книги из ГПНТБ / Востров М.В. Основы авиационной автоматики

Выбрать корректирующее устройство, при котором будет обес­ печено

tp < 0,03 сек., ДЯтах < 30°/о>

коэффициент усиления разомкнутой системы k > 1000. Выбор

корректирующего устройства ведем в прежней последователь­ ности:

пТ2— Г, 0,33 - 0,033 •

140

вами в зависимости от требований, предъявляемых к системе, можно скорректировать разными корректирующими устройст­ вами в зависимости от требований, предъявляемых к системе.

§ 6. РЕАКЦИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ НА СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ

Впредыдущем изложении теории автоматического регули­ рования все сигналы, воздействующие на систему, предполага­ лись известными, регулярными.

Вдействительности же, как правило, характеристики сигна­ лов не могут быть в каждый момент времени точно предсказа­ ны, являются случайными. В качестве примеров можно приве­ сти радиолокационную станцию углового сопровождения, в ко­ торой основным источником шумов является радиолокационный

координатор, или полет самолета в турбулентной атмосфере; в- этом случае на самолет действуют случайные возмущающие силы и моменты, обусловленные изменениями местных углов атаки крыла, оперения, корпуса и т. д.

Данный параграф посвящен изложению основ статистиче­ ской динамики систем регулирования применительно к линей­ ным системам с постоянными параметрами при стационарных случайных возмущающих воздействиях.

Прежде чем переходить к рассмотрению прохождения сигна­ лов со случайными характеристиками через системы автомати­ ческого регулирования, напомним кратко основные характери­ стики случайных сигналов, предполагая знание элементов тео­ рии вероятностей.

Случайным называется процесс, описываемый случайными функциями.

Случайной функцией некоторой независимой переменной t называется такая функция x(t), значение которой при любом заданном t является случайной величиной. Если статистические характеристики процессов не меняются во времени, то такие процессы и соответствующие им случайные функции называют­ ся стационарными.

Помимо свойства инвариантности статистических характе­ ристик по отношению к сдвигу во времени для стационарных случайных процессов, важное значение имеет другое свойство— свойство эквивалентности среднего по времени среднему по множеству. Это свойство носит название эргодичности. В этом случае для определения характеристик стационарной эргодической функции можно ограничиться одним опытом, осущест­ вляемым в течение достаточно большого интервала времени, вместо множества опытов, необходимых для определения харак­ теристик неэргодического процесса.

Среднее значение (математическое ожидание), средний квадрат и корреляционная функция для стационарной эргоди-

141

ч е с к о й ф у н к ц и и x ( t ) в ы р а ж а ю т с я с л е д у ю щ и м и ф о р м у л а м и :

Корреляционная функция является достаточной характери­

стикой для цели решения задачи прохождения случайной функ­ ции через линейную систему. Однако для стационарных эргодических случайных функций во многих случаях более удобно применять другую характеристику — спектральную плотность,

выражение для которой имеет следующий вид:

г. е. спектральной плотностью стационарной случайной функ­ ции x(t) называется преобразование Фурье корреляционной функции Rxx{*). Следовательно, обратное преобразование

Фурье выражает корреляционную функцию через спектральную плотность °° '

Основной задачей анализа динамики системы, находящейся под воздействием случайных возмущений, является определение статистических характеристик реакции системы на эти возму­ щения.

Для линейных систем с постоянными параметрами эта зада­ ча может быть решена как путем использования корреляцион­ ных функций, так и путем рассмотрения спектральных плот­ ностей.

1. П р ео б р а зо в а н и е к ор р ел яц и он н ы х ф ун к ци й в л и н ей н ы х ста ц и о н а р н ы х си с т е м а х

Рассмотрим первоначально преобразование корреляционных функций при воздействии на стационарную систему (систему с постоянными параметрами) одной случайной стационарной эргодической функции.

142

Динамические свойства линейной стационарной системы ха­

получаем

ООсо

Если представить данное интегральное соотношение в виде

143

то становится ясным, что преобразование (3.83) корреляционной функции в линейной системе эквивалентно двойной операции свертывания, причем весовой функцией в обеих этих операциях

Это соответствует как бы изменению направления течения вре­ мени или изменению знака у оператора дифференцирования в соответствующей передаточной функции.

Таким образом, если интегральные соотношения заменить передаточными функциями, то корреляционная функция-выход­ ной величины определяется уравнением

Dx — дисперсия x(t).

Математические ожидания входной и выходной величин свя ­ заны соотношением

ту = Ф (D) тх,

т. е. математические ожидания при прохождении случайных функций через линейные системы преобразуются как неслучай­ ные функции.

2. П р ео б р а зо в а н и е сп ек тр ал ьн ы х п л отн остей

при п р о х о ж д ен и и ст а ц и о н а р н о г о сл у ч а й н о го си гн а л а ч ер ез л и н ей н ую ста ц и о н а р н у ю си ст ем у

Если система имеет только одну случайную входную вели­ чину, то согласно (3.85) корреляционная функция выходной ве­ личины определяется выражением

/?у(т) = Ф(Я)Ф ( ~ D ) R x (x).

144

Средний квадрат выходной величины определяется по обычной

формуле

ОС

146

3. Расчет систем на минимум среднеквадратичной ошибки при действии стационарных случайных сигналов и помех

Рассогласование е (фиг. 3.40), равное разности заданного значения входной величины и ее фактического выходного значе­ ния, характеризует точность работы системы регулирования.

Если на систему действуют также другие возмущающие си­ лы — помехи, отличные по своим характеристикам от управ­ ляющего воздействия, то в большинстве случаев существуют та­ кая определенная структура и значение параметров линейной системы, при которых имеют место наилучшие статистиче­ ские показатели точности регу­ лирования.

Система с указанной струк­ турой и параметрами назы­ вается оптимальной. Необхо­ димо отметить, что в зависи­ мости от ограничений, накла­

дываемых на структуру и параметры синтезируемой системы, а также в зависимости от критерия точности и требований к еди­ ничному переходному процессу, возможны самые различные решения задачи определения оптимальной системы. Ввиду мно­ гообразия постановки задачи оптимальной фильтрации и много­

вует большое число работ, посвященных указанной проблеме. Необходимо однако констатировать, что большая часть пред­ ложенных решений и методов еще не достигла уровня, доста­ точного для эффективного, практического использования. Поэто­

Белый шум является центрированной случайной функцией, поэтому выходная функция системы также центрирована, и

средний квадрат у2 совпадает с дисперсией Dy.

Учитывая основное свойство 3-функции

— 00

можно правую часть уравнения для у2 записать в форме

есть не что иное, как интегральная квадратичная оценка для стационарной линейной системы с сосредоточенными парамет­ рами. Для стационарных систем I выражается через парамет­ ры системы.

Если передаточная функция системы равна:

148

М * *=<б,1,... ti— 1) — определитель, йолучающийся из А За­ меной v -|- 1 столбца столбцом а^оОО...,

Bi = V ;

=^j2 — 2Ьйb2,

в большинстве встречающихся на практике случаев отличны от белого шума, они приближенно могут быть представлены в ви­ де белого шума, прошедшего через некоторые линейные фильтры.

Задача ставится так. Зная реальную корреляционную функ­ цию случайного процесса /?р (х), подобрать передаточную функ­

Rp(z) = S0Ws(D) W ^ - D ) b ( z ) .

Определение искомой передаточной функции фильтра в виде дробно-рациональной функции возможно различными методами. Часто для этой цели используются спектральные плотности.

149