книги из ГПНТБ / Постнов Ю.И. Линейное программирование в сельском хозяйстве

3. — 7 —8 = — 15, так как два «проигрыша» по 7 и 8 еди­

Более сложные примеры при помощи известных нам пра­ вил, знаков и ' подсчета в отдельности «проигрыша» и «выигрыша» всегда можно свести к рассмотренным ти­ пам простейших примеров:

— 3 + ( — 8) — ( + 3) — ( — 5) = — 3 — 8 — 3 + 5 = —14 + 5 = — 9; 8 + ( — 3) — ( —10) — (+ 30) = 8 —3 + 1 0 —30= 18 - 3 3 = - 1 5 .

В заключение рассмотрим действия умножения и деле­ ния действительных чисел. Это производится на основа­ нии следующей аксиомы (т. е. истины, которая прини­ мается без доказательства): при умножении двух чисел перемножаются их абсолютные величины и в результате ставится знак ( + ), если числа имели одинаковые знаки, и знак ( —), если числа имели разные знаки; при деле­ нии двух чисел абсолютная величина делимого делится на абсолютную величину делителя и в результате ставит­

4 —(—3) + ( —5) — (+ 2) + (—2) •( + 3)— ■

22

- ( - 4 ) - ( + 2) = 4 + 3 - 5 - 2 - 6 + 8 = 1 5 - 1 3 = 2; 12 : 3 — ( —4): 2 + ( —2) - (+ 3) + ( — 8): ( — 4) = = 4 + 2 —6 + 2 = 8 —6= 2.

Предположим, что имеется два склада и три магазина. Надо перевезти некоторое количество единиц однородно­ го товара из складов в магазины, причем в каждый из магазинов требуется определенное количество единиц товара, а каждый из складов может выделить также только определенное количество товара. Предполагается, что общее количество выделяющегося для перевозки то­ вара равно требуемому количеству. Задача: определить, сколько единиц товара нужно отправить с каждого скла­ да в каждый магазин, чтобы общая стоимость перевозок была наименьшей. Известна стоимость перевозки едини­ цы товара из каждого склада в каждый магазин. Пусть, например, на первом складе имеется 10 единиц, а на вто­ ром— 14 единиц товара, магазинам требуется соответ­ ственно 6, 8, 10 единиц.

Неизвестные количества единиц товара, которые надо перевезти из каждого склада в каждый магазин, обозна­ чим x iIt Хі2, Хм, х21, х22, х2з. В этих обозначениях первая цифра индекса, стоящая у буквы х, показывает номер склада, а вторая — номер магазина. Так, хі2 обозначает неизвестное количество товара, которое необходимо пе­ ревезти из первого склада во второй магазин.

Все данные сведем в следующую таблицу:

23

Таблица 1

В таблице 1 все неизвестные количества товаров указа­ ны в соответствующих клетках.

По условию задачи имеем:

второму равенству требуется из второго склада в мага­ зины вывезти 14 единиц. Третье, четвертое и пятое ра­ венства показывают, что в первый, второй и третий ма­ газины надо завезти соответственно 6, 8 и 10 единиц то­ вара.

Если стоимости перевозок единицы товара из каждого склада в каждый магазин обозначить с п, Сіг, с13, с2ь с22, с2з, то общая стоимость всех перевозок будет равна:

С = Сц Х ц + Сі 2Д:і 2 + С із* із + С2і * 2і + С 22Х 22 + £23*23-

Требуется перевозки товара из складов в магазины ор­

24

ганизовать так, чтобы стоимость перевозок С имела наи­ меньшее значение при правильном вывозе товара из складов и правильном завозе его в магазины. Матема­ тически это означает: найти наименьшее значение функ­ ции С при'выполнении равенств (1).

Функция С называется функцией цели, а равенства (1) — ограничениями.

Для того, чтобы убедиться, что стоимость перевозок мо­ жет изменяться в зависимости от количества единиц то­ вара, перевозимых из складов в магазины, произведем некоторые конкретные вычисления. Зададим цены пере­ возок единицы товара из каждого склада в каждый ма­ газин. Пусть, например,

Сц = 1, с12 = 2, сіз= 3, с2і = 2, С22=1, с23 = 4.

Задача: найти наименьшее значение функции

С = Л’l- 1+ 2Х]2 + 3^13+ 2^21 +^22 +4^23

при выполнении условий равенств ( 1). Произведем несколько экспериментов.

1. Осуществим перевозки так, как показано в таблице 2.

25

В углах каждой клетки таблицы 2 проставлены цены пе­ ревозки единицы товара из каждого склада в каждый магазин. Общая стоимость всех перевозок равна:

С=2-1+3-2 + 5-3+ 4-2 + 5-1+5-4 = 2 + 6+15 + 8+ 5+ 20 = 56.

2.Осуществим перевозки другим способом по таблице 3.

В данном случае получим следующее равенство:

C = 3-l +4-2 + 3-3 + 3-2 + 4-1 + 7 4 - 3 + 8 + 9 + 6+ 4 + 28 = 58.

26

Ёданном случае

С= 3-10 + 2-6+ 1-8 = 30+ 12 + 8 = 50.

