§ 21.21. Магнитное экранирование, Положим, что в равномерном магнитном поле напряженностью н0 надо заэкранировать некоторую область пространства, например цилиндрическую, так, чтобы напря-

женность поля в ней была во много раз меньше, чем напряженность

внешнего поля. Цилиндрический экран внутренним радиусом a и на­ружным b имеет относитель­ную магнитную проницае­мость (рис. 21.13, а). Внут­реннюю область обозначим I, Область тела экрана — II, область снаружи экрана — ///. В областях / и ///отно­сительная магнитная про­ницаемость равна единице. Так как во всех трех обла­стях нет тока, то магнитное поле в них описывается уравнением Лапласа ² φ_M = 0.

Экран будем полагать достаточно протяженным вдоль оси z (ось z перпендикулярна чертежу); φ_M зависит только от координат r и α цилиндрической системы. Раскроем уравнение ²φ_M = 0 в цилиндрической системе:

Постоянная интегрирования, с точностью до которой определяется Потенциал, принята здесь равной нулю.

Для определения шести постоянных (C₁ — С₆) составим шесть

уравнений.

1. Сопоставим φ_M ¹¹¹ с выражением «на бесконечности» φ_M = H₀ r cos α.

Из сопоставления находим, что Съ — Н₀.

2. В первой области при r = 0 φ_M должно оставаться конечным. Это может быть только в том случае, если в выражении будет, отсутствовать слагаемое С₂/r. Оно будет отсутствовать при С₂ = 0.

101

Нетрудно убедиться в том, что условие непрерывности потенциала эквивалентно условию равенства тангенциальных составляющих на-, пряженности поля на границе раздела при r = а. Действительно*

Последнее уравнение совпадает с полученным ранее.

4. Равенство φ_м на границе между второй и третьей (при r = b) областями приводит, к уравнению

* Напомним, что H = —grad φ_м. Формулы, позволяющие определить Н_α и Н_r через φ_м, следуют из соотношения (19.9) на стр. 12.

102

Отношение напряженности поля внутри экрана к напряженности внешнего поля Н₀

Формула (21 34) приближенна (принято β= 1 и q — 2/μ₂). Из нее можно заключить что чем больше μ₂ и чем толще стенка экрана, тем сильнее его экранирующее действие.

На рис. 21.13.б качественно показана картина линий магнитной индукции при наличии экрана. Из рисунка видно, что силовые линии магнитного поля в большенстве стркмятся пройти по стенкам экрана и лишь небольшая часть их заходит в экранируемую область.

Пример 208. ₂₌₁₀^4; а=5 см; b=5,5 см. Найти отношение H₁/H₀

Решение.

т. е. напряженность поля внутри экрана составляет всего 0,23% от напряженности Н_а.

Без вывода запишем формулу для определения отношения напряженности поля внутри сферического экрана H_i к напряженности равномерного поля H₀, в кото­рое помещен экран, полагая, что внутренний радиус экрана R_1, наружный R₂ и' что экран имеет относительную магнитную проницаемость μ ₂1, а снаружи экрана μ_а=μ₀

§21.22. Эллипсоид во внешнем однородном поле. Коэффициент размагничи­вания. Поместим в однородное магнитное поле напряженностью Н_е ферромагнит­ный.эллипсоид относительной магнитной проницаемостью μ.. Поле в нем будет одно­родным. Напряженность поля в эллипсоиде H_i можно определить на основании принципа наложения как разность напряженности внешнего поля Н_е и напря­женности поля расчетных магнитных зарядов на поверхности эллипсоида, равной NJ (подобно тому, как в поляризованном диэлектрике, поверхностная плотность заряда равна вектору поляризации Р — см; § 19.13):

Hi=He-NJ, (2L35)

где N.— некоторый коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом

размагничивания.Оси эллипсоида обозначим а, b, с. Вдоль направления каждой оси свой коэффи­циент: Nj— вдоль оси a; N_а — вдоль оси b; N_с — вдоль оси с. Между ними имеет место зависимость N_a+N_b + N_с = 1. Для шара N_а = N_b = N_с = 1/з

. Положим, что Н_е направлена вдоль оси а, а размеры осей b и с одинаковы, тогда

Hi = H_e-N_а j (21.35')

Но из соотношения В = μ₀ (H + J) = μ ₀μHi; следует, что j=(μ.-1)H_i (21.36)

Подставим (21..36) в (21.35):

§ 21.23 Применение метода зеркальных изображений» Для расчета магнитных полей, создаваемых линейными токами, протекающими вблизи стальных масс, широко применяют метод зеркальных изобра­жений. Допустим, что в воздухе или в какой-либо другой среде с маг­нитной проницаемостью μ₁ параллельно плоскости раздела сред про­ходит провод с током I₁(рис. 21.14, а).

