книги из ГПНТБ / Востров М.В. Основы авиационной автоматики

Являясь суммой экспонент, переходная составляющая будет затухать тогда и только тогда, когда каждая из порциальных экспонент будет затухать.

Для того чтобы х^ых (t) -»■ 0, необходимо и достаточно, что- t —У оо

бы все вещественные корни и действительные части комплекс­ ных корней были отрицательны.

Законы изменения одной порциальной экспоненты переход­ ного процесса для различного характера корней приведены на фиг. 3.13. Условие устойчивости системы можно сформулировать иначе, учитывая, что каждому

корню /,/ = az-fy'pi соответствует точка накомплексной плоскости

(фиг. 3.14).

Для устойчивости системы не­ обходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения были расположены слева от мнимой оси комплекс­ ной плоскости корней.

Если хотя бы один корень р ^

окажется справа от мнимой оси (>V >0), то система будет не­ устойчива.

111

Расположению корней на мнимой оси соответствует критиче­ ский случай. Практически считается, что при таком расположе­ нии корней система неустойчива.

Таким образом, вопрос об устойчивости САР решается па ос-, новё анализа расположения корней характеристического урав­ нения в комплексной плоскости. Корни характеристического уравнения однозначно определяются коэффициентами уравне­ ния, а следовательно, параметрами системы. Одна и та же си­ стема может быть устойчивой или неустойчивой в зависимости от того, насколько удачно выбраны ее параметры. Исследова­ ние устойчивости САР, имеющих уравнение высокого порядка, методом анализа корней характеристического уравнения прак­ тически затруднительно.

Для того чтобы при исследовании устойчивости систем обой­ ти операцию определения корней характеристического уравне­ ния, были разработаны и предложены так называемые критерии устойчивости. Критерии устойчивости — это правила, согласно

которым можно судить об устойчивости, минуя операцию опре­ деления корней. Использование критериев устойчивости дает возможность также относительно просто' установить причину не­ устойчивости системы. Используются три критерия устой­ чивости:

1)критерий Рауса—Гурвица;

2)критерий А. В. Михайлова;

3)частотный (или амплитудно-фазовый) критерий Найк­

виста.

Все названные критерии с математической точки зрения рав­ ноценны.

1. К р и тери й Р а у с а — Г ур виц а

Данный критерий дает те условия, при которых характери­ стический многочлен любой степени не содержит корней с по­ ложительной вещественной частью.

Мы здесь не будем приводить доказательство критерия Ра­ уса—Гурвица, а лишь изложим его существо и особенности при­ менения. Критерий Рауса—Гурвица дается в виде неравенств, причем последние записываются в виде определителей. •

Пусть мы имеем характеристическое уравнение

а„Рп + an-iP n~lJr ‘ - ‘+ a 1p\i- а0 = 0.

Приведем это уравнение к виду, при котором а0> 0 , и составим определитель Гурвица из коэффициентов характеристического уравнения по следующему правилу: по главной оси выписываем коэффициенты, начиная с а1 до ап, справа от главной оси по

срокам выписываем коэффиценты по убывающим индексам, сле­ ва по возрастающим. Оставшиеся места заполняются нулями.

112

Итак, определитель Гурвица:

Ч -г

4

Раус и Гурвиц показали, что система устойчива, т. е. исследуе­ мый характеристический многочлен не имеет корней в правой полуплоскости и на мнимой оси, если при а0^> 0 все п опреде­ лителей отличны от нуля и положительны, т. е.

* i> 0 ; Д2> 0 ; Л3> 0 .-- Д „ > 0 ;

Сформулированное условие устойчивости является необходимым и достаточным.

Легко показать, что для систем первого и второго порядка условие устойчивости по Гурвицу можно сформулировать так:

Системы 1 и 2-го порядка устойчивы, если все коэффициенты в их характеристических уравнениях положительны.

Рассмотрим теперь системы с характеристическим уравне­ нием 3-го порядка

4 Р Ъ+ а2р 2+ а1р + я0 = 0;

Определитель Гурвица в данном случае

4 я0 О

Дз — а3

О 0 а,

Для того чтобы система была устойчивой, должны удовлетво­ ряться неравенства

а1а2> а 0а3.

При увеличении порядка уравнения условия устойчивости ус­ ложняются, т. е., помимо обеспечения необходимого условия устойчивости (а0^>0, a i> 0 ,... , о „ > 0 ), требуется выполнить

ряд дополнительных неравенств. Рассмотрим пример исследо­ вания устойчивости с применением критерия Гурвица. Иссле­ дуем устойчивость системы стабилизации крена ракеты, соглас­ но структурной схеме фиг. 3.4.

Характеристическое уравнение системы

Т т Т , р > + ( Т т + Т ^ р 2 + /? + & = 0.

Здесь

а, -= Тт7\; а2 = Тт + 7\; a, = 1; а0= к.

