книги из ГПНТБ / Востров М.В. Основы авиационной автоматики

Переходная функция Зве­ на с постоянным запаздыва­ нием получается непосред­ ственно из уравнения (1.25)

или (1.26)

Графически данная функ­ ция представлена на фиг. 1.7.

§7. РЕАКЦИЯ СИСТЕМЫ НА ЗАДАННУЮ ФУНКЦИЮ ВРЕМЕНИ

Вряде случаев приходится встречаться с задачей отыскания реакции системы или звена на заданную функцию времени.

Пусть дгвх = F(t) (фиг. 1.26,«) и импульсная переходная функ­ ция Hb[t) известны.

де достаточно большого числа импульсов, каждый из которых имеет ширину М и амплитуду F(i^t).

Интенсивность (площадь) каждого из таких импульсов рав­ на F{UU)bt.

40

Для линейной передающей системы колебания выходной вели­ чины xBUX(t) будут вынужденными колебаниями той же ча­

стоты, что и частота входного сигнала. Поэтому частное реше­ ние уравнения (1.27) будем искать в форме

-^■вых = У^-^вих ! -^вих= (УШ)2 -^ВЫХ И Т. Д .

Подставляя значения хвх, хвх, • • •, л'вых, хВЬ1Х и т. д. в уравнение

(1.27), получим

коэффициентом усиления или комплексным коэффициентом пе­ редачи. Амплитудно-фазовая характеристика является функцией

мнимого числа у’о> и, как видно, формально может быть полу­ чена из передаточной функции заменой параметра р на мни­

42

вектора W (у'ш)) называется фазо-частотной характеристикой

(ФЧХ) системы или звена.

Алгебраическое представление W (уш) дает еще две ча­

стотных характеристики:

и(<о) — действительная частотная характеристика; V (ш) — мнимая частотная характеристика.

Из (1.82) следует

При изменении частоты ш от 0 до со изменяются и модуль, и аргумент вектора W(jm). В результате конец вектора W (у’ш)

опишет в комплексной плоскости некоторую кривую или го­ дограф.

Для построения годографа АФХ достаточно знать одну пару характеристик: W (ш) и <р(ш) или и(ш) и V («).

1. Ч аст отн ы е ха р а к т ер и ст и к и и н ер ц и он н ого зв е н а

Для определения частотных характеристик инерционного звена воспользуемся общим методом, изложенным выше.

Передаточная функция инерционного звена

k

W(p) =

На фиг. 1.27 приведены амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики инерционного звена при различных значениях постоянной времени Т. Из приведенных графиков видно, что

с увеличением частоты входного сигнала усилительные свойст­ ва инерционного звена падают и тем больше, чем больше по­ стоянная времени Т.

43

Наличие запаздывания Т приводит к отставанию выходного

сигнала по сравнению с входным. Можно заметить, что в неко­ тором диапазоне частот » = 0 до ш= (ор амплитудные и фазовые искажения небольшие.

Эта область частот называется полосой пропускания звена.

Чем меньше постоянная времени Т, тем больше полоса про­

пускания и меньше время регулирования. Можно сказать, что полоса пропускания характеризует быстродействие звена. При Т — 0 .инерционное звено вырождается в усилительное. Для

усилительного звена

Усилительное звено имеет, таким образом, бесконечную полосу пропускания. Легко показать, что для инерционного звена ве­ щественная частотная характеристика

44

По соотношениям (1.86) и (1.87) или по параметрическим уравнениям (1.89) и (1.90) можно построить годограф амплитуд­ но-фазовой характеристики инерционного звена. Можно найти в явной форме уравнение годо­ графа.

Исключая из (1.89) и (1.90)

параметр ш, получим

чениям аргумента и верхняя полуокружность — отрицательным значениям аргумента (до от 0 до — оо).

Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики интег­ рирующего звена представлены на фиг. 1.29.

Интегрирующее звено дает постоянный сдвиг по фазе между

выходным и входным сигналами, равный <р= -----— (знак «—»

указывает на то, что выходной сигнал отстает по фазе). АФХ представляет собой отрицательную мнимую полуось (фиг. 1.30).

45

j V

I>

►

a) =0

Фиг. 1.30

3. Ч аст отн ы е х а р ак т ер и ст и к и к о л е б а т е л ь н о го зв е н а

46

Ход амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик (фиг. 1.31) существенно зависит от коэффициента затухания 5. При малых значениях % и частотах возмущающего сигнала

<33zzil0 или — ~ 1 наступает явление резонанса и амплитуда вы-

ходного сигнала при этом будет больше амплитуды входного сигнала.

При S = 0,75 явление резонанса уже не наблюдается.

51о

Фиг. 1.31

Заметим, что простейший резонансный контур, применяемый в радиотехнике, является также колебательным звеном со сла­ бым затуханием. Рабочая частота контура (частота приложен­

ш< й0. После резонансной частоты фаза выходной величины из­ меняется скачком на 180°.

По W (ч>) и ср(и>) мы можем построить АФХ колебательного

звена.

На фиг. 1.32 приведены АФХ колебательного звена для раз­ личных значений коэффициента затухания Е,

47

4. Ч а ст о т н ы е х а р а к т ер и ст и к и зв е н а

с п о ст о я н н ы м з а п а з д ы в а н и е м

Передаточная функция звена с постоянным запаздыванием, как известно, имеет вид

Частотные характеристики звена с постоянным запаздыва­ нием показаны на фиг. 1.33,а, б,о.

W(iii)

н

а)

§ 9. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Построение амплитудно-фазовых характеристик систем, со­ стоящих из большого числа звеньев, требует значительной за­ траты времени. Исследование вопросов устойчивости, выбора параметров системы значительно упрощается, если ввести по­ нятие логарифмических частотных характеристик.

Логарифмические частотные характеристики определяются следующим образом.

Запишем АФХ разомкнутой системы или звена в следующем виде:

w ( » -

Прологарифмировав это выражение, получим

48

Ординаты логарифмический, амплитудной характеристики (ЛАХ) можно выражать в неперах (1 непер -— In е).

Однако на практике более удобной оказалась другая едини­ ца измерения числа, принятая в теории связи и называемая де­ цибелом. Если А есть значение некоторого числа В, выражен­

ное в децибелах, то

А = 2 0 1 g 5 .

Кривая L ((в) = 20 lg W («>), построенная в логарифмическом мас­ штабе частот, называется логарифмической амплитудно-частот­ ной характеристикой (ЛАХ) звена или системы.

Кривая <f(u>), построенная в логарифмическом масштабе ча­ стот, называется логарифмической фазо-частотной характери­ стикой. Можно показать, что L(a>) отличается от In W (ш) толь­

ко постоянным множителем 201ge. Для построения ЛАХ и оцен­ ки их наклона по оси ординат применяется децибел, по оси аб­

Введем понятие асимптотических ЛАХ, т. е. определим поведе­

Уравнения (1.104) и (1.105) определяют асимптотические ЛАХ.