, условноH H_me^iωtгде комплексная амплитуда H_m = H_me^i𝜓n.^В свою очередьЕE_me^iωtзначок соответствия). Так как напряженностиЕ и H, кроме того, что они меняются во семени по синусоидальному закону, являются функциями векторными т.е. определенным образом ориентированными в пространстве векторами то над ними ставят стрелку и точку:Ё_т иН_т. Стрелка означает, что речь идет о векторе в пространстве, точка - отом что проекции этого вектора на любую из координатных осей во времени изменяются синусоидально. Тогдаможно заменить на γ Ee^iωt и

(e^iωt как постоянную величину, не зависящую от координат, можно вынести за знак ротора). При этом первое уравнение Максвелла запишем так