книги из ГПНТБ / Востров М.В. Основы авиационной автоматики
.pdfПереходная функция характеризуется следующими основ ными параметрами (фиг. 3.28):
1)временем регулирования tp;
2)величиной перерегулирования АЯтах >'
3)характером протекания.
Вр е м я р е г у л и р о в а н и я — это время, в течение кото рого | H(t) — HyCT(t) 1 становится и остается меньше некоторой
заданной величины X. |
|
|
|
Обычно X = 5 |
Ю°/0 Hy„{t). |
|
|
П е р е р е г у л и р о в а н и е м |
называется максимальное зна |
||
чение ДЯшах. |
протекания переходной |
функции различают |
|
По характеру |
|||
(фиг. 3.29): |
|
|
(перерегулированиями) |
а) переходные функции с выбросами |
|||
ЛЯтах, Л Я ,, • • • |
и т. д.; |
выбросов; |
|
б) переходные функции без |
|||
в) монотонные переходные функции. |
|
||
Фиг. 3.29
Переходные функции САР определяются обычно следующи ми способами.
1.Решением дифференциальных уравнений системы (клас сическим методом или методом преобразования Лапласа).
2.Моделированием системы.
3.Приближенным методом, основанным на связи временных
ичастотных характеристик.
Первому способу было уделено достаточно внимания при изучении элементов.
Моделирование системы есть ничто иное, как решение диф ференциальных уравнений системы на счетно-решающих ма шинах.
Остановимся подробнее на приближенном способе отыска ния H(t).
Из приближенных методов часто применяется метод трапё-
цеидальных характеристик.
Представим частотную характеристику замкнутой |
системы |
в алгебраической форме |
|
Ф (Уо>) = Р (ш) + J Q (<о). |
(3.75) |
Используя связь временных и частотных характеристик че рез интеграл Фурье, можно получить следующие выражения для переходной функции системы:
H(t) |
= |
v | |
sin wt dia' |
(3,76) |
|
или |
|
о |
|
|
|
|
|
2 _ Г 0 Н |
|
|
|
H(t) = |
P( 0) -f |
cos ёш. |
|
||
|
|
|
7Г | О) |
|
|
|
|
|
о |
|
|
Мы видим, что для вычисления Н (t) необходимо знать ли |
|||||
бо вещественную Р (со), |
либо мнимую |
Q (со) часть АФХ |
замкну |
||
той системы [1]. |
|
можно на основании АФ'Х разомк |
|||
Определить Р ( с о ) и Q (со) |
|||||
нутой системы W (/со) — и (ш) |
-f- J V (ш ); |
||||
ф ( > ) _ |
|
|
_ |
и(ш )+уК(а>)____ |
|
1 +А И (>) |
|
1 |
+ U (со) 4 - JV (со) |
||
и( 1 + и) + |
V2 |
J |
1/(1 + и) ~ u V _ |
||
( H - w ) 2 + |
V 2 |
( l + w)2 + l / 2 |
|||
' ' |
|||||
p ( a ) _ » ( l + » ) + V.
( 1 + « ) 2 + И2
(3.77)
V ( 1 + ц) — uV
Q H =
(1 + м ) 2+ V 2
По соотношениям (3.77) построены 'номограммы, что облегча ет задачу определения [1], [3]. Можно также построить номо граммы для определения Р(<о) или Q(co), используя логариф
мические характеристики разомкнутой системы [1]., На фиг. 3.30 представлен примерный вид таких номограмм.
9* |
131 |
При известных а(/, Lt , ср/ определяются по номограмме значения Р (ш;). Процесс построения Р(<о) осуществляется еле'
дующим образом. Для данного значения <»,• по ЛАХ разомк нутой системы (фиг. 3.30,а) определяются Lt и ссг. Далее по номограммам фиг. 3.30,6 отыскивается значение Р (ш,-): Типич ный вид Р ( со) приведен на фиг. 3.31.
Непосредственное вычисление интегралов (3.76) является очень трудной задачей. Для облегчения вычисления этого ин теграла действительная часть Р (<*>) аппроксимируется элемен
тарными трапециями (I, II, III).
Значение интеграла для каждой элементарной трапеции дается в таблицах.
