книги из ГПНТБ / Постнов Ю.И. Линейное программирование в сельском хозяйстве

0,01хі + 0,05х2 + х 3

= 1 0 0 0

0 ,2 х!Ч-0 , 1х2

+ х4

+ Х5

= 8 0 0 0

0,02 ІХ] -)- 0,03x2

=

900

П р и м е н е н и е р а с с м о тр ен н о го

си м п лек сн ого проц есса к р е ­

ш ен ию этой з а д а ч и

о к а з а л о с ь в о зм о ж н ы м

не потому, что

н ек о то р ы е н еи звестн ы е

входили

в ф у н к ц и ю цели с к о э ф ­

ф и ц и ен там и , р а в н ы м и

нулю ,

а потом у что

огран и ч ен и я

о б л а д а л и у к а з а н н ы м вы ш е свойством .

С н еб ольш и м и

и зм ен ен и ям и

с и м п л е к с н ы й

процесс м о ж ет

б ы ть при м ен ен

к р еш ен и ю

б олее ш и р о к о го к р у га

м а т е м а ­

тических з а д а ч .

И м е ю т с я

в

виду з а д а ч и

с о гр а н и ч е н и я ­

ми, в ы р а ж е н н ы м и

р а в е н с т в а м и ,

к а ж д о е

из

которы х со ­

д е р ж и т н ек оторую

неи звестную

вел и ч и н у

с к о э ф ф и ц и е н ­

том , р ав н ы м

1,

и

не

в х о д ящ у ю

во

все

о с т ал ь н ы е

р а в е н с т в а ,

причем

эти

неи звестны е в

ф у н кц и ю

цели м о ­

гут вход ить

с л ю б ы м и

ко эф ф и ц и ен там и . М ето д

реш ен и я

т а к и х з а д а ч р а с с м о тр и м на п р и м ер ах .

Пример 1.

П р е д п о л о ж и м ,

что н е к о т о р а я

к о н к р е т н а я з а ­

д а ч а п р и в ела

к сл ед у ю щ ей

чисто м а т е м а т и ч е ск о й з а д а ­

че: найти н а и б о л ь ш е е зн ач ен и е ф ун кц и и

С —XI “Ь 2хг + 4х 3+ Зх 4

при след у ю щ и х о гр ан и ч ен и я х

2хі + х 2+ х 3

= 6

М - х 2

.+ *4 = 7.

В с ам о й вер х н ей

стр о ке в с т о л б ц а х

неи звестн ы х з а п и с а ­

ны

цены с п р о т и в о п о л о ж н ы м и

зн а к а м и : — 1, —2, —4,

— 3.

В

первой и в торой с т р о к а х

эти х столб ц ов

з а п и с ан ы ,

к а к

обы чно , к о э ф ф и ц и е н т ы

при

неи звестн ы х в

огр ан и ч ен и ях .

В п л ан з а п и с ы в а е м

*з=6; *4= 7,

а в с т о л б е ц

« Ц е н ы с

м и н у со м » — со о тв етств у ю щ и е

им

к о э ф ф и ц и е н т ы ф ункц ии цели

с п р о т и в о п о л о ж н ы м и

з н а ­

кам и .

В ы я с н и м ,

к а к

п о л у ч а ю т с я

эл ем ен ты

п ослед ней

строки

т а б л и ц ы .

В с то лб ц е

« П л а н »

стоит в

послед ней

строке

число

(— 45). Д л я того , чтобы

получить

его,

над о

ч и сла

с т о л б ц а « Ц ен ы

с м и н усом »

у м н о ж и т ь на с о о т в е т ­

ст в у ю щ и е ч и сла

с то лб ц а « П л а н » и

р е зу л ь т а т ы

с л о ж и т ь :

6 -36

81

Э то

число д а е т зн ач ен и е ф ункц ии цели с о б р атн ы м

з н а ­

ком ,

и поэтом у за п и с ы в а е м так :

—С = —45.

В последней

строке с то лб ц а

хі стоит

число

( — 10),

к о т о ­

рое

получ ается след ую щ и м

о б р аз о м :

эл ем ен ты

с то лб ц а

« Ц ен ы » у м н о ж а ю т с я

на

со о тветствую щ и е

эл ем ен ты

с т о л б ц а хй получ ен н ы е

числа с к л а д ы в а ю т с я и из

р е з у л ь ­

т а т а

вы ч и тается число,

с то ящ ее в т а б л и ц е

н ад

Х\.

