книги из ГПНТБ / Постнов Ю.И. Линейное программирование в сельском хозяйстве

пользована вся пашня; если х4= 0, то использованы все

Эти равенства обладают одной особенностью, благодаря которой к решению нашей задачи можно применить сим­ плексный метод: каждое из них содержит одну неизвест­ ную величину с коэффициентом, равным единице, кото­ рой нет во всех остальных равенствах. Так, в первом равенстве содержится неизвестная величина * 3, но она отсутстует в остальных равенствах; во втором равенстве есть величина * 4, которая не входит в первое и третье равенства; и, наконец, имеющаяся в третьем равенстве неизвестная *5 отсутствует в остальных равенствах.

Так как для решения задачи нам потребуются коэффи­ циенты при всех неизвестных в этих равенствах, то, что­ бы не допустить ошибок, запишем их в следующем виде:

32

т. е. если какое-нибудь из равенств не содержит некото­ рую величину, это значит, что оно ее содержит с коэф­ фициентом, равным 0. Дополнительные неизвестные вве­ дем в функцию цели с коэффициентами, равными нулю:

Исходная задача теперь может быть сформулирована так: найти наибольшее значение функции (4) при вы­ полнении ограничений (3).

Решение задачи симплексным методом производится при помощи составления симплексных таблиц.

Первая симплексная таблица содержит три строки коэф­ фициентов при неизвестных в равенствах (3) и одну строку коэффициентов функции цели. Все эти коэффи­ циенты записаны в соответствующих столбцах неизвест­ ных х ь х2, х3, х4 и х5.

В качестве исходного берем такой план, при котором продукция не производится, и, следовательно, все налич­ ные ресурсы остаются неиспользованными. Математиче­ ски это значит, что

*і = 0, х2 = 0, х3= 1000, х 4 = 8000, х5 = 900.

В столбец «План» в соответствующие строки записываем лишь те величины, которые отличны от нуля. В первый столбец («Цены») записываем коэффициенты функции цели при неизвестных х3, х4 и Х5, взятые со знаками ми­ нус. Так как эти коффициенты в нашем случае нули, то безразлично, с какими знаками их брать. Поэтому пишем во всех строках первого столбца просто нули.

Четвертая строка второго столбца («План») предназна­ чается для всей валовой продукции в денежном выраже-

нии (в руб.). Так как в исходном плане продукция не производится, то в этой клетке пишем нуль. Итак, первая симплексная таблица имеет такой вид (табл. 7):

Желательно как можно скорее получить наибольшее значение валовой продукции в рублях. Поэтому попы­ таемся вначале в план ввести ячмень, так как он имеет большую цену 1 ц.

Как это сделать?

В четвертой строке столбцов неизвестных выбираем наи­ большее положительное число, и тот столбец, которому оно принадлежит, называем генеральным столбцом таб­ лицы. В нашем примере наибольшее положительное чис­ ло 5 находится в столбце х2. Следовательно, столбец х2 генеральный. В нем отмечаем положительные элементы (числа) во всех строках, кроме последней. В нашем слу­ чае все элементы — 0,05, 0,1 и 0,03 — положительные. Составляем отношения элементов плана к соответствую­

34

щим (по строкам) положительным элементам генераль­ ного столбца:

1000 : 0,05 = 20 000; 8000 : 0,1 =80 000; 900 : 0,03 = 30 000.

Первое из этих чисел показывает, сколько ячменя можно произвести за счет использования всей пашни, второе — за счет использования всех человеко-дней и, наконец, третье — за счет использования всех тракторо-смен.

Если при имеющихся ресурсах надо производить только один ячмень, то больше 20 000 ц произвести его не удаст­ ся, так как не позволят размеры пашни. По этой причи­ не из всех полученных чисел выбираем наименьшее число (20 000), а строку, которой оно соответствует (в данном случае первую строку), называем генеральной строкой таблицы.

Элемент 0,05, находящийся и в генеральном столбце, и в генеральной строке, называется генеральным элемен­ том таблицы.

Таблица 8

Генеральный столбец показывает, какую из неизвестных надо включить в план, а генеральная строка — какую из неизвестных вывести. То есть на место неизвестной х3 в план надо ввести неизвестную х2. (См. общий вид второй симплексной таблицы — табл. 8).

В первом столбце («Цены») в строке х2 пишем цену 1 ц ячменя, взятую со знаком минус, и сохраняем нули во второй и третьей строках.

Теперь переходим к вычислению элементов второй симп­ лексной таблицы. Прежде всего вычисляем элементы строки, стоящей на месте генеральной. Так как первая строка в первой таблице была генеральной, то вначале мы вычисляем элементы первой строки. Для этого эле­ менты генеральной строки, кроме элемента в первом столбце (цены), делим на генеральный элемент 0,05:

1000:0,05 = 20 000; 0,01:0,05 = 0,2; 0 ,05:0,05= 1; 1:0,05 = 20; 0 :0 ,0 5 = 0; 0 :0 ,0 5 = 0.