Как видно, из трех вариантов лучшим является третий, в котором общая стоимость перевозок равна 50. Возникает вопрос: можно ли по условиям данной зада­ чи перевезти товары с еще меньшими затратами?

Ответ на этот вопрос дают симплексный и распредели­ тельный методы.

ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА 0 РАЦИОНЕ ДЛЯ СКОТА

Требуется составить рацион для мясного откорма сви­ ней с живым весом 50—60 кг и суточным привесом 400—500 г. На одну голову в сутки требуется: кормовых единиц — 2,5, переваримого белка — 240 г.

Откорм ведется сухими кормами. Рацион составим из зерна кукурузы и подсолнечного жмыха, в одном кило­

27

Надо составить такой рацион, который содержал бы указанные питательные вещества и обладал бы наимень­

рые надо включить в рацион, обозначим соответственно через Х\ и х2. Тогда цена рациона составит:

С = 5хі + Ах2 коп., и в нем будет содержаться х1+ \,25х2 кормовых единиц и 400 лгі + 80 х2 г переваримого белка.

Так как по условию задачи рацион должен содержать не меньше 2,5 кормовой единицы и не меньше 240 г перева­ римого белка, то можно записать неравенства:

л:і + 1,25х2> 2 ,5 400х[ 80х2О240.

Таким образом, данная задача имеет следующую мате­ матическую формулировку: найти наименьшее значение функции

С ~ 5х1-р4.^2

при выполнении условий

Х\ -f-1 ,25х 2> 2,5 400 *! + 80x2>240.

Задача решается симплексным методом.

ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА 0 НАИБОЛЕЕ ЭФФЕКТИВНОМ СОЧЕТАНИИ ОТРАСЛЕЙ В ЗЕМЛЕДЕЛИИ

Требуется организовать в хозяйстве производство кар­ тофеля и ячменя. Для этого хозяйство может выделить пашни 1000 га, израсходовать 8000 чел.-дн. (человеко­ дней), 900 тракторо-смен.

28

Урожайность картофеля— 100 ц/га, ячменя — 20 ц/га Нормативные затраты ручного труда на 1 га посева: по картофелю — 20 чел.-дн.; по ячменю — 2 чел.-дня.

Нормативные затраты механизированного труда на 1 га

Задача заключается в том, чтобы, исходя из данных про­ изводственных ресурсов, добиться максимума валовой продукции в денежном выражении.

Неизвестное количество картофеля, которое необходимо произвести, обозначим через х х ц, а ячменя — через х2 Ц- Тогда количество валовой продукции в денежном выра­ жении будет равно:

С = 3*і + 5*2 руб.

Учтем все имеющиеся производственные ресурсы. Для этого используем технологические коэффициенты, т. е. нормы затрат на производство 1 ц картофеля и 1 ц ячме­ ня. Так как на производство 100 ц картофеля требуется пашни 1 га, то для производства 1 ц — 0,01 га. Для про­ изводства 1 ц ячменя необходимо 0,05 га пашни, если предполагать, что урожайность ячменя — 20 ціга.

Для того, чтобы найти нормы затрат конно-ручного и механизированного труда на производство 1 ц продук­ ции, надо нормы затрат на 1 га разделить на урожай­ ность возделываемой культуры.

Нормы затрат на производство 1 ц картофеля и ячменя по конно-ручному труду равны соответственно:

20 : 100 = 0,2 чел.-дн.; 2 : 20 = 0,1 чел.-дн.

Нормы затрат механизированного труда следующие: по картофелю — 2,1 : 100 = 0,021 тракторо-смены; по ячме­ ню — 0,6 : 20 = 0,03 тракторо-смены.

29

Сведем все данные в таблицу 6.

*і *2

На производство Х\ ц картофеля и * 2 ц ячменя будет за­ трачено:

По условию задачи эти затраты не должны быть больше соответствующих наличных ресурсов, и поэтому можно записать такие неравенства:

Таким образом, следует решить следующую математиче­ скую задачу: найти наибольшее значение функции

С = 3*і + 5*2

при условиях ( 1).

30

Функцию С будем, как и раньше, называть функцией це­ ли, а неравенства ( 1) — ограничениями.

Нами рассмотрены три основных типа задач, которые могут быть решены симплексным методом. В первом ти­ пе задач ограничения выражаются равенствами, во вто­ ром типе — неравенствами со знаками и, наконец, в третьем типе — неравенствами со знакамиС,.

Наиболее просто симплексным методом решаются зада­ чи третьего типа, и поэтому с них начнем изучение сим­ плексного метода.

ВАРИАНТЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ТРЕТЬЕГО ТИПА СИМПЛЕКСНЫМ

МЕТОДОМ

ПЕРВЫЙ ВАРИАНТ

1. Рассмотрим составленную нами задачу третьего типа (см. стр. 28). Надо найти наибольшее значение функции

при выполнении условий

Для решения данной задачи с помощью симплексного метода следует прежде всего неравенства (2) преобра­ зовать в равенства. Как видно, левые части неравенств не больше правых, и поэтому, если к левым частям при­ бавить некоторые неизвестные неотрицательные части, то тем самым неравенства преобразуются в равенства:

31