Вторая среда пусть имеет магнитную проницаемость μ.₂. Требуется найти напряженность-поля в любой точке первой и второй сред.С этой целью в расчет вводят фиктивные или расчетные токи I₂ и I₃., Провод с током 1₂ помещают зеркально по отношению к проводу с заданным током 1₁ а провод с током I₃ помещают там, где располо­жен провод с током I₁

Двумя пока неизвестными токами I₂ и I₃ распорядимся таким образом, чтобы удовлетворить двум граничным условиям на границе раздела сред.

Поле в верхнем полупространстве (там, где расположен ток 1₁ — рис. 21.14, б) определится от двух токов: от заданного I₁ и фиктив­ного I₂, причем и верхнее и нижнее полупространства при этом запол­няет среда с магнитной проницаемостью μ_1. Поле в любой точке ниж­него полупространства определится током I₃, а верхнее и нижнее про­странства имеют μ = μ₂ (рис. 21.14, в). Составим уравнения для определения токов I₂ и I₃. Если взять произвольную точку а на гра- нице раздела сред, то ее можно считать принадлежащей как первой, так и второй средам. Если считать ее принадлежащей первой среде, то тангенциальная составляющая напряженности поля в ней будет

104

соответствовать левой части уравнения (21.38),а если второе среде, то правой части (21.38'):

Отсюда получим первую связь между токами: I₁— I₂= I₃.

Для получения второй связи составим уравнение, выражающее собой равенство нормальных составляющих магнитной индукции в произвольной точке а на границе раздела:

Пример 209.Найти напряженности поля в точках m ип (рис.21.15,а) Геометрические размеры в сантиметрах даны на рисунке .Магнитные проницаемости μ₁= 1,μ₂=999; I₁=10А

Для определения напряженности поля в точке т, расположенной в том же полупространстве (среде), что и ток I₁ служит рис. 21.15, б: H_m=H₁+H₂

По закону полного тока

На рис.21.16, а качественно изображена картина линий магнитной индукции В для случая, когда провод с током проходит в воздухе; параллельно поверхности стальной плиты; на рис. 21.16, б когда

провод с током проходит через узкий канал в стальной плите па­раллельно поверхности плиты.^: Пример 210. По длинно­му биметаллическому проводу, г(рис. 21.17) протекает постоянный ток I, Радиус внутреннего

провода r₁, наружного— r₂. Проводимость внутреннего γ₁, наруж­ного γ₂. Определить закон изменения векторного потенциала А и магнитной индукции внутри провода (во внутренней I и наруж­ной II областях и вне провода — область III);

Р е шени е. Определим плотности тока в первой δ₁ и во второй δ₂ областях. Так как Е_1t = Е_{2 t} то δ₁/у₁ = δ₂/у₂. Кроме того

Следовательно,

При раскрытии выражения ²А в цилиндрической системе коор­динат учтем, что в данной задаче А имеет только одну составляющую

А= z°A_z = z°А направленную по оси провода (по оси z), и эта со­ставляющая зависит только от r:

—-μ _{1 а} δ₁ для первой области;

1/rd/dr(rdA/dr) = —μ _{2 а} δ₂ для второй области;

0 для третьей области.

Стагаемое C_r In r должно отсутствовать, так как А не может принимать бесконечно больших значений при r=0; отсюда следует, что С₁=0 .

Вектор-потенциал определяется с точностью до постоянной. Примем эту постоянную равной нулю: С₂ = 0. При этом на. оси провода А=0. Из граничных условий составим уравнения для определения оставшихся четырех постоянных. 1.При r=r₁A₁= A₁₁, следовательно

Пример 211. Воспользоваться выражением Ф = Аdl и данными примера 210 и найти магнитный поток, пронизывающий биметалличе­ ский провод.примера 210 на длине l= 1 м.