В се это м о ж н о з а п и с а т ь

так:

+

( - 4 ) - 2 =

—8

( - 3 ) - 1 =

- 3 _________________

— 11 — ( — 1) = — 10.

А н ал о ги ч н о

в ы ч и с л яю тс я и

все о с т ал ь н ы е

числа

п о с л е д ­

ней строки . Д л я с т о л б ц а х2 наход им :

+

( _ 4 ) . 1 ------4

( — 3) • (

1) = 3 _______________

- 1- ( - 2) = + 1.

Н а этом

р а б о т а с первой

си м плек сной та б л и ц е й з а к а н ч и ­

вается .

В есь

д ал ь н е й ш и й

процесс,

св я за н н ы й с

у л у ч ш е ­

нием п л а н а ,

про во д и тся соверш ен н о т а к

ж е , к а к

и ранее.

В т о р а я с и м п л е к с н а я

т а б л и ц а с л е д у ю щ а я

(таб л .

27):

Таблица 27

Ц е н ы с

П л а н

*1

Х 3

х3

*4 ,

( - )

- 2

*2 =

6

2

1

1

0

—С == — 51 — 1 2

0

- 1

0

Т а к

к а к

в последней

с т р о к е

в с т о л б ц а х

неи звестн ы х

не и м еется

п о л о ж и т е л ь н ы х

элем ен то в ,

то п лан ,

с о ­

д е р ж а щ и й с я

в этой

т а б л и ц е ,

я в л я е т с я

о п т и м а л ь н ы м .

П о

этом у плану :

*2 = 6; *з = 0;

лг4= 13.

*і = 0;

Н а и б о л ь ш е е

зн а ч е н и е ф ункц ии

р а в н о

51.

Т а к и м

о б р а з о м , вся

р а зн и ц а

«нового »

и

« с тар о го » п р о ­

цессов

з а к л ю ч а е т с я

в с о с тав л ен и и

первой

с и м п л ек сн о й

таб л и ц ы .

Пример 2. Н а й т и н а и б о л ь ш е е

зн ач ен и е ф ункц ии

С = Х 1+ 2*2 + *3 + 3*5

при усл о ви ях :

* 1+ 3 * 2 — * 3

+ 2 * 5

= 7

— 2*2+ 4 * з +*4

=12

6*

83

В д ан н о м

с л у ч а е в

о гр ан и ч ен и я х

и м ею тся неи звестны е

х и х4, Хе,

о б л а д а ю щ и е

н у ж н ы м и

н ам

свойствам и : н е и з ­

в е с тн а я

Х\ с о д е р ж и т с я

в первом р а в е н с т в е

с к о э ф ф и ц и е н ­

том , р ав н ы м 1,

и не

входит

в

о ст ал ь н ы е р ав ен ств а ; н е и з ­

ве с тн а я

х4 с о д е р ж и т с я

во

втором р ав е н с т в е

с к о э ф ф и ­

циентом

1, но

не

вх о д и т

в о с т ал ь н ы е

р ав ен ств а ;

и,

н ак онец , н е и зв е с т н а я

Хе

вх о д и т

в т р е ть е

р авен ство

с

к о эф ф и ц и ен то м

1 и

не

входит

в о с т ал ь н ы е

р авенства .

С л е д о в а т е л ь н о ,

к

р еш ен и ю

д ан н о й

з а д а ч и

прим еним

си м п лек сн ы й метод . Ч то б ы не д о п у сти ть

ош ибок, ф у н к ­

цию цели за п и ш е м п од робн о так :

Хі = 7; х4—12; х6= 10

П р о и зв е д е м

р еш ен и е з а д а ч и (таб л . 28).

И з т а б л и ц ы

28 видно , что н а и б о л ь ш е е зн ач ен и е ф ункц ии

р ав н о

С = 14Ѵхо

и ф ун кц и и п р и н и м а е т его при

*і = 0;

х2 = 78І25; хз = ПІІ25', *4 = 0; x 5= n /io; *6 = 0.

§ 8

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА МИНИМУМ

СИМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ

Д о сих пор

п р и в о д и ли сь

р е ш е н и я

з а д а ч , в

кото р ы х н а д о

б ы л о н ай ти

н а и б о л ь ш е е

зн а ч е н и е

ф у н к ц и и

цели

при в ы ­

полнении н ек оторы х огранич ений ,

в ы р а ж е н н ы х

р а в е н с т ­

вам и , о б л а д а ю щ и м и

известн ы м и

нам

свойствам и .

