книги из ГПНТБ / Постнов Ю.И. Линейное программирование в сельском хозяйстве

этом у

все д а л ь н е й ш и е

вы чи слен и я

ид ут в

обы чном

п о ­

рядке.

В

зак л ю ч ен и е

за м е ти м , что до

сих пор

ни од н а

из

п р ак ти ч еск и х з а д а ч не

п р и в е л а

к за ц и к л и в а н и ю . Но,

н е ­

см о тр я

на это,

в о зм о ж н о с ть за ц и к л и в а н и я не исклю чен а ,

к а к

об

этом говорит р ассм о тр ен н ы й

при м ер .

П о э т о м у

на

§ 16

ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ

РЕСУРСОВ

з а д а ч а : о р г а н и зо в а т ь

в х о зя й ств е п р о и зв о д ств о

к а р т о ­

ф е л я и я ч м ен я т а к и м

о б р азо м , чтоб ы получить м а к с и м у м

в аловой п род укц ии в р уб лях . П о у сл о в и ю з а д а ч и

на цели

чел .-дн .— 8000, т р а к т о р о -с м е н — 900.

С и м п л е к с н а я т а б л и ц а ,

с о д е р ж а щ а я о п т и м а л ь н ы й

п лан ,

и м ел а сл ед у ю щ и й в и д

(таб л .

52).

П о этом у

п л а н у полностью

и с п о л ь зу ю т с я п а ш н я и

т р а к -

торо -см ены . О с т а ю т с я н е д о и с п о л ь зо в а н н ы м и

2400 чел.-дн.

М о ж е т п о к а з а т ь с я с т р ан н ы м ,

что

н а и лу ч ш и й п л а н

в к л ю ­

ч ает 2400

н е и сп о л ь зо в а н н ы х

ч еловек о -дней . Р а з в е н е л ь зя

увелич ить

в а л о в у ю продукц ию ,

и с п о л ь з у я

в к ак о й -то

степени эти св о б о д н ы е

ч еловек о -дни ? О т в е т

м о ж е т

б ы ть

то ль к о о т р и ц а т е л ь н ы й :

при

и м ею щ и х ся

прочих

р е с у р с а х

у вел и ч и ть в а л о в у ю п род укц и ю

н ельзя .

В о з м о ж н а

д р у г а я п о с та н о в к а

в оп роса :

и д я

на

с н и ж ен и е

Ц ен ы

П лан

Ж,

*2

Хз

х і

*5

с

)

- 5

* 2 = 1 6 0 0 0

0

1

2 8

0

- 1 3 , 4

0

лг4= 2 4 0 0

0

0

5 , 2

1

— 1 2

- 3

х , = 2 0 0 0 0

1

0

— 4 0

0

6 7

- 1 4 0 0 0 0

0

0

- 2 0

0

- 1 3 4

Р а с с м о т р и м н еск ольк о

в о зм о ж н ы х

в а р и а н т о в

за д а ч и .

В а р и а н т

1. С о с т а в и ть

план полного

и с п о л ь зо в ан и я

ч е л о ­

веко -дней . З а д а ч а з а к л ю ч а е т с я

в том ,

чтобы

н ай ти т а к о й

п л а н

п р о и зв о д с т в а , при

котором

велич ина

х4 (н е д о и с ­

п о л ь зо в а н н ы е

человеко -дни )

и м е л а

н а и м е н ь ш е е

з н а ­

чение.

Д л я

р е ш е н и я

этой з а д а ч и

в кач естве

ф ункц ии

ц ел и

в о з ь ­

мем

ф у н к ц и ю

С = *4

и н а й д е м

н а и м е н ь ш е е

зн ач ен и е этой

ф ункц ии

при

в ы ­

полнении

и звестн ы х н а м о гран и ч ен и й

(см. § 4 ).

0,01*1+ 0,05*2 + *3

=1000

0,2*і + 0 ,1 *2

+ *4

= 8 0 0 0

0,021 * , + 0,03*2

+ * 5 = 900.

