книги из ГПНТБ / Динамика полета и конструкция крылатых летательных аппаратов

Полная энергия этой массы будет состоять из кинетической

Раздедив левую и правую части выражения (2.3) на т, получим

(2.4)

Очевидно, что для всех сечений струйки при установившемся движении идеального газа

ренциальной форме как для сжимаемой, так и несжимаемой среды.

Рассмотрим более подробно уравнение (2.5).' Каждое его сла­

ления, а U — внутренняя энергия (в механических единицах). Константа в уравнении (2.5) является полной энергией, бтнесен-

20

Если в формулу (2.9) ввести скорость звука a = Y k g R T , то

В уравнение Бернулли можно ввести и величину теплосодер­

Уравнения (2.8), (2.9), (2.10) и (2.11) представляют собой различнее формы уравнения Бернулли.

При движении газа вдоль струйки его скорости могут из­ меняться от нуля до некоторой максимальной скорости v max.

Параметры состояния в том месте, где скорость равна нулю,

называются параметрами заторможенного потока. Макси­ мальной скорости потока соответствуют нулевые значения тем­ пературы, давления и плотности.

Выразим постоянную в уравнении Бернулли через параметры заторможенного потока и максимальную скорость, обозначив

Введем понятие о критической скорости звука. Из уравнения (2.10) следует, что с увеличением скорости потока вдоль струйки скорость звука уменьшается. В некотором сечении скорость звука может быть равной скорости потока. Скорость звука и скорость потока в этом случае называются критическими. Най­ дем выражение константы в уравнении Бернулли через крити­ ческую скорость звука. При т/— а = акр уравнение (2.10) имеет

вид

а2 а2

остается постоянной по всей струйке. Вместо уравнения (2.8) из

. , Из уравнения (2.18) следует, что при увеличении скорости в струйке несжимаемой жидкости давление уменьшается, а при уменьшении — увеличивается.

QV~

Вводя скоростной напор q = —^~, уравнение (2.18) можно на­

писать так:

рЛ-q — const.

П

§ 2.3. ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ. СКОРОСТИ И ЧИСЛА М ПРИ ДОЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ ПОЛЕТА

Рассмотрим струйку, непосредственно примыкающую к обте­ каемому телу, например к крылу (фиг. 2.2). Форма струйки будет в значительной степени определяться формой тела. В по­ следующих рассуждениях вязкостью среды пренебрежем. Влия­ ние вязкости будет учтено позднее.

Далеко перед телом и далеко за телом скорость и давление

струйки далеко перед телом и в сечении, проходящем через точку А. Получим

23

Формулу (2.19) преобразуем к другому виду. Для этого раз­ ложим ее правую часть в ряд, как бином Ньютона:

Величина е, которая зависит от числа М„, называется по­ правкой на сжимаемость. Для несжимаемой среды е=0, и фор­ мула для давления в критической точке примет вид:

24

Из уравнения (2.19) можно найти

(2.27)

или

(2.28)

Как видно из формулы (2.28), для определения числа М„ не»

• . р0 — р

обходимо знать относительную разность давления -------- —. Ука»

Рво

затель числа М реагирует на изменение этой величины.

§ 2.4. ИЗМЕНЕНИЕ СКОРОСТИ В СВЯЗИ С ИЗМЕНЕНИЕМ .СЕЧЕНИ# СТРУЙКИ. КРИТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ СОСТОЯНИЯ

Чтобы получить связь между изменением скорости и изме» нением сечения струйки в случае движения сжимаемой жидкостй (газа), продифференцируем уравнение неразрывности для струй» ки (2.1). Тогда

d (рva) —О

или

vadp + podv + pvda — O.

Разделив обе части последнего уравнения на pva, получив

Имея в виду уравнение Бернулли в дифференциальной фор­

ме (2.7) и выражение для скорости звука (1.2), преобразуем — I

25

мости от изменения площади поперечного сечения струйки будет различным.

Если скорости дозвуковые, то при уменьшении площади се­ чения, т. е. при сужении струйки (da < 0), скорость будет уве­ личиваться, так как из (2.30) следует, что d u > 0 .

Таким образом, дозву­ ковой поток качественно ведет себя так же, как поток несжимаемой жидко­ сти.

В случае сверхзвуковых скоростей при уменьшении сечения скорость в струйке будет уменьшаться, так как при da < 0 величина dv < 0, а при расширении струйки— скорость в струйке увели­

чится.

При непрерывном возрастании скорости от дозвуковой до сверх­ звуковой струйка вначале должна сужаться, а затем расширяться

(фиг. 2.3).

В самом узком месте струйки скорость течения будет равна ско­ рости звука, т. е. в самом узком месте струйки скорость будет равна критической скорости звука. Все параметры в самом узком сечении струйки, которое называется критическим, именуются критическими.