О к а ­

зы в а е тс я , р а зо б р а н н ы й

си м п лек сн ы й

процесс м о ж е т

б ы ть

при м ен ен

к р еш ен и ю

з а д а ч ,

в

к о то р ы х тр е б у е т с я н ай ти

н аи м е н ь ш е е зн а ч е н и е

ф ун кц и и

цели

при

вы полнен ии н е ­

к о то р ы х огранич ений ,

о б л а д а ю щ и х

тем и

ж е

свой ствам и .

Д л я

р еш ен и я

этих

з а д а ч

н а д о

внести

то л ь к о

н еб о л ьш о е

и зм ен ен и е

в со ставл ен и е

первой

сим плексной т а б л и ц ы .

О н о

з а к л ю ч а е т с я

в том , что в

с т о л б е ц

« Ц е н ы » чи

в

в е р х ­

ню ю

с т р о к у

в

с т о л б ц а х неи звестн ы х

к о эф ф и ц и ен ты

ф ун кц и и цели

н а д о

з а п и с а т ь

с

их

з н а к а м и ,

а

не

с п р о т и ­

в о п о л о ж н ы м и ,

к а к

это б ы ло

при

реш ении

з а д а ч

на

м а к ­

симум .

Все

вы чи слен и я

п р о и зв о д я т с я

точно т а к

ж е ,

к а к

и

р а н ь ­

ше. Р а с с м о т р и м

н еск ольк о п ри м еров .

Пример 1. Н а й т и

н а и м е н ь ш е е

зн а ч е н и е

ф ункц ии

С =

Х ] + Х 2 +

Х3

п р и у с л о в и я х

Х\

— х 4

— 2 х 6

= 5

Х2

+ 2 х 4

— З х 5

+ Х б

= 3

Х з

+ 2 х 4

— 5 х 5

+ 6 х 6

= 5 .

В д а н н о м

с л у ч а е

о гр а н и ч е н и я

о б л а д а ю т

с в о й ствам и , не ­

о б х о д и м ы м и д л я

п р и м ен ен и я

с и м п л ек сн о го м ето д а .

Ч то б ы не

д о п у сти ть

о ш и б ок ,

в к л ю ч а е м

в ф у н к ц и ю

цели

н е д о с та ю щ и е

н еи звестн ы е с

к о эф ф и ц и е н т а м и ,

р а в н ы м и

нулю :

С = Х1 + Х2 + Хз+ 0 х 4 + О Х 5 + О Х б .

В к а ч е с тв е исходного п л а н а

берем

Xj= 5 j Х2 — 3 ;

Хз— 5 , ^'4:=0,

Х5= 0,

Xg= 0

и со с та в л я е м

первую

сим плексную

т а б л и ц у ,

помня, что

ко эф ф и ц и ен ты

ф ункц ии цели

теп ерь

б ер у тся

с их

з н а к а ­

ми (табл .

29).

Таблица 29

1

1

1

0

0

0

Ц е н ы

П л а н

Х й

■*»

•V*

-ѵ5

1

Ху —5

1

0

0

- 1

0

- 2

1

ха = 3

0

1

0

2

- 3

1

1

х3 = 5

0

0

1

2

—5

6

С = 1 3

0

0

0

3

- 8

5

В последней

стр о ке

стоят

ч исла,

к о т о р ы е п олучаю тся

т а к

ж е,

к а к и при реш ении з а д а ч на

м ак си м у м .

Д л я

сто лб ц а « П л а н »

имеем :

1 - 5

= 5

+ 1 - 3 = 3

1 - 5

= 5

С =

13.

Т еп ерь

число,

с т о я щ е е в

п о след н ей

к л е т к е

сто лб ц а

« П л ан » ,

в ы р а ж а е т истинное

зн а ч е н и е

ф ун кц и и

цели.

1-1 =

1

+ 1 -0= 0

1- 0 =

0

1 -0 = 0

1-0= 0

+

1- 1=1

+ 1-0= 0

1-0= 0

1-1 =

1

1- 1= 0.

Д л я с то лб ц о в неи звестны х х4, х5,

х 6 а н ал о ги ч н о получим :

1 . ( - 1) ------1

+ 1-2

=2

1-2

= 2

3 - 0 = 3

1 -0 =

0

1 - ( - 2) ------2

+ 1 .( — 3) = —3

+ 1-1 =1

1 ‘( —5) = —5

1-6

=6

— 8 — 0 = —8

С о с т а ви в первую си м п л ек сн у ю

т а б л и ц у ,

п ереход и м к