Р е ш ен

и е з а д а ч и прои зводи м си м п лек сн ы м м етодом

(таб л .

53).

Таблица 53

0

0

0

0

— 1

0

П л а н п ослед ней си м п лек сн ой

т а б л и ц ы я в л я е т с я

о п т и ­

м а л ь н ы м . В п о сл ед н ей

строке

с т о л б ц а

« П л а н »

стоит

ч и с ­

л о 0. С л е д о в а т е л ь н о ,

*4 =

0, т.

е.

все

ч еловек о -дн и

п о л ­

ностью

и сп о ль зу ю тся .

П о

это м у

п л а н у с л ед у ет

п р о и зв о ­

д и т ь

40 000

ц

к а р т о ф е л я ,

что

с о с та в и т

3

- 4 0

000 =

= 120 000 руб.

П р и этом

н е и сп о л ь зо в а н н ы м и

о стаю т ся

600 га

п а ш н и

и

60 т р а к то р о -см ен .

В этом

в а р и а н т е з а д а ч и

в о зм о ж е н и

второй

п лан ,

при

ко то р о м и с п о л ь зу ю т с я

полностью

ч еловек о -дн и . Д л я

п о ­

лучен ия

его

д о статочн о ввести

в п л ан

неи звестную х2 на

место неи звестной

(табл .

54).

Таблица 54

0

хз =

461,535

.

'

0

X! =

38

461,5

—

0

х2 = 3

077

0

0

0

0

-1

0

П о э т о м у

п л а н у

над о

производить:

к а р т о ф е л я —

38 461,5 ц,

яч м ен я — 3077 ц.

В а л о в а я

п род укц ия

в р у б л я х составит:

3

• 38 461,5 + 5 • 3 0 7 7 = 130 760

руб.

П о л н о стью

и сп ользую тся ч еловек о -дни

и т р а к т о р о -с м е -

ны, а н ед о и с п о л ь зо в а н н ы м и

о стаю тся

461,535

га

паш ни .

Т аки м о б р аз о м ,

ни

один из

полученны х

п л а н о в

не

д а е т

полного

и с п о ль зо в ан и я

всех

и м ею щ и х ся

ресурсов.

В а р и а н т

2.

С о стави ть

п л а н

полного

и с п о л ь з о в а н и я

всех

п р о и зв о д ств ен н ы х ресурсов

при услови и

у в ел и ч ен и я

к о ­

л и ч еств а

т р а к то р о -см ен . П р е д п о л о ж и м , что на

ц ел и

п р о ­

и зв о д ств а

в х о зя й с т в е

м о ж н о

в ы д ел и ть

д о п о л н и т е л ь н о

нек оторое

коли чество

т р а к то р о -см ен .

В о зн и к а е т

вопрос:

с к о л ьк о т р а к т о р о -с м е н

н а д о

им еть, чтобы , и с п о л ь з у я

п о л ­

ностью все п р о и зв о д ств ен н ы е

ресурсы ,

п олуч и ть

м а к с и ­

мум в а л о в о й

п род укц ии в р у б л я х ?

ч ерез А. Ч и с л о А

К олич ество

т р а к т о р о -с м е н

о б о зн ач и м

будем сч и та т ь

пока

н ео п р ед ел ен н о

б о ль ш и м

д л я

того,

чтобы

основны е

н еи звестны е

Х\ и х2

не

могли войти

в

п л ан на м есто неизвестной

х3,

а м огли

войти л и ш ь в п л ан

н а м еста неи звестн ы х х3 и х 4. Д р у г и м и

с л о в ам и ,

вы ясним ,

с к о л ьк о

к а р т о ф е л я и

яч м ен я

ц е л е с о о б р а зн о

п рои зводи ть

з а

счет

полного

и с п о л ь зо в ан и я

паш н и

и человеко -дней .

П р о и зв е д е м

н еоб ходи м ы е вы чи слен ия

(таб л .

55).