Выразим критические параметры состояния через параметры заторможенного потока. В уравнениях (2.19), (2.20) и (2.21) по­

§ 2.5. ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА С УЧЕТОМ СЖИМАЕМОСТИ. ФИЗИЧЕСКАЯ СУЩНОСТЬ СКАЧКА УПЛОТНЕНИЯ

В предыдущем параграфе была рассмотрена одна ив особенно­ стей движения газа с учетом сжимаемости. Было установлено, что

0 случае дозвуковых скоростей для увеличения скорости необходимо струйку сужать, а для уменьшения скорости — расширять. Если же скорости сверхзвуковые, то для увеличения скорости струйка долж­ на расширяться, а для уменьшения — сужаться. Эту особенность,

26

которая является п е р в о й о с о б е н н о с т ь ю движения газа со сверхзвуковой скоростью, учитывали при постройке сопловых аппа­ ратов паровых турбин. Давно было замечено, что в сужающихся соплах нельзя получить скорость, большую скорости звука. Самая большая скорость, которую можно получить в таких соплах,- равна критической скорости звука, которая достигается на конце сужаю­ щегося сопла. Поэтому для получёния сверхзвуковых потоков при­ меняют сопла вначале сужающиеся, затем расширяющиеся. Такие сопла называются сверхзвуковыми соплами или соплами Лаваля.

Вторая особенность движения газа состоит в различном харак­ тере распространения малых возмущений в дозвуковом и сверхзву­ ковом потоках. Напомним, что малые возмущения распростра­ няются со скоростью звука.

'/ =о

Источник малых возмущений небольших размеров, схематизируя явление, можно считать точечным источником. Пусть он помещен в- точке О (фиг. 2.4). В однородной среде возмущение, созданное в данный момент, через одну секунду будет распределено на сфере радиуса а, через две секунды — на сфере радиуса 2а и т. д.

В случае неподвижного воздуха малые возмущения будут рав­ номерно распространяться во все стороны и с течением времени за­ полнят все пространство.

Если неподвижный источник малых возмущений находится в до­ звуковом потоке, то возмущения относительно газа будут распро­ страняться также по сферам, но центры этих сфер, как и сами сфе­ ры, будут сноситься потоком в направлении движения газа (фиг. 2.5). Через одну секунду возмущение будет распределено по сфере радиуса а, центр которой смещен на 0 0 \ = v, -через две се­ кунды— на сфере радиуса 2а, центр которой сместится на расстоя­ ние OOo= 2v, и т. д. Таким образом, возмущения распространяются во всем пространстве, но неравномерно: быстрее они распростра­ няются в направлении движения газа, медленно — в противополож­ ном направлении.

27

Наконец, рассмотрим распространение малых возмущений в сверхзвуковом потоке, где v > а (фиг. 2.6). Проследим за рас­ пространением малого возмущения из неподвижного источника, находящегося в точке О. Через одну секунду возмущения будут распределены по сферам радиуса а, центры которых будут смещены в направлении движения на ООу— v, через две — на ООг—2v и т. д.. Поскольку v^> a, то ясно, что перемещающаяся сфера все время будет касаться конуса, половина угла которого р. может быть определена из соотношения

<2 -33>

Угол а называется углом возмущения, а конус, поло­ вина угла которого равна р, —

токе распространяются только внутри конуса возмущения. '13 связи с этим все пространство можно разделить на две части: зону молча­ ния, куда не попадают возмущения, и зону действия, где сосре­ доточены возмущения.

В ы в о д в т о р о й . Малые возмущения в сверхзвуковом потоке распространяются по линиям возмущения.

Поясним.это положение. Если рассматривать источник, непре­ рывно создающий малые возмущения, то возмущения непрерывно, заполнят конус .возмущения. При этом образующие конуса будут являться местом, где возмущения будут наибольшими, так как все здесь накладывающиеся возмущения будут в одной фазе (рис. 2.7).

Особенности распространения малых возмущений в 'сверхзвуко­ вом потоке имеют большое значение для понимания характера об­ текания тел сверхзвуковым потоком.

, Заметим, что если обратить движение, т. е. рассматривать среду неподвижной, а источник возмущения движущимся с различными скоростями, то характер распространения возмущений не изменится. В этом случае при движении источника малых возмущений с дозву­ ковой скоростью возмущения от него передаются вперед, а при дви-

28

женин со 'Сверхзвуковой скоростью источник движется, «не преду­ преждая» впереди находящийся газ.

Оказанное можно иллюстрировать следующим примером. Если бы трамвай двигался со сверхзвуковой скоростью, то нельзя было бы сигнализировать о приближении трамвая при помощи звука, так как звук не может распространяться вперед при сверхзвуковой ско­ рости движения. В этом случае сигнализировать можно было бы при помощи источника света или другим каким-либо способом.

В т о р о й о с о б е н н о с т ь ю движения газа со сверхзвуковой

мущения.

вой скоростью является возможность появления в сверхзвуковом потоке скачков уплотнения.

Рассмотрим физическую сущность скачков уплотнения и причи­ ны их образования. В качестве примера разберем характер обтека­ ния внутреннего тупого угла дозвуковым и сверхзвуковым потоком газа.

В случае дозвукового обтекания внутреннего угла (фиг. 2.8) ли­ нии тока плавно искривляются,- частицы газа, двигаясь по линиям тока (траекториям), плавно перемещаются, изменяя направление

шины О, так как препятствие (сторона ОВ) посылает сигнал против потока, «заявляя», о себе, т. е. изменения давления около препят­ ствия распространяются со скоростью звука во все стороны, в том числе и против потока, деформируя траектории, приспосабливая их к обтеканию препятствия.

Если внутренний угол обтекается сверхзвуковым потоком, то пре­ пятствие (ОВ) не может послать сигнал против■потока. Поэтому поток «слепо натыкается» на препятствие. Происходит газовый удар, резкое торможение потока — это и представляет собой скачок уплот­ нения (фиг. 2.9).

29