§ 21.7. Выражение проекций ротора в цилиндрической и сфериче­ской системах координат. Без вывода приведем выражение проекций

ротора H:

в сферической системе координат:

в цилиндрической системе координат:

§ 21.8. Принцип непрерывности магнитного потока и запись его в дифференциальной форме. Магнитный, поток есть поток вектора магнитной индукции через некоторую поверхность: Ф = ∫ В dS.

. S .

Индекс S под знаком.интеграла свидетельствует о том, что интег­рал взят по поверхности S. Если поверхность замкнута сама на себя (например, поверхность шара), то поток, пронизывающий замкнутую поверхность, Ф = BdS.

Опыт показывает, что вошедший внутрь любого объема магнит­ный поток равен магнитному потоку, вышедшему из того же объема.

Следовательно, алгебраическая сумма вошедшего в объем и вышед­шего из объема потоков равна нулю:

BdS.= 0. (21.9)

Выражение (21.9) представляет собой математическую запись прин­- ципа непрерывности магнитного потока. Разделим обе части (21.9) на объем V, находящийся внутри замк-­ нутой поверхности S, и найдем предел отношения, когда объем V стремится к нулю:

Соотношение (21.10) можно трактовать как дифференциальную форму принципа непрерывности магнитного потока. Оно пригодно для любой точки магнитного поля. Следовательно, в любой точке этого поля нет ни истока, ни стока линий вектора магнитной индукции. Линии вектора Д нигде не прерываются, они представляют собой замк­нутые сами на себя линии (окружность — пример замкнутой на себя линии).

Но линии H в точках, где изменяется j (например, на границах сред с разными µ.), прерывны. Это следует из (21.10); div В — divµ₀ (H+j).= 0. Отсюда div H = —div J. Сопоставьте с прерывностью линий Е и непрерывностью линий D в элек­трическом поле (см. § 19.39). , -

§21.9. Магнитное поле в областях «занятых» и «не занятых» постоянным током. Вихревыми принято называть поля, ротор которых отличен от нуля. Так как для магнитного поля постоянного тока rot H=, то во всех. точках пространства, где 0, поле вектора H является вихревым. В областях пространства, где = 0,rot H = 0, магнитное поле можно рассматривать как потенциальное,

§ 21.10. Скалярный потенциал магнитного поля. Для совокупности точек, где = 0,rot H= 0,магнитное поле можно рассматривать как потенциальное, т. е. как поле, каждая точка которого имеет ска­лярный магнитный потенциал φ_м. Следовательно, для таких областей можно принять

H=-gradφ_м

Так как div В = div µ_a H = 0, то при µ_a = const div H= 0. Подставив в последнее выражение —grad φ_м, вместо H, получимdiv grad φ_м, = 0.

Таким образом, скалярный потенциал магнитного поля φ_м, о ко­тором может идти речь, только для областей, не занятых током, под­- чиняется уравнению Лапласа:

²φ_м= 0. (21.12) '

Разность скалярных магнитных потенциалов между точками 1 и 2 называют падением магнитного напряжения между точками 1 и 2

(см. стр. 352): U_M12= φ_м1- φ_м2 = ∫² H dl.

Падение магнитного напряжения между точками 1 и 2 по какому-то одному пути (например, по пути 132, рис. 21.5, а) равно падению маг- нитного напряжения между теми же точками по какому-то другому

пути (например, по пути 142) в том случае, когда эти пути образуют замкнутый контур, ток внутри которого равен нулю.

Если же замкнутый контур, образованный двумя путями, охваты­вает; некоторый ток, то падение магнитного напряжения по первому пути не равно падению магнитного напряжения по второму пути — они будут различаться на величину тока, охваченного контуром. По­следнее вытекает из закона полного тока. Так, применительно к рис. 21.5, a ∫ Hdl ∫ Hdl (ибо из закона полного тока следует,

152 132

что : ∫ Hdl +∫ Hdl=-I или ∫ Hdl = -I +∫ Hdl Следова-

132 251 132 152

тельно, для того чтобы разность магнитных потенциалов между двумя точками магнитного поля не зависела от пути, надо наложить запрет на прохождение через контур (виток) с током, мысленно натянув на этот . контур некоторую пленку. При прохождении через эту пленку φ_м изменяется скачком на величину тока в контуре.

