книги из ГПНТБ / Ушаков, Константин Андреевич. Аэродинамика осевых вентиляторов и элементы их конструкций

для отношений соответствующих относительных скоростей мо­ гут быть записаны такие выражения:

тельности) увеличивается также и угол потока 01, что приводит к меньшему увеличению скорости а>1 по сравнению с увеличе­ нием скорости сп. Угол выхода потока из решетки р2 изменяется в значительно меньшей степени, чем угол (h из-за направляю­

щего действия решетки. Для решеток с густотой т > 1,2, как по­ казывает теория и опыт, угол |32 очень мало зависит от режима работы решетки. Это обстоятельство приводит к более значи­ тельному изменению скорости ®2 (почти такому же, как скоро­ сти са) по сравнению с изменением скорости Wi и к нарушению соотношения между ними при изменении режима работы.

Очевидно, может быть режим работы, при котором скорости при входе в решетку и при выходе из нее будут равны как по величине, так и по направлению, т. е. в этом случае поток не

будет отклоняться решеткой.

Таким образом, плоская решетка определяется густотой, углом установки профиля и его конфигурацией; поток опреде­ ляется треугольниками скоростей перед решеткой и за ней. Силы взаимодействия профиля в решетке и потока определя­ ются теоремой Жуковского.

§ 3. ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО

Прежде чем переходить к доказательству теоремы Жуков­

ского, необходимо остановиться на таких аэродинамических понятиях, как вихрь и циркуляция.

Вихрем или вихревой нитью называется объем воздуха,

ограниченный в простейшем случае цилиндрической поверхно­

стью с прямолинейной осью. По длине вихрь бесконечен, либо

один или оба его конца упираются в твердые стенки. Частицы воздуха в этом объеме вращаются вокруг оси с постоянной угловой скоростью, т. е. как частицы твердого тела. Эту об­ ласть называют ядром вихря. Окружные скорости частиц в ядре пропорциональны их расстоянию от оси. За пределами ядра вихря, в пространстве его окружающем, воздух не остается не­ подвижным— его частицы также вращаются вокруг оси вихря, но их окружные скорости уже не прямо, а обратно пропорцио­ нальны расстоянию до этой оси и на бесконечном от нее удале­ нии обращаются в нуль (рис. 8). Область, окружающую вихрь, часто называют свободным или потенциальным вихрем.

29

Если часть объема свободного вихря разбить соосными

вихрю цилиндрами на кольцевые объемы, то моменты количе­

ства движения этих объемов будут равны.

Для всех окружностей, лежащих за пределами вихря с цент­ рами на его оси, произведение из длины окружности 2яг на

окружную скорость си есть величина постоянная

2кгси = const.

Эта величина носит название циркуляции вихря и обозна­ чается обычно через Г.

Если мы проведем в области потенциального вихря контур, не охватывающий вихрь, то циркуляция по этому контуру равна нулю — движение оказывается невихревым (см. рис. 8).

Вихревым называется движение самих частиц воздуха во­ круг своих осей.

В самом общем виде циркуляция — сумма произведений из длин отрезков некоторого произвольного контура и проекций

на эти отрезки соответствующих скоростей движения жидкости

Величина постоянной определится из условия, что на беско­ нечности скорость равна нулю, а давление атмосферное, т. е.

Таким образом, давление в любой точке потока

30

нулю и дальнейшее увеличение си будет невозможным. Начиная с точки cumax движение жидкости будет происходить уже по за­ кону твердого тела, скорость снова начнет уменьшаться.

Остановимся более подробно на физической сущности цир­ куляции скорости.

Как справедливо отмечает акад. Л. И. Седов в своей работе

«Плоские задачи гидродинамики», «Жуковский и Чаплыгин пер­ вые поняли и объяснили... возникновение подъемной силы..