Решени е. Разобьем путь интегрирования Ф = Аdl на четыре участка: первый участок от точки 1 до точки 2 (рис. 21.18, а); вто­- рой— от 2 до 3; третий — от 3 до 4; четвертый — от 4 до 1. В соот-­ ветствии с этим

²

Но А dl равен нулю, так как значение А при r = 0 равно нулю.

1

На втором и четвертом участках. A dl также равен нулю, так как

Таким образом, индуктивность L в данном примере равна магнитной проводимости G_M. Для определения последней, воспользуемся формулой (21.29) *:

угол между А и dl равен ±90°, a cos 90° = 0. A dl не равен нулю только на третьем участке, где

Пример 212. Воспользоваться построениями рис. 21,11 и опреде­лить магнитную проводимость воздушного зазора между полюсом и якорем машины постоянного тока на единицу длины якоря (1м).

Ре ш е н и е. В соответствии с рис. 21.11 п = 2и т = 11; b/а = 0,9. По формуле (21.29) подсчитаем:

Пример 213. Определить емкость и индуктивность на 1 м длины кабельной двухпроводной линии с цилиндрической проводящей броней. Картина поля в сечении кабельной линии,дана на рис. 21.18,6 (ε = 2,5).

108

Решение. Изображенная на рис. 21.18, б картина поля справедлива для электрического и магнитного полей. Причем, согласно §.21.20, силовым линиям электрического поля соответствуют эквипо- тенциали магнитного поля.

Число силовых трубок электрического поля m= 10,52=21

Числo ячеек в трубке п= 10 (пять от провода до брони, пять от брони до провода). Отношение b/а ≈1.. Число силовых трубок магнитного

поля т = 10, число ячеек трубке n = 21. По формуле (21.31)

найдем емкость на 1 м длины кабеля (l = 1 м):

По определению, индуктивность. L равна отношению потокосцепления к создающему его току L = /1 В данной задаче имеется всегоодин виток (прямой и обратный провода). Поэтому потокосцепление 𝜓 равно потоку Ф между проводами (индуктивностью, обусловлен­ной потокосцеплением в теле проводов, в силу его малости пренебрегаем).

По закону полного тока, ток I может быть заменен. Hdl по замкнутому контуру, окружающему провод. В свою очередь Н dl представляет собой падение магнитного напряжения U_м: по этому контуру. Следовательно

Пример 214. Найти разность скалярных магнитных потенциалов (магнитное напряжение) между точками А и В, расположенными в магнитном поле линейного тока I=10А (рис. 21.19). Решен и е. .

Так как на этом участке угол между H и dl равен 90°. Следовательно, U_мАВ=1/4=2,5А

___________________________

* При вычислений L по формуле для Gм число ячеек в силовой трубке должно быть взято по замкнутому контуру. 109

Пример 215. В воздухе создано равномерное магнитное поле на- пряженностью ₀= 240 А/м. В это поле поместили ферромагнитный шарик, магнитная проницаемости которого μ _i= 20. Найти индукцию в шарике.

Р е ш е н и е. Воспользуемся аналогией между электростатическим и безвихревым магнитным полями. В формуле (19.69) заменим E₀-на Н_а и ε на μ. Получим

Пример 216. Вдоль трубы с внутренним радиусом r₁ и наружным r₂ (рис. 21.20) протекает постоянный ток I. Вывести формулыдля определения напряженности поля H внутри трубы, в теле трубы и снаружи трубы.

Решение. Напряженность поля в любой из указанных областей найдем, по закону пол­ного тока (R=r)

Если провести окружность радиусом r < r₁ с центром на оси трубы, то эта окружность не охватит тока. Поэтому при rr₁H=0, т. е. во внутренней полости трубы магнитное поле отсутствует. Плотность тока в трубе

Окружность радиусом r₁₂охватывает ток δπ (r₂ - r²_1). Поэтому в этом интервале изменений r

Н=I(r₂ - r²₁) / 2πr (r²₂ – r² ₁)

Снаружи трубы при rr₂ напряженность поля убывает по гипербо­лическому закону =I (2πr), График H = f( r) изображен на рис. 21.20.

