книги из ГПНТБ / Востров М.В. Основы авиационной автоматики

2) Интегрирующее звено охвачено жесткой обратной связью (фиг. 1.17). В этом случае передаточная функция всего сое­ динения

W ( D )

T D + 1

решения. Для решения уравнения необходимо знать закон из­ менения входной величины хпх. Входные сигналы, действую­ щие на элемент или систему, могут изменяться по самым раз­ личным (в общем случае случайным) законам.

Поэтому, при изучении динамики часто используют один из следующих путей:

1) задают вероятностный закон изменения входной величины (например, корреляционную функцию или спектральную плот­ ность входного сигнала и т. д.);

2) задают ряд стандартных, типовых законов изменения входной величины.

Чаще используют второй метод исследования динамики. Входную величину при этом принято называть возмущающей функцией, а выходную величину — реакцией на возмущение. Удобство введения типовых возмущающих функций состоит прежде всего в том, что при этом открывается возможность сравнения динамических свойств различных элементов и систем, поскольку их поведение рассматривается при одинаковых усло­ виях. Изучение динамических свойств при типовых возмущениях не исключает изучения поведения системы при конкретных за­ конах изменения входной величины. В теории автоматического

30

Математически ступенчатая функция определяется следую­

Единичную функцию можно получить из непрерывной предель­ ным переходом. Пусть, например, мы имеем функцию (1.18,6)

31

Если A ~ 1, то ступенчатая функция называется единичной сту­ пенчатой функцией. Эта функция очень часто встречается в ка­

честве возмущения.

Так. для электрических цепей, усилителен такая функция означает включение постоянного напряжения в момент t --=О,

включение или выключение нагрузки, быстрое изменение пара­ метров цепи. В механических и электромеханических системах такая функция может означать мгновенное приложение посто­ янной силы или момента.

Реакция на единичную ступенчатую функцию называется переходной функцией или временной характеристикой системы или звена.

2.Импульсная функция или 2 ( 0 -функция. Второй стан

функция Дирака).

Математически 8 (Т) -функция определяется следующим об­

Физически о-функция означает импульс бесконечно большой амплитуды, бесконечно малой длительности и интенсивности, равной единице, действующий на систему в момент t — 0. Ана­

литически 8-функцию можно ввести следующим образом: рас­ смотрим функцию 8 (А а), равную производной от введенной ранее функции / [t, а) (при А — 1), т. е.

ira

8(^) = lim8(£, a).

a - 0

Введенное определение удовлетворяет соотношениям (1.55) и (1.55а). Образование МО-функции можно представить себе как предельное построение следующего вида: пусть мы имеем конечный импульс высоты /г0 и длительности At0. Будем изме­

32

нять импульс так, чтобы площадь, описываемая им, оставалась равной единице, т. е. (фиг. 1.19)

Ло Д/0 = hl Д^ = •• • = h*\tn= 1.

В пределе получаем

оо

\b { t ) d t = \ .

Вобщем случае 5 -функция может быть определена в любой момент t = соотношениями (1.55) и уравнением

4-00

— со

тересуются переходными процессами, то при воздействии гар­ монической функции нас будут интересовать установившиеся (вынужденные) процессы, т. е. способность системы воспроиз­ водить сигнал, изменяющийся с определенной скоростью (опре­ деленной частотой).

Введение в качестве типового сигнала гармонической функ­ ции приводит к понятию частотной функции или частотной характеристики системы или звена.

Частотная характеристика показывает изменение амплитуды и фазы выходного сигнала при изменении частоты входного сигнала.

4. В некоторых случаях исследования динамики систем в к честве стандартных возмущающих функций применяют линей­ ную и квадратичную функции:

хви = At и jfB. = A t2.

Эти функции представляют интерес при исследовании следя­ щих систем. Они означают движение задающего элемента с по­ стоянной скоростью или с постоянным ускорением.

§ 6. ПЕРЕХОДНЫЕ ФУНКЦИИ ИЛИ ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЗВЕНЬЕВ

Переходная функция передающей системы или звена опреде­ ляет закон изменения выходной величины при подаче на вход единичной функции.

Для линейной системы нахождение переходной функции связано с решением уравнения (1.27) при нулевых начальных условиях. Решение дифференциального уравнения системы мо­ жет вызвать чисто технические трудности, поэтому для нахож­ дения переходной функции используют в ряде случаев преобра­ зование Лапласа.

На основании определения передаточной функции мы можем получить соотношение (1.32).

Будем обозначать далее переходную функцию через Н (t) и соответственно импульсную переходную функцию через H&{t).

(Напомним, что L [§ (/)] = 1).

Таким образом, изображение переходной функции равно пе­ редаточной функции системы, умноженной на изображение единичной функции.

Следовательно, сама переходная функция равна обратному преобразованию Лапласа от указанного произведения, т. е.

(1.61)

Нахождение Н (t) здесь сводится к отысканию оригинала выра­

жения, стоящего в квадратных скобках.

34

Если выражение W {р) — простое, то его оригинал находится

непосредственно по таблицам изображений. Если же это выра­ жение сложное, то его необходимо предварительно представить в виде суммы элементарных передаточных функций. Известно,

Мы видим, что выходная величина И(I) устанавливается не

мгновенно. Во время переходного процесса имеет место так на­ зываемая динамическая ошибка

в = Яу - Я .

При t -* оо, очевидно, £->-0. Переходный процесс практиче­

ски считается закончившимся, когда выходная величина до­ стигает значения 0,95 Яу и далее остается в пределах 0,95 Я у < < Я ( 0 < 1,05 Яу .

Время называется временем установления или временем регулирования.

Процесс достигает своего установившегося значения тем бы­ стрее, чем меньше постоянная времени (фиг. 1.21). При Т = 0,

очевидно, выходная величина устанавливается скачком, т. е. инерционное звено вырождается в усилительное.

Как указывалось ранее, переходную функцию можно опре­ делить, используя соотношения (1.59) и (1.61). Действительно,

связь между импульсной переходной функцией и обычной пере­ ходной функцией:

Н ь{ р ) = р Н ( р ) .

Следовательно,

36

Импульсные переходные функции инерционного звена для раз­ личных Т представлены на фиг. 1.22.

2. П е р е х о д н ы е ф ун к ци и и н т е гр и р у ю щ ег о зв ен а

Уравнение интегрирующего звена

•^ВЫХ= .

Интегрируя это уравнение при xBX= 1(^), получим переходную функцию интегрирующего звена

Импульсная переходная функция

( 1.6 8 )

37

Переходные функции интегрирующего звена представлены на фиг. 1.23. Те же результаты получаются и на основе ис­ пользования преобразования Лапласа

3. П е р е х о д н ы е ф ун к ци и к о л е б а т е л ь н о го зв ен а

Переходная функция колебательного звена получается ре­ шением уравнения

••'•ВЫХ“Ь ^HQo-^-BUX + ^О^^вых ^^0^ "^ВХ

при хвх = Л( П и нулевых начальных условиях.

Pi = Ра = ~ йо•

Таким образом, переходные функции колебательного звена будут:

38

б ) д л я I < 1

e-eso'

Мы видим, что при £ 1 переходный процесс — колеба­ тельный, затухающий, а при £ > 1 — апериодический. На фиг. 1.24 представлены переходные функции колебательного

звена (по оси абсцисс отложено безразмерное время т = 2 0^). Импульсные переходные функции Н ь {t) легко определяются по

соотношению (1.65).

ный входной сигнал (фиг. 1.25). Импульсная переходная функ­ ция усилительного звена

39