Полученные результаты записываем в те клетки, в кото­

38

Используя полученные элементы первой строки, теперь можно вычислить элементы всех столбцов. Начнем с вы­ числения элементов второго столбца («План»), В этом столбце нам известен один элемент, то есть 20 000. Для вычисления остальных число 20 000 умножаем на все элементы генерального столбца, кроме генерального элемента, и полученные результаты вычитаем из соот­ ветствующих по строкам элементов старого плана.

В результате получаем числа:

0— 20 000 -5 = — 100 000,

которые вписываем в план второй таблицы. Таблица принимает такой вид (табл. 10):

Таблица 10

Элементы остальных столбцов вычисляются совершенно аналогично. Для вычисления недостающих элементов

37

столбца Xi известный элемент 0,2 этого столбца умно­ жаем на все элементы генерального столбца, кроме ге­ нерального элемента, и полученные результаты вычитаем из соответствующих элементов старого столбца Х\.

Б результате получаем числа:

0,2—0,2- 0,1 =0,2 —0,02= 0,18; 0,021-0,2 • 0,03 = 0,015; 3—0,2 - 5= 3—1=2,

При вычислении элементов нового столбца х2, получим:

0,1-1 -0,1=0; 0,03-1-0,03 = 0; 5 -1 -5 = 0,

так как в данном случае элементы генерального столбца приходится умножать на единицу и полученные резуль­ таты вычитать из элементов этого же столбца.

38

Для нового столбца х3 находим так:

0 - 2 0 - 0 ,1 = - 2 ; 0 - 2 0 - 0 ,0 3 = - 0 , 6 ; 0 - 2 0 - 5 = - 1 0 0 .

В столбцах х4 и х$ все элементы остаются теми же, что и в первой симплексной таблице, так как при умножении элементов генерального столбца на нуль получим нули, при вычитании которых из элементов старых столбцов х4 и *5 изменить их нельзя.

Полностью заполненная вторая симплексная таблица

Рассмотрим план этой симплексной таблицы.

Так как неизвестная Х\ в план не входит, то это означает, что картофель не производится.

что вся пашня использована на производство ячменя.

39

Равенства *4 = 6000 и *5 = 300 свидетельствуют о том, что неиспользованными остаются 6000 чел.-дн. и 300 тракто- ро-смен. Возникает вопрос: возможно ли дальнейшее улучшение плана? На этот вопрос можно ответить так: если во второй симплексной таблице (табл. 12) послед­ няя строка в столбцах неизвестных содержит хотя бы один положительный элемент, то дальнейшее улучшение плана возможно, а если же не содержит ни одного поло­ жительного элемента — невозможно.

В нашем примере вторая симплексная таблица содер­ жит положительный элемент 2 и, следовательно, можно произвести улучшение плана, для чего составляется

третья симплексная таблица. Повторяется весь извест­ ный нам процесс. Так как число 2 принадлежит столб­ цу *і, то он и является генеральным. В нем снова отме­ чаем положительные элементы во всех строках, кроме последней, и составляем отношения элементов плана к соответствующим (по строкам) положительным элемен­ там генерального столбца. Этими отношениями будут:

20 000 : 0 ,2 = 1 0 0 000

6000 : 0,18 = 33 333 300:0,015 = 20 000.

Как видно, наименьшим является число 20 000, оно соот­ ветствует третьей строке, которая и является генераль­ ной во второй симплексной таблице. Генеральный эле­ мент— число 0,015. Вместо неизвестной *5 следует ввести в план неизвестную х\. (Общий вид третьей симп­ лексной таблицы см. ниже — табл. 13).

Вычисляем элементы этой таблицы.

Как и раньше, вычисления начинаем с элементов той строки, которая стоит на месте генеральной строки в пре­ дыдущей таблице, то есть в данном случае третьей стро­ ки. Все ее элементы получаются в результате деления

40

Таблица 13

элементов генеральной строки второй таблицы на гене­ ральный элемент 0,015. Производим вычисления:

Полученные результаты записываем в те же клетки, в которых находились делимые. Теперь третья симплекс­ ная таблица принимает новый вид (табл. 14).

Дальнейшие вычисления производим по столбцам. Во втором столбце «План» уже известен один элемент — число 20 000; его умножаем на все элементы генерально­ го столбца (кроме генерального элемента) второй симп­ лексной таблицы (табл. 12) и полученные результаты вычитаем из соответствующих чисел столбца «План» той же второй симплексной таблицы:

41