Так как Т т 0, Гт > 0 и &Д>|0, то необходимые условия ус­ тойчивости выполняются. Для устойчивости системы третьего порядка должно удовлетворяться также условие

^1 ^2 ^ <*0

T m + T 1 > T m T 1 k.

Из последнего неравенства следует, что для того чтобы иссле­ дуемая система была устойчива, должно быть

Значение коэффициента усиления, при котором система теряет устойчивость, называется критическим.

В нашем примере критический коэффициент усиления

большим. Однако это не всегда возможно сделать, так как по­ лучить малые значения Г7 и Т т трудно. Рассмотрим теперь устойчивость той же системы при наличии дополнительного сиг­

114

Для обеспечения устойчивости теперь необходимо выполнить неравенство

(7’т + 7\) (1 -f- kT) > kTm Tv

После преобразования имеем

Мы видим, что здесь &кр существенно зависит от постоянной времени Т форсирующей цепи. Изменяя Т при заданных Тт и

Гт, мы можем обеспечить устойчивость и, как увидим далее, соответствующее качество стабилизации.

2. К ри тери й А . В . М и хай л ов а

В основу критерия Михайлова положен известный в теории функций комплексного переменного принцип аргумента.

Рассмотрим характеристический полином n-го порядка

N { р ) ~ Р п + ап-хРп~ Ч ---------h ахр + а0.

Не нарушая общности доказательства, можно положить а„ = Д Пусть корни характеристического уравнения будут ри р2,..., рп

Тогда

Каждый из элементарных сомножителей изображается на комп­

цательным. Тогда при изменении и>от 0 до -j- со любой из векто­

При движении в комплексной плоскости конец вектора N(ju>)

вычерчивает кривую, называемую годографом Михайлова или

Сформулируем теперь критерий Михайлова. Система' авто­ матического регулирования будет устойчива, если при измене­ нии (о от 0 до оо полное приращение arg N (/’«>) будет рав-

7С

но п — .

2

Иными словами, система будет устойчивой, если при измене­ нии (вот 0 до оо годограф Михайлова, начиная с положитель­ ной вещественной оси, обходит последовательно столько квад­ рантов, каков порядок уравнения.

порядка показаны на фиг. 3.16,а. Примеры годографов неустой­ чивых систем приведены на фиг. 3.16,б,в.

Объем вычислительных работ при использовании критерия Михайлова для уравнений высоких порядков меньше, чем при использовании критерия Гурвица. Однако как тот, так и другой критерий требуют знания характеристического уравнения си­ стемы.

Часто характеристическое уравнение системы неизвестно, а известны лишь частотные характеристики разомкнутой систе-

116

мы или ее элементов. Возникла необходимость разработки ча­ стотного критерия устойчивости, когда об устойчивости систе­ мы можно было бы судить по ее частотным характеристикам.

устой ч и в ости Н ай к в и ста — М и хай л ов а

Частотный критерий устойчивости, разработанный в 1932 г. Найквистом для исследования усилителей с отрицательной об­ ратной связью, был обобщен и применен в теории автоматиче­ ского регулирования в 1938 г. А. В. Михайловым. Этот крите­ рий отличается от приведенных ранее тем, что он позволяет су­ дить об устойчивости замкнутой системы по АФХ разомкнутой системы, которая может быть получена и экспериментальным

путем. Пусть мы имеем систему, состоящую только из устойчи­ вых звеньев. Это означает, что разомкнутая система устойчива,

т. е. характеристическое уравнение не содержит нулевых и по­ ложительных корней. Пусть передаточная функция разомкнутой системы

KQ(p)

W(P) =

Р{Р)

и передаточная функция замкнутой системы

Ф(р) = KQ(P)

P( P) +KQ (р)

Характеристическое уравнение замкнутой системы

\ W (р) = 0 или Р{р) + KQ(p) = 0 .

117

п — . Поскольку разомкнутая система устойчива по условию, то

2 я

результирующий поворот Р (у'ш) будет п — . Результирующий

Таким образом, для устойчивости замкнутой системы годограф

Можно показать, что, если разомкнутая система неустойчи­

118

вается против часовой стрелки на угол 2т— (где т — число

полюсов W(p), лежащих в правой полуплоскости). Большое

значение для практики имеет случай, когда разомкнутая систе­ ма содержит интегрирующие звенья.

В этом случае передаточная функция разомкнутой системы может быть записана в таком виде

радиуса, соединяющей конец годографа с действительной по­

Фиг. 3.19

Системы, содержащие два и больше интегрирующих звень­ ев, являются структурно неустойчивыми. Это означает, что ни­

каким изменением параметров обеспечить устойчивость в си­ стеме нельзя. Устойчивость обеспечивается здесь введением форсирующих звеньев (фиг. 3.19,о) или путем охвата одного или нескольких звеньев обратной связью (в частном случае — жесткой).

119