Пусть мы имеем Р(ш) в |
виде элементарной |
(стандартной) |
|
трапеции (фиг. 3.32). |
|
|
|
<ad |
— называется полосой равномерного пропускания; |
||
(о0 — полная полоса пропускания; |
|
||
= х — коэффициент наклона, причем 0 < х < 1 . |
|||
®о |
|
значения переходных |
функций для |
В таблицах приводятся |
|||
0 < х < |
1, Р(0) = 1, о>0= 1 и для безразмерного времени %—w0t. |
||
Назовем |
эти значения переходной функцией h(-с). |
|
|
132
|
Таким обраозм, для каждого значения е |
(т. |
е. |
для |
каждой |
||||||
трапеции) по таблице 1, определяется Л(т). |
|
|
|
|
|||||||
|
Для получения переходной функции для нестандартной тра |
||||||||||
пеции (Р (0) Ф 1 |
и (о0 ф 1) |
необходимо Л(т) |
умножить на Р (0) |
||||||||
и |
значения т |
разделить |
на |
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 1 |
||
ю0 |
для |
перехода к реально |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
му времени: |
|
|
|
% |
0 |
|
0,1 |
0,2 |
0 ,3 -•• |
||
|
|
|
|
|
Т |
N . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= |
(3.78) |
0 |
|
0 |
|
0 |
о - .- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Мы аппроксимировали |
кри |
0,5 |
|
0,138 |
0,165 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
вую Р (ш) тремя трапециями: I, |
1 |
|
0,310 |
0,326 |
|
||||||
'II, |
III. |
После |
построения |
пе |
|
|
|
|
|
|
|
реходных функций для каждой трапеции определяют суммарный переходный процесс путем суммирования составляющих переходных функций (фиг .3.33)
Действительно, |
|
|
Р П |
= |
Pi (“>) + Рп Н + ^1ц (ш); |
Н (0 |
= |
Р» (0) Л, + Р и (0) А„ + Р ш (0) Аш; |
О качестве переходного процесса можно ориентировочно судить по виду характеристики Р(<п) (фиг. 3.34). Пусть мы имеем две
системы с характеристиками РДш) |
и Р 2 |
(«*>)• |
|
Доказано, что: |
|
|
|
1. |
Если полоса пропускания о>02 |
> и>01, |
то |
2. |
Если Р И > 0 и монотонно убывает, то Д //шах не превы |
||
шает |
18%. |
|
|
133
3. Если Р(<») имеет максимум, то переходный процесс име ет колебательный характер и тем более колебательный, чем больше максимум Р («>).
§ 5. СИНТЕЗ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ПО ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ
Задача синтеза (создания) САР состоит в выборе структур ной схемы и определении параметров системы, обеспечивающих требуемое качество регулирования. Решение задачи синтеза в такой общей постановке является чрезвычайно сложным и неоднозначным. По этой причине задачи синтеза систем, как правило, ограничиваются более узким кругом требований. Обычный путь синтеза, принятый в настоящее время, состоит
вследующем:
1.Выбирают структурную схему основной части системы, исходя из заданной точности в установившемся режиме (стати ческая или астатическая система).
2.Исходя из условий заданной точности, определяется ве личина общего коэффициента усиления К.
3.Для обеспечения требуемых параметров качества (^р, Д //тах) выбирают окончательную структуру и вычисляют параметры корректирующих устройств.
Наиболее развиты в настоящее время частотные методы син теза САР и в особенности метод синтеза по логарифмическим амплитудным характеристикам разомкнутой системы.
Рассмотрим логарифмическую амплитудно-частотную харак
теристику |
L (<в) |
разомкнутой системы и установим связь неко |
торых ее |
характерных величин с параметрами качества этой |
|
системы в замкнутом ее состоянии. |
||
Обычно па логарифмической характеристике выделяется три |
||
области частот |
(см. фиг. 3.34). |
|
134
1. Область низких частот I, где ш<^<ос. Эта область в ос новном определяет поведение системы в установившихся ре жимах.
2.Область средних частот II (« = шс). Эта область, точнее поведение L{u>) в этой области, имеет определяющее значение
для переходных режимов системы.
3.Область высоких частот III (ш^><йс). Эта область не яв ляется существенной при определении параметров качества процессов регулирования системы при регулярных воздейст виях. Она определяет поведение системы при высокочастотных случайных воздействиях (шумах).