Следует различать понятия «падение магнитного напряжения» и «магнитное напряжение». Первое определяется только линейным инте- гралом от H на dl по выбранному пути. Второе — не только этим

89

-

интегралом, но и м. д. с, имеющейся на пути (см. стр. 360). Здесь имеется полная аналогия с понятиями «падение напряжения» и «напряжение» в электрической цепи,

§ 21.11. Граничные условия. Подобно тому как в электростати­ческом поле ив поле проводящей среды выполнялись определенные граничные условия, в магнитном поле также имеют место аналогич­ные условия:

Условие (21.13) означает, что на границе раздела двух однородных и изотропных сред, различных в магнитном отношении (различные р.), равны тангенциальные составляющие векторов напряженности маг­нитного поля.

Условие (21.14) свидетельствует о равенстве нормальных состав­ляющих векторов магнитных индукций на границе раздела.

Условие (21.13) выводят путем составления линейного интеграла Hdl по плоскому контуру mnpq (рис. 21.5, б) и приравнивания его нулю (так как он не охватывает тока). Стороны пр и qm ничтожно малы по сравнению со сторонами тп и pq. Длину стороны тп и рав­- ную ей по величине длину стороны pq обозначим через dl. Тогда Н₁ sin α₁ dl — H₂ sin α₂dl = 0, но Н₁ sin α₁ = H_1t, Н₂ sin α₂ = H_2t, следовательно Н_1t =H_2t

Условие (21.13) не выполняется, если на поверхности раздела двух сред протекает так называемый поверхностный ток. Под ним понимают ток, протекающий по бесконечно тонкому плоскому про­воднику, помещенному на границе раздела.

В этом случае Н dl будет равняться не нулю, а поверхностному току σdl, который оказался внутри замкнутого контура: Н₁ sin α₁dl — H₂ sin α₂ dl = σdl и в силу этого H_1t — H_2t .= σ. Другими словами, при наличии поверхностного тока с плотно­стью а тангенциальная составляющая напряженности поля терпит разрыв. Как правило, поверхностный ток отсутствует, и условие (21.13) выполняется.

Равенство нормальных составляющих векторов магнитной индук­ции следует из принципа непрерывности магнитного потока: В dS = 0.

Для того чтобы убедиться в справедливости (21.14), на границе раздела выделим небольшой плоский параллелепипед и подсчитаем потоки вектора B через нижнюю грань (рис. 21.6) —Bn₁S и верх­нюю B_2nS.

Сумма потоков равна нулю: —B_lnS + B_2nS = 0. Следова­тельно, В_1п = В_2n.

Из (21.13) и (21.14) вытекает соотношение

90

Оно дает связь между углом падения α₁ и.углом преломления α₂ (см. рис. 21.5, б). Если магнитные силовые линии выходят из среды - большой магнитной проницаемостью, например μ_1а = 10⁴μ₀, в среду малой магнитной проницаемостью, например в воздух μ_2а = μ ₀ то

следовательно, угол α₂ много мньше

угла α₁

Пример 206. Найти угол α₂, под которым лиловые линии выходят в среду с магнитной проницаемостью μ_2а, если угол α₁ = 89°;

μ _1a= 10⁴μ_0, μ _2a = μ₀

Решение. tgα₁= tg89° = 57,29; tg α₂ = μ₂/μ₁ tgα₁ =10 ⁴ tg α₁ = 0,005729; α₂ = 20'.

§ 21.12. Векторный потенциал магнитного поля. Для расчета магнитных полей широко используют векторный потенциал, или век­тор-потенциал магнитного поля. Его обозначают А. Это векторная величина, плавно изменяющаяся от точки к точке, ротор которой ра­вен магнитной индукции:

B= rotA (21.16)

Основанием для представления индукции в виде ротора от вектора- потенциала служит то, что дивергенция любого ротора тождественно равна нулю.