П л а н

последней

си м плек сной

т а б л и ц ы

я в л я е т с я

о п т и ­

м ал ь н ы м . П о это м у п л ан у

сл е д у е т

прои зводи ть :

к а р т о ­

ф еля — 33 333 ц, я ч м ен я — 13 333,4 ц.

П о л н о сть ю

и с п о л ь ­

зу ю тся п а ш н я и человеко -дни .

А

т а к

к а к мы ж е л а е м , чтобы

по л н о стью

и сп о ль зо в ал и сь

и

т р а к то р о -см ен ы , то

над о

п о л о ж и т ь

х5= А —600 —5 0 0 = А - 1100 = 0.

О тсю д а н аход и м , что А = 1100.

Т а к и м

о б р а з о м ,

д л я

целей

п р о и зв о д с т в а

ж е л а т е л ь н о

им еть

1100 тр ак т о р о -с м е н ,

что

на

200

тр а к т о р о -с м е н

б о ль ш е

того

к о л и ч еств а , кото р о е

и м ел о сь

в исходном в а ­

р и ан те

з а д а ч и .

П р и новом

о п т и м а л ь н о м

п л ан е в а л о в а я

п р о д у к ц и я с о с т а в л я е т

166 666 руб.

ВТОРАЯ ЗАДАЧА

О с т а н о в и м с я

ещ е на

одной

б о л е е

с л о ж н о й

з а д а ч е

и ис ­

следуем

ее п од робн о .

В §

6 б ы л а

р а с с м о т р е н а

з а д а ч а

1

об о п т и м а л ь н о м

сочетани и

ч еты р ех к у л ь т у р

в зе м л е д е л и и

х о зя й с т в а . П р и

реш ен ии ее у ч и т ы в а л и с ь

то л ь к о

о г р а н и ­

чения

по п р о и зв о д ств ен н ы м

ф а к т о р а м и

не

в в о д и л и сь

н и к а к и е д о п о л н и т е л ь н ы е о гр а н и ч е н и я ,

п р и б л и ж а ю щ и е

з а д а ч у

к д ей ств и тел ьн о сти ,

т.

е. р а с с м а т р и в а л с я

с в о б о д ­

ный в а р и а н т

з а д а ч и .

В р е з у л ь т а т е

р е ш е н и я

получен бы л

о п т и м а л ь н ы й

п л ан , по к о т о р о м у

с л е д о в а л о

прои зводи ть :

к у к у р у зы на

си л о с — 655 738

ц, о д н о л е тн и х

т р а в

н а се ­

но — 94 262 ц.

Э тот о б ъ е м п р о и зв о д с т в а с о с т а в л я л 938 524

руб.

13-36

193

Н а п рои звод ство полностью и сп о льзо в ал и сь :

3000 чел.-дн.

весной,

6000

га

паш ни .

О с т а л и с ь

полностью

н е и сп о л ь зо ­

ван н ы м и и м ев ш и еся

450

ко м б а й н о -с м е н

и н ед о и сп о л ь ­

зо ван н ы м и :

3000 чел.-дн. осенью из

6000, 150

т р ак то р о -

см ен весной

из

600, 450 т р а к т о р о -с м е н осенью

из

1200.

О чевидно ,

что т а к о й

план

н е л ь зя сч и тать

при год н ы м

д л я

хозяй ства .

Р а с с м о т р и м

н еск о льк о

д р у ги х в о зм о ж н ы х

в а р и а н т о в этой

за д а ч и .

В а р и а н т

1.

С о с т а в и ть

о п т и м а л ь н ы й

план , п р е д у с м а т р и ­

ваю щ и й

п р о и зво д ство зер н а .

П о

у сл о в и ю

з а д а ч и

к о м б а й ­

ны

н а х о д я т

себе при м ен ение

т о л ь к о

при

у б о р к е

зе р н о ­

вых. В о зн и к а е т

вопрос:

н е л ь зя

ли

их полностью

и с п о л ь ­

зовать , если п р о и зво д и ть зерно ?