Установлено, что для получения хорошего качества процес сов регулирования в системе, логарифмическая амплитудно-ча стотная характеристика в области частоты среза «зс должна удовлетворять следующим требованиям:
1. |
Наклон L (ш ) на |
частоте из = шс |
должен быть равен |
—20 дб/дек. |
|
—20 дб/дек в области |
|
2. |
Длина участка L (®) с наклоном |
||
частоты среза должна быть не менее 1 дек. |
|||
3. |
Отношение из8/®с |
должно удовлетворять условию |
|
2 < ®3/шс < 4 .
Условия 2 и 3 определяют длину среднего участка с накло ном —20 дб/дек и положение частоты среза на этом участке.
При выполнении этих условий перерегулирование в системе
Л //шах составляет не более 20—30%. |
Время регулирования оп- |
|
, |
3 -г 5 |
, |
ределяется соотношением rD= |
-------. |
|
р0)с
Проиллюстрируем вышесказанное |
на примере нескольких |
||
элементарных систем. |
|
|
|
1. |
Пусть мы имеем простейшую систему (фиг. 3.35,а). Для |
||
нее: |
|
|
|
|
W(P) = у ' , |
|
|
|
Ф (Р) = |
k |
|
|
+ k |
Тр + 1 |
|
|
Р |
||
L (ш) «= 20 lg k — 20 Ig <в.
Ha фиг. 3.35,6 представлена эта характеристика. Из этого простейшего примера видно, что пересечение оси абсцисс харак теристикой L( из) с наклоном —20 дб/дек и продолжение этого
наклона в область низких и высоких частот (область I и III) обеспечивает экспоненциальный характер переходного процесса
135
* |
|
|
(фиг. 3.35,в). Мы видим, |
что чем 1пире участок |
с наклоном |
в ■—20 дб/дек в области |
частоты среза, тем ближе |
переходный |
процесс к экспоненте. |
|
|
Это положение более очевидно в следующем примере. 2. Пусть мы имеем систему
|
щ Ру- |
k |
|
|
Тогда |
(Тр + 1 )Р |
|
||
|
|
V |
||
Ф (Р) |
Тр- + р + к |
|
||
р2 + 2 |
$Й0р + £У |
|||
|
||||
|
к |
2 V кТ |
~Т |
|
Построим логарифмическую амплитудно-частотную характери-
СТНКУ' |
1(ш) = 20lgA —2 0 I g / Г2ш2-|- 1 |
— 2 0 lg «о. |
|
Рассмотрим |
три случая: |
|
|
а) |
пусть |
a>j = —г <ос, тогда coj < |
wc < к (фиг. 3.36,а). |
Так как к > u)j — , то kT^> 1,следовательно, этот случай со
ответствует £ 0,5. Процесс будет колебательный с большим перерегулированием;
136
б) |
u)j = (oc = k = |
Отсюда kT — 1. |
Следовательно, |
этот |
|||
случай |
соответствует |
декременту затухания S = 0,5. |
|
|
|||
Процесс также колебательный и с довольно большим пере |
|||||||
регулированием. |
|
|
|
|
|
|
|
в) |
Ш1 = — |
> <«<: = к. |
|
|
|
|
|
Тогда |
|
— > k |
k T < \ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Этот случай |
|
Т |
S > 0 ,5 , т. |
е. процесс |
становится |
||
соответствует |
|||||||
менее |
колебательным |
и все более (при |
увеличении |
ш,) |
при |
||
ближается к экспоненте. |
|
|
|
|
|||
Вывод . При синтезе системы необходимо для получения удовлетворительного качества процессов регулирования обеспе чить наклон Z.(w) в области частоты среза, равной —20 дб/дек.
В большинстве случаев это требование можно удовлетворить только включением в систему специальных дополнительных звеньев так называемых корректирующих устройств и, сле довательно, изменением структурной схемы системы.
Действительно, основные звенья системы — измерительные устройства, усилители, исполнительные устройства (сервопри воды), объект регулирования — обладают, как правило, толь ко запаздыванием и не имеют в своем составе дифференцирую щих и форсирующих звеньев.
Характер протекания L (ш) для статической и астатической
(имеющей в своем составе интегрирующее звено) некорректированных систем представлен на фиг. 3.37,а,б.