Рис. 10. К образованию циркуляции вокруг профиля в решетке:

а — безциркуляционное течение; б — образование вихря; в — циркуляционное обтекание

Согласно знаменитой теореме Жуковского, наличие подъемной' силы обусловлено циркуляцией скорости по замкнутому кон­ туру вокруг профиля крыла. Вторым фундаментальным резуль­ татом, принадлежащим также Жуковскому и Чаплыгину, яв­ ляется правило для определения циркуляции скорости. При математическом решении задачи об обтекании профиля цирку­ ляция скорости может быть произвольной. Для выбора опреде­ ленного значения циркуляции Н. Е. Жуковский и С. А. Чаплы­ гин указали на необходимость удовлетворить требованию о ко­

нечности скорости у задней острой кромки крыла». Для этого струйка, текущая непосредственно по одной из поверхностей крыла, должна не огибать заднюю кромку (рис. 10, а), а сте­ кать с нее и сливаться со струйкой, текущей по другой поверх­

ности (рис. 10, в).

Всвязи с таким представлением об обтекании профиля крыла процесс возникновения подъемной силы мыслится сле­ дующим образом.

Вначальный момент обтекания профиля имеет место кар­ тина линий тока, представленная на рис. 10, а. Это так на­ зываемое безциркулярное течение. При этом величина и направ­ ление скорости при выходе из решетки такие же, как и при входе в нее. В точке А скорость течения равна нулю. Здесь по­ ток разделяется на две части, обтекающие профиль. В точке Б скорость течения также равна нулю. Точки А и Б называются

31.

соответственно передней и задней критическими точками. Од­ нако уже в следующий момент происходит отрыв потока, обте­ кающего острую заднюю кромку, так как плавное обтекание ее невозможно, как невозможно появление бесконечно больших

скоростей при течении по кривым с очень малым радиусом кри­

визны (см. выше о вихре скорости).

Оторвавшаяся часть потока, непосредственно примыкающая

:к профилю (так называемый пограничный слой), сворачивается в вихрь и уносится потоком. При этом вокруг профиля происхо­ дит перераспределение скоростей такое, что задняя критическая точка Б на верхней поверхности профиля смещается вниз по потоку. Это соответствует увеличению скорости течения над профилем и уменьшению под ним: на поступательный поток

накладывается возникший вокруг профиля циркуляционный по­ ток (рис. 10, в). На верхней поверхности профиля скорости увеличиваются, а на нижней уменьшаются. Согласно уравнению Бернулли, при этом происходит уменьшение давления над про­ филем и увеличение под ним, что приводит к возникновению подъемной силы. При этом, как предположили Н. Е. Жуков- ‘Ский и С. А. Чаплыгин и как впоследствии было подтверждено

опытом, величина возникшей вокруг профиля циркуляции та­ кова, что суммарное течение происходит с плавным сходом

•струй с острой задней кромки. Циркуляция вокруг профиля равна по своей величине и противоположна по знаку циркуля­ ции сорвавшегося с профиля вихря, что также находится в пол­ ном согласии с общими теоремами аэродинамики.

Под действием возникшей вокруг профилей в решетке цир­ куляции происходит отклонение потока от его направления пе­ ред решеткой.

Теперь перейдем непосредственно к доказательству теоремы Жуковского.

Выделим в плоскопараллельном потоке, обтекающем еди­ ницу длины плоской решетки (см. рис. 4), массу воздуха, огра­ ниченную контрольной поверхностью, проекцией которой на плоскость рисунка являются отрезки 1—Г, 2—2', параллельные фронту решетки, и линии тока 1—2 и 1'—2', отстоящие друг от друга на расстоянии, равном шагу решетки.

Согласно теореме о количестве движения, изменение коли­ чества движения секундной массы воздуха равно сумме всех внешних сил, приложенных к этой массе. Внешними силами по отношению к этой массе воздуха будут силы давления в плоско­ стях 1—1', 2—2' и на поверхностях тока 1—2, 1'—2' и сила ре­ акции со стороны элемента лопатки плоской решетки.

Состояние потока на двух поверхностях тока 1—2 и 1'—2'

совершенно одинаково, силы давления на эти поверхности равны и противоположно направлены и поэтому их можно не учиты­ вать. Сквозь поверхности 1—2 и 1'—2' течения не происходит,

а значит, не происходит изменения количества движения.

