книги из ГПНТБ / Постнов Ю.И. Линейное программирование в сельском хозяйстве

Таблица 35

Ц е н ы

с

П л ан

X ,

*3

Хі ■■ *5

( - )

- 2

5

0

1

0

1

* 2

=

т

6

—3

5

0

0

1

3

=

Т

б

— 1

5

1

0

0

7

Х і

~

т

тг

-

15

0

0

0

- 1

К а к видно,

в

этой

т а б л и ц е п о с л е д н я я

с т р о к а

не с о д е р ­

ж и т п о л о ж и тел ьн ы х

элем ентов . С л е д о в а т е л ь н о ,

п л ан

этой т а б л и ц ы

я в л я е т с я о п ти м ал ь н ы м

п л а н о м

исходной

зад ач и .

Р а с с м а т р и в а я

все

построенны е

с и м п л е к с н ы е

таб л и ц ы ,

за м е ч а е м ,

что

во второй из них

(т аб л .

33) о с т ал с я н е з а ­

полненны м

с то лб е ц

Хе,

а

в

т р етьей

(т аб л .

3 4 ) — д в а

с т о л б ц а

х5 и х6. Н е т р у д н о

д о га д а т ь с я , п очем у т ак д е л а е т ­

ся. Д е л о

в

том , что при

п ереход е

от

первой

т а б л и ц ы

(т аб л . 31)

ко

второй

( таб л .

33) из

п л а н а вы вод и тся

и ск у сствен н ая

н е и зв е ст н а я Хе, а

при

пер ех о д е

от второй

т а б л и ц ы

к

третьей

( таб л .

3 4 ) — п о с л е д н я я иск у сствен н ая

н еи зв естн ая

хе. Т а к

к а к и ск усственн ы е

н еи звестны е,

в ы ­

веден ны е из

п л а н а ,

не

им еет

с м ы с л а

в

д а л ь н е й ш е м

в в о ­

д и т ь ни

в один

из по сл ед у ю щ и х

п л а н о в , то нет

н а д о б н о ­

сти

и в ы ч и сл ять

эл ем ен ты

с т о л б ц а

искусственной н е и з ­

вестной, о д н а ж д ы

вы веден ной

из

п лана .

П о

о п т и м а л ь н о м у

плану ,

с о д е р ж а щ е м у с я

в

последней

си м п лек сн ой

т а б л и ц е

( таб л . 35),

видно, что

н а и б о л ь ш е е

зн а ч е н и е ф ун кц и и

цели р а в н о

15,

и это зн а ч е н и е

ф у н к ц и я

п р и н и м ает при

Х \ = Х2— Х$ — Ь12', * 4 = 0.

Задача 2.

В

н а ч а л е этого п а р а г р а ф а

бы ли

п о с т а в л ен ы

ее

условия .

Р а с ш и р е н н ы й в а р и а н т

з а д а ч и

им еет

с л е д у ю ­

щ ую ф о р м у л и р о в к у :

н ай ти н аи м е н ь ш е е зн а ч е н и е ф у н к ­

ции

С = 2*1 -(-*2—*3—*4 + Л4*5+ iW*g+ M X j

при вы п о л н ен и и с л ед у ю щ и х условий

*1 — *2 + 2*3 — *4 + *5

= 2

2*1+*2 — 3*3 + *4

.+ *6

= 6

* 1 + * 2 +

* 3 + * 4

+ * 7 = 7 .

В кач е с тв е исходного во зьм ем п л а н

* 5 = 2; * 6= 6; *7 = 7.

Т а к

к а к д а н н а я

з а д а ч а на

м ин им ум ,

то при

с о ставл ен и и

первой си м п л ек сн о й

т а б л и ц ы

к о эф ф и ц и ен ты

ф ункц ии

цели

н а д о б р а т ь

с

и м е ю щ и м и с я

з н а к а м и

(а

не

с п р о т и ­

в о п о л о ж н ы м и ) .

В се

вы ч и сл ен и я

и

о б ъ яс н е н и я

к

ним

д е л а ю т с я

точн о

т а к

ж е ,

к а к и в п р ед ы д у щ ей з а д а ч е .

Р е ш ен и е п р о в ед ем в

одной о б ъ ед и н ен н о й т а б л и ц е ( таб л .

36).

П л а н , с о д е р ж а щ и й с я

в п ослед ней

т аб л и ц е ,

я в л я е т с я

о п ­

ти м а л ь н ы м .

Н а и м е н ь ш е е

зн а ч е н и е

ф ункц ии

р а в н о

2 и

д о сти гается

при

*1 = 3;

*2 =

0; * 3 = 1 ;

* 4 = 3.