ТОЛЬКО к замкнутым контурам с токами тогда как закон Био — Савара— Лапласа применим не только к замкнутым контурам с токами, но и к .отрезкам проводников с токами (к элементам тока). Поэтому закон Био — Савара — Лапласа более универсален.

Пример 217. С помощью формулы (21.40) оппепелить магнитную индукцию в точке т,

§21.24. Закон Био—Савара—Лапласа. Согласно известному из курса физики закону Био— Савара — Лапласа, при отсутствий фер­ромагнитных сред отрезок линейного провода dl, по которому течет ток I в направлении dl, в точке, удаленной на расстояние R от эле­мента тока, создает магнитную индукцию, определяемую следующим образом:

где R₀ — единичный вектор, проведенный от dl к точке, в которой определяется магнитная индукция (рис. 21.21). Результирующая индукция в этой точке

110

ТОЛЬКО к замкнутым контурам с токами тогда как закон Био — Савара— Лапласа применим не только к замкнутым контурам с токами, но и к .отрезкам проводников с токами (к элементам тока). Поэтому закон Био — Савара — Лапласа более универсален.

Пример 21,7. С помощью формулы (21.40) оппепелить магнитную индукцию в точке т,

Формула (21.41) встречается под названием закона Ампера. В фор-гуле (21.42) интегрирование производят по объему, занятому током. - Обратим внимание на два положения. -1. Структура формул (21.39) и (21.41) в известной мере сходна со структурой формулы для напряженности электрического поля точечного заряда, полученной в § 19.4 из закона Кулона.

2. Полезно сопоставить закон полного тока с законом Био — Са­йра— Лапласа. Оба эти закона позволяют определять магнитную индукцию. создаваемую током. Однако закон полного тока применим

создаваемую отрезком линейного провода, с током I(,рис. 21.22). Точка т удалена от провода на расстояние b

.Решение. Угол между dl и R_Q обозначим α Из геометрических соображений имеем

При выбранном направлении тока вектор В направлен к чи­тателю.

Если провод будет бесконечно длинный, α₁= 0, α₂ = 180°, cosα₁ —cosα₂ = 2;и В =μ₀I/2πb, что, совпадает с результатом, полу- чаемым по закону полного тока.

Индукция в центре квадратного витка с током I и стороной а (рис. 21.23, а) в 4 раза больше, чем от одной_стороны и равна В =

Пример 218. Вывести, фор­мулу , для определения напря­женности магнитного поля на оси кругового витка с током I (рис. 21.23, в). Радиус витка принять равным а.

Р е щ е ни е. Выделим эле­мент тока Idl. Напряженность поля dH', создаваемая-этим эле­ментом в точке b на оси витка,

находящейся на расстоянии z от плоскости витка, равна I (dl R₀/ 4π(а ² +z²⁾ напряженность dH' перпендикулярна dl и R_a. От диаметрально про­тивоположного элемента тока I dl в той же точке b будет напряжен­ность dH". По модулю dH' и dH" одинаковы.

При геометрическом суммировании dH' и dH" будет получен век­тор, направленный по оси витка: dl —adα;

Пример 219. Используя решение примера 218, вывести формулу для определения индукции на оси цилиндрической катушки с то­ ком I (рис. 21.24). Высота катушки h, средний радиус ее α, число витков w.

112

§ 21.25. Определение скалярного магнитного потенциала контура с током через телесный угол. На рис. 21.25 изображен контур с током i, который охватывает пло­щадь S. Вертикальная ось расположена перпендикулярно площади. Запишем формулы для магнитного скалярного потенциала (полагая, что на бесконечности φ_м=

= 0) и составляющих H_R и Н_θ напряженности поля в произвольной точке а, находящейся на расстоянии R от центра площади. Полагаем, что расстояние R значительно больше линейных размеров контура; θ—угол между вертикальной осью, ирадиусом R:

Воспользуемся аналогией между электростатическим и магнитным безвихревым полями. В примере 197 на стр. 65 были выведены формулы для потенциала φ и составляющих Е_R Е₀ напряженности электрического поля диполя;

Угол θ положителен, если из точки а ток в контуре виден направленным против часовой стрелки.