32

Напишем уравнение количества движения для выделенной массы воздуха

m2-w2 — тхчи\ — — R + (р, — p2) t.

В проекциях на оси координат и и а оно запишется следую­ щим образом:

В силу уравнения неразрывности

тА т2 = т

или

И pwla = t\pw,a = tp-wa,

откуда также следует, что чи)Ха — чю2а.

Вотносительном движении энергия к потоку не подводится

иуравнение Бернулли запишется в виде:

После этого уравнения (13) и (14), записанные для сил, действующих на профиль в решетке, можно переписать так:

(^1И —®2И);

/?а =---- f (W12-W22)+^.

Принимая во внимание, что

— ™22 = W2la + ®2Ц +

Ra = pt{wlu — w2a)<w^

Ra = — pt (wlu — w2u) w„a + MH.

Вычислим циркуляцию по замкнутому контуру 1—2—2'—Г,

обходя его так, чтобы область, ограниченная контуром, все время

оставалась слева.

Циркуляцию при этом будем считать положительной. Циркуляцию Г1 по контуру 1—2—2'—1' можо представить

так:

Значения циркуляции на участках контура 1—2 и 2'—Г оче­ видно равны и имеют противоположные знаки, так как на двух

одинаковых линиях тока скорости равны по величине и направ­ лению, а обходятся они в противоположных направлениях. Сле­

Из определения циркуляции по формуле (12) имеем

Воспользовавшись этим выражением для циркуляции, по­

что выражает собой условие взаимной перпендикулярности си­ лы G и скорости

является осевой силой сопротивления профиля в решетке [2]. Таким образом, на профиль в решетке, обтекаемой вязкой не­ сжимаемой жидкостью, действует циркуляционная сила G Жу­ ковского, направленная нормально к средней векторной скоро­

сти потока и осевая сила сопротивления Fa, направленная

34

Доказательство теоремы Жуковского было проведено для ре­

шетки рабочего колеса. Точно так же это можно было сделать

для решеток НА или СА. Для них мы бы получили выражения, аналогичные (18) и (19):

т. е. в конфузорной решетке подъемная сила больше силы Жу­ ковского.

Из рис. 6, б видно, что

Gca = -^уСд — Rxca ctg 8са~ •

Знак минус поставлен потому, что силы ОСА и RycA отри­ цательные (так как знак циркуляции ГСА отрицателен), а сила

Rxca — положительная.

Многие выражения, которые мы будем выводить в даль­ нейшем, приобретают более простой вид и становятся более

намического качества равны друг другу. Величина обратного

36

аэродинамического качества мала и обычно составляет для ло­

Для идеальной жидкости, без трения, подъемная сила равна силе Жуковского как для профиля в решетке, так и для изоли­ рованного профиля. В вязкой жидкости для профиля в решетке подъемная сила отличается от силы Жуковского в идеальной жидкости не только из-за появления силы сопротивле­ ния, но также из-за измене­ ния самой силы Жуковского, что объясняется изменением циркуляции Г1 за счет вяз­ кости: внешним потоком в

случае вязкой жидкости об­

ка в решетку.

Для изолированного проф [ля и в потоке вязкой жидкости

G = Ry, a Fa = 0.

Если увеличивать шаг решетки t до бесконечности, то при этом пара­ метры потока далеко перед решеткой и за ней все меньше будут разниться, а для одиночного профиля станут одинаковыми. При этом сила Жуковского

Тогда

ДЯ = Нг - Я2.

37

При шаге t -► оо можно записать:

Нг — На + df~f2, wlu =■ w2u + dw2U', Г = Го 4 йГ,

где Го — циркуляция вокруг одиночного профиля.

метром профиля хордой b и аэродинамическими параметрами потока:

Из выражения (22) следует такое выражение для циркуля­

ции:

личины коэффициента силы Жуковского Сж. Этот последний за­ висит от угла атаки и геометрических параметров решетки.

Это выражение наиболее часто применяется при расчете вен­ тиляторов.

При помощи рис. 4 из формулы (23) нетрудно получить три­ гонометрический вид уравнения связи:

38