4

0

- 3

5

- 1

0

0

7

0

5

- 8

5

0

0

Ц ен ы

П л а н

2

1

- 1

— 1

М

м

М

х.2

х 3

x t

X-

Х,і

х 7

2

Х і = ±

1

0

1

0

0

3

3

1

* 2 =

—

0

1

7

1

0

2

3

— 3

М

0

0

11

0

1

3

3

6

0

0

- 2

2

0

11

0

0

11

0

0

3

3

2

х ,

=

3

1

0

0

0

1

%2 ~

3

0

1

0

1

- 1

х 3=-. 1

0

0

1

0

8

0

0

0

2

0

0

0

0

0

2

Х \

=

3

1

0

0

0

- 1

Хі

=

3

0

1

0

1

- 1

ЛГ3

=

1

0

0

1

0

2

0

- 2

0

0

В §

4

с ф о р м у л и р о в а н а т р а н с п о р т н а я з а д а ч а в про стей ­

ш ем

виде, к о т о р а я з а к л ю ч а л а с ь в

след ую щ ем :

н а й ти

н а и м е н ь ш е е зн ач ен и е ф ункц

ии

Х ц + - 'Ч 2 + л :13=

1 0

-^21+-К22+ ^23=

14

Х ц + ^ 2 1

=

6

Хі2~\-Х22 = 8

Х13 + Х23 —10.

Д л я

того,

чтобы

им еть

более

п р и вы чны е о б озн ачен и я ,

п ри м ем :

Х ц = Х \ ' , Х 12= Х 2\ Х і 2~ Х 3; Х 2\ = Х і , Х 22= Х 3; X23= X 3.

Т о гд а ф ункции цели и

огр ан и ч ен и я

п р и м у т

вид:

C=x 1 + 2.^2 +

З.Х3+

2.^4+ Х54-4Хб

(1)

Х\+ Л'2+ ^з

=

10

Х4 -р х 3

Xq

=

14

Xl

+ ^ 4

= 6

Хс

- f лг5

= 8

Хз

-\-Хз

=

10.

В д ан н о м

с л у ч а е

предстои т

р еш и ть

з а д а ч у

на м иним ум

при

вы полнен ии

о гранич ений ,

в ы р а ж е н н ы х

р авен ствам и .

Р а с с м а т р и в а я

эти

р а в е н с т в а , видим , что они

не с о д е р ж а т

неи звестны х ,

которы е н еоб ходи м ы

д л я п р и м ен ения

си м п ­

л ек сн о го

м етод а .

П о эт о м у

эти

н еи звестны е

при ходи тся

ввод ить искусственно .

Т а к

к а к им еется

пять

рав ен ств ,

то

н а д о

ввести

пять

и ск усственн ы х

неизвестны х . Р а с ш и р е н н а я

з а д а ч а

будет

с о д е р ж а т ь 6 основны х и

5

и ск усственн ы х

неи звестн ы х

и,

с л е д о в а т е л ь н о ,

всего

11

неизвестны х .

М о ж н о

у простить

реш ен ие этой зад ач и .

П р е ж д е

всего одно

из р а в е н с т в

(2) м о ж н о

отбросить,

т а к к а к

оно вы т ек а е т

из

всех о с т ал ь н ы х равенств .

Д е й с т в и т ел ь н о ,

если

с л о ж и т ь

послед ние

три

р а в е н с т в а ,

то получим

X j + х2 + х3 + х4-|-Х5-(-х6= 24 .

В ы ч и т ая

из этого

р а в е н с т в а первое, най дем ,

что

х 4+ х 5+ х б= 1 4 ,

т. е.

п о л у ч а ет с я

второе р авен ство .

Т а к и м о б р а з о м , о к а з ы в а е т с я ,

что

второе

р а в е н с т в о

я в ­

л я е т с я сл едстви ем

всех о с т а л ь н ы х

р а в ен ств

или, д р у ги м и

сл о вам и , вто р о е р а в е н с тв о

с о д е р ж и т с я в

о с тал ь н ы х .

Н а

этом

о сн о ван и и

мы им еем

п р а в о его отбросить.

В р е з у л ь ­

т а те

о с т ан е тс я

4 огран и ч ен и я :

X1+ х2 + х 3

=10

Х\

х2

+ х 4

= 6

+ Х5

= 8

Хз

+ X g =

10.

Три из эти х ограничений

с о д е р ж а т

н у ж н ы е н ам н е и зв е ст ­

ные

и л и ш ь первое р а в е н с тв о

не

с о д е р ж и т н еоб ходи м ой

нам

неи звестной .

Т а к и м

о б р аз о м ,

вм есто

в вед ен и я

пяти

и ск усствен н ы х

неи звестны х м о ж н о

в о с п о л ь зо в а т ь с я

л и ш ь

одной.