Казалось, бы, можно добиться прохождения L (ш) в области шс с наклоном —20 дб/дек путем уменьшения коэффициента усиления, т. е. сдвигом /.(“) вниз. Однако уменьшение К ведет
137
к уменьшению шс, к увеличению времени регулирования и к воз растанию ошибок в установившемся режиме. Действительно,
для астатической системы Sn= |
0, |
К |
и х0--------хВ1, т. е. |
0 |
1 |
К |
|
ошибка по скорости обратно |
пропорциональна коэффициенту |
||
усиления разомкнутой системы.
Для выбора корректирующего устройства и получения типо вого течения логарифмической характеристики (т. е. для удов летворения перечисленным выше требованиям к L (ш) поступают следующим образом:
1. Вычерчивают L (<о) разомкнутой системы без корректи рующих устройств с заданным К (из соображений точности
вустановившемся режиме).
2.На том же графике наносится типовая логарифмическая характеристика, удовлетворяющая всем поставленным ранее требованиям.
3.Разность ординат такой характеристики и характеристи ки системы представляет собой логарифмическую характеристи ку необходимого корректирующего устройства.
Действительно, в этом случае
А )М -+ АЛ®) = А(®)>
где Z.0(u>)— ЛАХ системы; LT(ш) — типовая ЛАХ;
/,к(ш) — ЛАХ корректирующего устройства.
4.По специальному каталогу корректирующих устройств на ходят схему, ЛАХ которой соответствует искомой ЛАХ.
5.По номограммам определяют основные характеристики переходных процессов скорректированной системы.
Рассмотрим два примера выбора корректирующих устройств, иллюстрирующих изложенную выше методику.
1)Передаточная функция нескорректированной системы
W0(/>)= |
* |
■- (фиг. 3.38) |
Т ='0,2 сек. |
|
|
( Т р + \ ) р |
|
||
Выбрать корректирующее устройство, |
обеспечивающее при |
|||
замыкании системы время регулирования |
£р г^0,1 сек., перере |
|||
гулирование |
А/Ушах < |
30°/0- |
|
|
Из соображений получения малой скоростной ошибки в уста |
||||
новившемся |
режиме |
выберем коэффициент усиления k >100. |
||
а) Определим частоту среза типовой |
ЛАХ из соотношения |
|||
tp ~ (3 -н 5) |
tv = |
0,1 |
сек. |
|
В нашем случае
шс = 5 — = 50 1 /сек.
t tp
138
б) |
Строим типовую |
ЛАХ с |
(»с = |
50 1 /сек |
и |
наклоном |
||
20 дб/дек в области <ос , |
при этом будем |
стараться |
удовлетво |
|||||
рить условиям |
хорошего |
качества |
процесса, т. |
е. |
принимаем |
|||
соэ = |
2<ос = 100 |
l/сек |
и |
продолжаем |
участок |
с |
наклоном |
|
—20 дб/дек от |
ш3 = 100 l/сек до и>2 = |
10 Мсек — на одну декаду. |
||||||
в) |
Строим |
ЛАХ |
корректирующего устройства |
как /,к(<о) = |
|||
= LT(<o) — L0(to). |
По L к (u>) определяем |
передаточную |
функцию |
||||
корректирующего устройства. |
|
|
|
|
|||
В нашем случае это форсирующее звено с |
|
|
|||||
|
|
w a p ) |
ТгР + 1 |
|
|
||
|
|
Л2А + |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
где 7^ = 0,1 сек. и 7^ = |
0,01 сек. |
|
(это можно найти |
||||
г) |
Подобной передаточной функцией |
||||||
специальных таблицах) |
обладает звено со схемой, представлен |
||||||
ной также на фиг. 3.38. |
Так как коэффициент усиления пассив |
||||||
ных корректирующих устройств всегда |
меньше 1, к нему необ |
||||||
ходим усилитель, чтобы скомпенсировать ослабление |
сигнала |
||||||
в цепях RC. |
|
|
|
< |
|
|
|
‘В нашем случае возьмем |
|
|
|
|
|||
|
С = 1 р ./Г, |
тогда |
/?, = — |
= Ю0Ш. |
|
||
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
T2 = kT; |
Л = -? 1 |
= 0,1; |
/?2~ Ю Й . |
|
||
|
|
|
Т1 |
|
|
|
|
Выбранную цепочку RC нужно дополнить усилителем с коэф |
|||||||
фициентом усиления kK= 10. |
|
|
|
|
|||
д) |
По номограммам определяем tp = 0,05 |
сек., 4 //шах =20% . |
|||||
139