книги из ГПНТБ / Востров М.В. Основы авиационной автоматики

Аналогично можно определить и разность порядка г:

Т

Е ( - 1)*С*ж„+,_*. (3.111) fe-0

Коэффициенты С* являются биномиальными коэффи­ циентами.

х(Ьтл)

Конечные разности являются до некоторой степени аналога­ ми дифференциалов или производных у непрерывных функций.

Аналогами интегралов непрерывных функций являются сум­ мы дискретных функций:

я—1

(3.112)

<=о

При исследовании импульсных систем приходится иметь де­ ло с уравнениями, связывающими дискретную функцию и ее разности. Такого рода уравнения называются уравнениями в конечных разностях или просто разностными уравнениями.

160

Существуют две формы записи разностных уравнений:

Первая форма:

a r А'г х п + a 'r _ i Д'’-1 х п + ' ' ' + a i ’ ^ х п + а о х п —

= Ьп' Д-Л+ Ь-т_хд»-'Л + ••.■+Ь{ Д/„ + V/» • (3.114)

Если к уравнению (3.114) применить соотношение (3.111), то .мы получили вторую форму разностного уравнения

Хи+г “Ь CLr —1 xn-f-r—i -i------ V a-о Хп ~ b mfn+m ~Ь ‘ ’ ‘ ^0 f п‘ (3.115)

Классический метод решения разностных уравнений во мно­ гом аналогичен классическому методу решения дифференциаль­ ных уравнений. 1

Если разностное уравнение — линейное, с постоянными коэф­ фициентами, то составляется характеристическое уравнение од­ нородного разностного уравнения, отыскиваются его корни и формируется решение. Далее отыскивается решение неоднород­ ного уравнения. Для определения неизвестных .коэффициентов учитываются начальные условия.

2, Д и ск р ет н о е п р е о б р а зо в а н и е Л а п л а с а (^ -п р е о б р а зо в а н и е )

Перейдем теперь к изложению сущности дискретного пре­ образования Лапласа, которое, с одной стороны, позволяет от­ носительно просто получить решение разностных уравнений, а с другой — является основным математическим аппаратом тео­ рии импульсных систем.

Дискретное преобразование Лапласа является функциональ­ ным. преобразованием и определяется соотношением:

о©

Данное соотношение отличается от известного выражения для непрерывного преобразования Лапласа тем, что непрерыв­ ное время t заменено дискретным временем пТп и интеграл —

суммой.

Дискретное преобразование обычно применяется .в форме, предложенной профессором Ципкиным Я. 3.:

СО

преобразования) и в форме так называемого г-преобразования, широко используемого в иностранной литературе:

где 2 = ерГп; ДДг) называют при этом 2 -преобразованием дис­ кретной функции х(п).

Дискретное преобразование обозначают иногда и так:

и—О

Приведенные зависимости дают связь между дискретной функцией и изображением и потому называются прямым дис­ кретным преобразованием Лапласа.

Обратное преобразование представляется в таком виде

2*У

Здесь с — произвольный замкнутый контур, внутри которо­

го лежат все полюса функции X(z).

В качестве примера определим 2 -преобразования некоторых

простейших функций:

1) пусть Х(п) — 1 (п):

* (* ) = E z-" = (l + 2 - 1 + 2 - 2 + ..•)

л=0

2)пусть х(пТп) = пТп

оо

X ( z ) = Тв V nz~n= Тп [ z ~ l + 2z~2-f - - - ) = = 7*п

л - 0

Таблицы 2 -преобразований наиболее часто встречающихся

функций обычно приводятся в литературе.

В данном пособии таблицы преобразований даны в прило­ жении 2.

162

Для дискретного преобразования Лапласа имеют место ана­ логичные основные правила и теоремы, что и для непрерывно­

Зная основные теоремы дискретного преобразования Лапла­ са, мы можем разностные уравнения записать в форме г-пре- образования.

Применяя соотношение (3.126) к уравнению (3.114), получим первую форму разностного уравнения в 2-преобразованиях:

изучение поведения непрерывной части под воздействием посту­ пающих на ее вход импульсов.

Введем ряд определений и понятий, облегчающих исследова­ ние динамики как разомкнутых, так и замкнутых систем.

Hb(p )~ W { p ) .

Фиг. 3.56

Последовательность дискретных значений весовой функции Hb{t) в моменты времени пТп называется дискретной пере­ ходной функцией, или дискретной весовой функцией системы.

Дискретная весовая функция записывается так:

Числа последовательности w0, wь..., «^называются коэффи­ циентами веса или весовыми коэффициентами (фиг. 3.56).

164

По аналогии с непрерывными системами

со

z-преобразование дискретной весовой функции называется дис­

165

О (г)

Дискретная передаточная функция разомкнутой системы равна отношению z-преобразований выходной и входной ве­ личин.

Дискретная передаточная функция существенно зависит не только от структуры непрерывной части, но и от типа импульс­ ного элемента, точнее от фор­ мы импульса, формируемого

Для примера определим W (г) интегрирующего и интерцион-

ного звеньев для случая, когда ИЭ формирует прямоугольные импульсы.

166

Последнее равенство удовлетворяется только в том случае, если звенья разделены импульсными элементами, работающими синхронно (фиг. 3.58).

Фиг. 3.58

Если непрерывная часть импульсной системы не является элементарным звеном, а описывается передаточной функцией вида

167

то для нахождения дискретной передаточной функции необходи­ мо W (р) представить в виде суммы элементарных дробей

П

комплексных отдельные звенья будут колебательными. Дискрет­ ная передаточная функция каждого элементарного звена мо­ жет быть взята из таблицы (приложение 3).

Дискретная передаточная функция параллельного соедине­ ния звеньев определяется как сумма дискретных передаточных функций звеньев.

Ч а с т о т н ы е х а р а к т е р и с т и к и р а з о м к н у т ы х и м п у л ь е н ы х с и с т е м

Так же как для непрерывных систем, частотные характери­ стики импульсных систем характеризуют установившуюся реак­ цию на гармонический входной сигнал.

Гармонический входной сигнал будем далее брать в комп­ лексной форме

Тогда на основании (3.135) изображение вынужденной со­ ставляющей выходной величины

где W — W (г) \z—txы — дискретная амплитудно-фазовая характеристика звена или системы.

Далее АФХ дискретной разомкнутой системы будем обозна­ чать просто W (уу).

168

АФХ мы можем представить в показательной и алгебраичеекой формах

(3.145)

W (yv) = и (v) + j V (v).

В отличие от непрерывных систем, дискретная АФХ является

периодической функцией частоты v. Период v= 2^^==

\ тп

Вследствие симметрии годографа относительно вещественной оси, его вычеркивают для частот v от 0 до тг.

Рассмотрим частотные характеристики простейших звеньев: а) Интегрирующее звено с 8 -импульсным элементом:

б) Интегрирующее звено с ИЭ, формирующим прямоуголь­ ные импульсы:

W ( n = * - j -

169