В в о д я

и скусственн ую

неизвестную

* 7, при дем к р а с ш и ­

ренной

зад ач е :

н ай ти

н аи м ен ьш ее

зн ач ен и е ф ункции

С = х 1

2 * 2 - Ь 3*з + 2 * 4 + * 5 + 4 * 6 + ^ 1 x 7

при условиях

*1 + *2 + *3

+ *7— 10

*1

-f- *4

= 6

Х2

+ *5

= 8

*з

+ * б

= Ю-

*7 = 1 0 ;

*4 = 6;

*5 = 8; * 6= 10 .

П р и реш ении

будем

с т а р а т ь с я к а к

м о ж н о скорее

в ы в е ­

сти

из

п л а н а

и скусственн ую

неи звестн ую * 7 (таб л .

37).

П л а н

второй

си м плек сной т а б л и ц ы

в д а н н о м

с л у ч а е о п ­

т и м а л ь н ы й ,

т а к к а к первы й

р я д чисел п ослед ней

строки

не

с о д е р ж и т

п о л о ж и т ел ь н ы х

чисел.

П о это м у

п л а н у из

с к л а д о в в м а г а з и н

н а д о завезти :

— 10 еди ниц

и з

первого

с к л а д а

в трети й м а г а з и н

т о в а р а ;

и з

второго

с к л а д а

в первы й

м а г а зи н — 6 еди ниц

т о в а р а ;

и з второго

с к л а д а

во второй

м а г а з и н — 8 еди н и ц т о в а р а .

О б щ а я

стои м ость

всех

п ер ев о зо к с о с т а в и т 50 руб.

И н т е р е с н о

отм етить ,

что

в д а н н о й

з а д а ч е

им еется

е щ е

один

о п т и м а л ь н ы й

план , которы й

м о ж н о получить,

если

в

п л а н ввести

неи звестн ую *і

н а

м есто неи звестной

*4. Все

вы чи слен и я

п р о и зв о д я т с я

к а к

всегда.

Т а к к а к

в

послед ней

строке

с т о л б ц а *і

с о д е р ж и т с я нуль,

то в во д

Х\

в план не

м о ж е т

изм енить общ ей стоим ости всех

п ер е ­

возок .

П р и д а л ь н е й ш и х

вы чи слен иях второй р я д

чисел п о с л е д ­

ней строки

не р а с с м а т р и в а е т с я . С о стави м

третью

си м п ­

л е к с н у ю т а б л и ц у

(таб л . 38).

4

*6 = 6

0

- 1

0

1

0

1

50

0

- 2

0

0

0

0

П о этом у п л а н у

н а д о зав езти :

из

первого

с к л а д а

в

первы й

м а га зи н — 6 еди ниц

т о в а р а ;

из

первого

с к л а д а

в трети й м а г а з и н — 4 еди ниц ы

т о в а р а ;

из

второго

с к л а д а

во

второй

м а г а з и н — 8 единиц

т о в а р а ;

из

второго

с к л а д а

в

третий

м а га зи н — 6 еди ниц

т о в а р а ;

К а к видим , о б щ а я

стоим ость всех п е р е в о зо к

о стается

р а в н о й 50

руб.

П е р е й д е м к р еш ен и ю с л ед у ю щ ей з а д а ч и .

Т р еб у ется

р а с п р е д ел и ть т р а к т о р н ы е раб о ты

по

м а р к а м

т р а к т о р о в

т а к и м

о б р азо м ,

чтоб ы общ и е з а т р а т ы

на

в ы ­

полнение

р а б о т бы ли

м и н и м ал ьн ы м и .

О б ъ е м

р а б о т

по

ви д ам

и

сезон н ы е

норм ы

р а б о т

по

м а р к а м

т р а к т о р о в , а

т а к ж е

себестоим ость

1 га

в п еревод е

на м я гк у ю

п ахоту

п р и в о д я тс я

в т а б л и ц е 39.

Таблица

39

С е б е с т о и м о с т ь 1 га м . п .

О б ъ е м

р а ­

В и ды р а б о т

Д Т -54

,, Б е л а р у с ь “

Д Т -20

б о т в га

18

15

6

м .

п.

К у л ь т и в а ц и я п а р а 4 , 5

хг

4 , 1

х 2

5 , 4

х 3

2 2 0 0

П о д ъ е м п а р а

2 , 7

Хі

2 , 8

х 6

—

6 0 0 0

К у л ь т и в а ц и я п р о ­

-

4 , 0

хв 4 , 4

хч

5 0 0

п а ш н ы х

С е н о к о ш е н и е

3 , 5

Ag

3 , 0

Хд 4 , 3

х 10

2 3 0 0

Б о р о н о в а н и е

3 , 4

ха 3 , 1

X,2 5 , 0

х 13

1 6 0 0

И т о г о з а с е з о н ,

7 2 0 0

4

5 0 0

9 0 0

12

6 0 0

га м .

п .