ц

Т а к

к а к

на

п рои звод ство

1

з е р н а

з а т р а ч и в а е т с я

0,008 ком б ай н о -см ен ы ,

то

з а

счет

и с п о л ь зо в ан и я

всех

450

к о м б ай н о -см ен зе р н а

м о ж н о

произвести :

450 : 0,008 = 56 250

ц.

Н а

о сновани и д а н н ы х об

и м е ю щ и х ся

р е с у р с а х

и т е х н о л о ­

гических

к о э ф ф и ц и е н т о в

по

зе р н у

у с т а н а в л и в а е м ,

что

м о ж н о п р о и зв ести зерна :

3 0 0 0 :0 ,0 0 8 = 375 000

ц — за счет и с п о л ь зо в ан и я

всех ч е ­

ловеко -д н ей

весной ;

6 0 0 0 :0 ,0 2 = 300 000 ц — з а

счет

и с п о л ь зо в ан и я

всех

ч е ­

ло веко -д н ей осенью ;

600 : 0,004 = 150 000 ц — з а

счет и с п о л ь з о в ан и я

всех т р а к ­

торо -см ен

весной ;

ц — з а

1200 : 0,006 = 200 000

счет

и с п о л ь зо в ан и я

всех

тр а к т о р о -с м е н осенью ;

6 0 0 0 : 0 , 0 6 6 = 9 0 009

ц —

за

счет

и с п о л ь з о в а н и я

всей

паш ни .

Н а и м е н ь ш и м

из всех

п олуч ен н ы х

я в л я е т с я ч исло

56 250.

С л е д о в а т е л ь н о ,

при и м ею щ и х ся

п р о и зв о д с т в е н н ы х

р е с у р ­

сах м о ж н о

получить 56 250 ц зе р н а и при

этом

и с п о л ь зо ­

вать все ком байно -см ены .

Р а с с м о т р и м этот

в а р и а н т

з а д а ч и при

условии , что п р о и з ­

вод ится 56 250

ц

зерна .

Р е ш и м

з а д а ч у

в ^ си м плексны х

т а б л и ц а х .

Д л я

этого

в

м а те м а ти ч е ск о й

м одели

за д а ч и

(см. § 6, з а д а ч а

1)

н еравенство

0,008л:, < 4 5 0 ,

в ы р а ж а ю щ е е

ограничение

по

ко м б а й н о -с м е н а м ,

зам ен и м

равен ством

0,008л:, = 450,

тр еб у ю щ и м ,

чтобы

все

к о м б ай н о -см ен ы

бы ли

и с п о л ь з о ­

ваны . Д л я

реш ен ия за д а ч и си м плек сны м

м етодом

в

это

р а в е н с тв о

с л ед у ет

ввести

искусственную

неи звестн ую х9:

0,008л:,+л:9= 450.

К ром е того,

неизвестную

л:д над о

ввести

в ф у н кц и ю

цели

с к о э ф ф и ц и е н т о м

( — М).

Р е ш ен и е з а д а ч и

си м п лек сн ы м

м етодом п ри ведено в

т а б л и ц е

56.

В

этом

в а р и а н т е

з а д а ­

чи по о п т и м а л ь н о м у

п л ан у следует

прои зводи ть :

з е р н о ­

в ы х — 56 250

ц, кук у р у зы

на

силос — 634 221,3

ц,

о д н о ­

летн их т р а в

на

сено — 3 278,7

ц.

В ся

в а л о в а я

п р о д у к ц и я

со с та в и т 869 057,4

руб.

П ри

этом план е

по л н о стью

и с ­

п ользую тся :

человеко -дни

весной,

к о м б а й н о -с м е н ы

осенью , п а ш н я .

О с т аю т ся

н е д о и сп о л ьзо ван н ы м и :

2325 чел.-дн.

о сен ью из

6000, 114,7 тр акт о р о -с м е н

весной

из 600,

225

т р а к т о р о -

см ен осенью из

1200.

13*

195

196

197