Известно, что в магнитном поле div B = 0. Подстановка в это равенство rot А вместо B дает выражение, тождественно равное нулю: div rot A= 0.

Равенство нулю div rot А можно пояснить с помощью оператора . С этой целью. вместо rot А запишем [A]. Тогда div rot A = [A]. Векторное произведение [A] перпендикулярно и к и к А. Скалярное произведение на[A], т. е. [],равно нулю потому, что равен нулю косинус угла между и[А].

Если вектор-потенциал как функция координат известен, то ин­дукцию в любой точке поля определяют путем нахождения ротора от вектора-потенциала в соответствии с (21.16). В отличие от скаляр­ного магнитного потенциала φ_м, пользоваться которым можно только Для областей, не занятых током (см. § 21.10), векторным потенциалом можно пользоваться как для областей, не занятых током, так и для

областей, занятых ,током . В электротехнических расчетах векторный потенциал применяют для двух целей: 1) определения магнитной индукции с помощью формулы (21.16); 2) определения магнитного потока, пронизывающего какой-либо контур (см. § 21.14).

Векторный потенциал в произвольной точке поля связан с плот­ностью тока в этой же точке уравнением Пуассона.

Общее решение их по аналогии с решением уравнения (19.26) записывают так:

§ 21.13. Уравнение Пуассона для вектора-потенциала. Умножим обе части (21.4) на магнитную проницаемость среды μ_а:

μ_а rot H=μ_a

Условимся, что будем иметь дело с полями, которые можно под. разделить на отдельные области, так что магнитные проницаемости п., в каждой отдельной области постоянны. Если р., постоянна, то ее можно подвести под знак ротора:

rotμ_aH = rotB = μ_a . (21.17)

В (21.17) вместо В подставим rot , тогда

rot rotA = μ_a; (21.18)

Операция взятия ротора от ротора есть по сути дела операция раскрытия двойного векторного произведения и выполняется так: rot rot A = [[A ]] = grad div А -²A= μ_a . (21.19)

Из курса математики известно, что двойное векторное произведение раскры­вается следующим образом: [а [b с]] = b (ас)—с(а b).

В данном случае роль векторов а и b играет оператор , а роль векторас—вектор-потенциал А. Таким образом, [[]=(A) —A () =grad div —²A

До сих пор к вектору-потенциалу никаких дополнительных требо­ваний не предъявлялось, если не считать того, что он должен быть функцией, имеющей пространственные производные. Так как A есть расчетная функция, то в магнитном поле постоянного тока ее можно подчинить требованию:

div A =0. (21.20)

Это требование означает, что линии вектора A есть замкнутые сами на себя линии. С учетом (21.20) уравнение (21.19) приобретает вид: -

²A= — μ_a . (21.21)

Уравнение (21.21) представляет собой уравнение Пуассона. В от­личие от (19.26), составленного относительно скалярной величины φ, уравнение (21.21)-составлено относительно векторной величины. Вместо A в (21.21) подставим iA_x +jA_y + kА_z и плотность тока заме­ним на i_x +jy +k_z

² iA_X + ²jA_y + ² kА_z = - μ_а i_x - μ_а jy- μ_а k_z

Последнее уравнение разбивается на три уравИения, составленные относительно скалярных величин А_х, А_y, A_z '

²A_x= — μ_{а x} ²A_y= — μ_{а y}

²A_z= — μ_{а z}

92

Если (21.22) умножить на i, (21.22а) — на J и (21.226)'— на k и . сложить, то получим

Единицей измерения для A является Вс/м.

Формула (21.23) дает общее решение уравнения (21.21). Вектор- потенциал в любой точке поля может быть определен путем вычисления объемного интеграла (21.23). Последний должен быть взят, по всем областям, занятым током.

Несмотря на то что формула (21.23) дает общее решение, пользо­ваться ею в дальнейшем будем редко ввиду того, что взятие интеграла правой части формулы сопряжено обычно со значительными математи­ческими выкладками. .