книги из ГПНТБ / Постнов Ю.И. Линейное программирование в сельском хозяйстве

математики в объеме 7 классов. Она построена так, что читатель постепенно, начиная с наиболее простых задач, знакомится с наиболее сложными.

Б. Т. ТУЛЕГЕНОВ,

заведующий кафедрой высшей ма­ тематики, доцент КазПИ име­ ни Абая,

Б. М. УРАЗБАЕВ,

заведующий кафедрой элементар­ ной математики, доцент.

ЦЕННОЕ ПОСОБИЕ

Результаты работ видных экономистов дока­ зывают, что внедрение математических методов в практику планирования, организации и управле­ ния сельскохозяйственным производством во всех его звеньях может дать огромный экономический эффект в масштабе всей страны. Однако в на­ стоящее время в совхозах и колхозах почти нет специалистов, владеющих методом линейного программирования, а литературы по этому вопро­ су мало, да она большей частью сложна и недо­ ступна для читателей, являющихся практическими работниками сельского хозяйства.

Поэтому издание книги Ю. И. Постнова яв­ ляется отрадным. Большой заслугой автора сле­ дует признать, что он нашел прекрасное методи­ ческое решение всех вопросов, затронутых в ра­ боте. Он сумел сложные понятия объяснить просто и наглядно, подробно и постепенно рас­ крывая экономический смысл всех вновь вводи­ мых величин, операций; методы линейного про­ граммирования в таком изложении становятся ясными и доходчивыми Именно такого пособия недостает на первых

порах массовому читателю, интересующемуся

11

СУЩНОСТЬ

СИМПЛЕКСНОГО

МЕТОДА

В практике линейного программирования чаще других используется метод последовательного улучшения плана, или, как нередко его называют, симплексный метод (симплекс — метод). Основные положения его были сформулированы американским математиком Д. Данци­ гом в 1949 году. Метод Данцига в иностранной литерату­ ре по линейному программированию известен под назва­ нием симплексного. Оно возникло из геометрического толкования* первых частных задач, к которым метод был применен, и на самом деле не соответствует сущест­ ву метода, то есть его название почти условное.

Сущность же метода состоит в следующем. Прежде всего составляется первоначальный план, называемый до­ пустимым планом (точнее — опорный план). Опорный план удовлетворяет всем условиям задачи, но не явля­ ется оптимальным (наилучшим) с точки зрения постав­ ленной конечной цели задачи. Затем по установленным этим методом способам план улучшают, получая новый, более близкий к оптимальному. Таким путем через ко­ нечное число приближений (шагов) достигается опти­ мум, когда дальнейшее улучшение уже невозможно. Задача считается решенной.

Таким образом, метод заключается в последовательном улучшении плана, что и целесообразно отразить в его названии. Но поскольку в литературе все более укоре­

* Простейший многогранник в пространстве с произвольным чис­ лом измерений называют с и м п л е к с о м .

15

няеТся название метода как симплексного, мы будем

.придерживаться этого названия, как более краткого и в силу установившейся традиции.

1. Предположим,' что производится некоторая продук­ ция А. Под ней мы понимаем любую продукцию земледе­ лия или животноводства: зерно, картофель, мясо и т. д. Для установления количества произведенной продукции выбираем определенную единицу измерения: 1 кило­ грамм, 1 центнер и т. п. Чаще всего количество сельско­ хозяйственной продукции измеряется в центнерах.

Если, предположим, в настоящий момент неизвестно, сколько продукции произведено, то можно сказать: по­ лучено X (икс) единиц продукции. Допустим, стало из­ вестно, что произведено 1000 единиц продукции. Это выражается следующим равенством:

х = 1000.

Если нужно показать, что количество произведенной про­ дукции б о л ь ш е (например, больше 2000 единиц), прибегаем к знаку неравенства > (больше), а все выра­ жение записываем так:

* > 2000.

в виде неравенства со знаком < (меньше): *<3000 .

16

Знак > показывает, что количество произведенной про­ дукции не м е н ь ш е какой-то величины. Например, если X не меньше 4000 единиц, то кратко это выразим неравенством, соединенным с равенством:

В некоторых случаях необходимо указать, что число еди­ ниц произведенной продукции заключено в некоторых границах: например, оно не больше 6000, но не меньше 2000. Тогда кратко можно записать следующее двойное неравенство:

2000 < х < 6000.

Введем в рассмотрение цену единицы произведенной продукции, обозначив ее буквой «с». Если известно, что произведено х единиц продукции, то для определения цены всей произведенной продукции надо цену единицы продукции с умножить на число единиц продукции х. Учитывая, что через х мы обозначаем цену всей произ­ веденной продукции, записываем кратко такое равенство:

j S f i ü é U ?

Если * = 20, т. е. произведено 20 единиц продукции, то С = 2 •20 = 40 и т. д.

Отсюда видно, что цена С всей произведенной продукции изменяется в зависимости от изменения числа единиц продукции *. Поэтому говорят, что цена С является функцией числа единиц продукции х.

2. Предположим теперь, что производится два вида про­ дукции: А1 и Л2. Если неизвестно, сколько единиц каждо­ го вида продукции произведено, то эти неизвестные вы­ ражаем через Хі и * 2. Обозначим цену единиц продукции каждого вида через с\ и с2, тогда цена всей произведен­ ной продукции составит

С —СjA'i + С2Х2.

Если, например, — 10, а с2 —5, то

С = 10*і + 5*2.

Произведем некоторые вычисления.

Допустим, *1 = 100, *2 = 25, т. е. произведено 100 единиц продукции Лі и 25 единиц продукции Л2, то

С = 1 0 - 100 + 5 -25= 1000+ 125= 1125 .

Если *і = 0, *2 = 500, т. е. продукции Лі нет, а продукции Л2 произведено 500 единиц, то

С = 10 -0 + 5 -500 = 2500 и т. д.

Таким образом, цена всей произведенной продукции за ­ висит от двух величин: х\ и х2. Поэтому говорят, что це­ на С есть функция от двух величин *і и * 2.

3. Предположим теперь, что производится три вида про­ дукции: Лі, Л2 и Л3 в количестве * ь *2 и * 3 единиц каж­ дого вида по цене с и с2 и съ за единицу каждого вида.

Вэтом случае цена всей произведенной продукции равна:

С= С\Х\+ ^2*2+ С3* 3.

18

То есть цена С есть функция трех величин Х\, х2 и Хз, если считать заданными цены единиц продукции каждо­ го вида.

Рассмотрим общий случай.

Формула цены всей произведенной продукции может быть применена при любом числе видов продукции. Предположим, что производится п (латинское «эн») ви­ дов продукции. Каждый из них обозначим Ль А2, . . . , Л„

продукции каждого вида. Тогда цена всей произведенной продукции равна:

С = С\Х\ + с 2х2+ . . . + с пхп.

Подобные суммы в математике принято сокращенно обо­

продукции, то цену всей произведенной продукции запи­ сываем так:

С = С\Х\ + с2х2 + С3Х3 + С4Х4,

или сокращенно

С= S ct x t. i=l

Вобщем случае, когда производится п видов продукции, цена С всей произведенной продукции зависит от п вели­

чин ХіХ2у. . . , х п, и поэтому говорят, что цена С есть функция от п величин.

В экономике часто приходится иметь дело с величи­ нами, которые могут рассматриваться в двух противопо­ ложных смыслах: доход — расход, выигрыш — проиг­ рыш, прибыль — убыток и т. д.

Если «доход», «-выигрыш», «прибыль» считаются величи­ нами положительными и выражаются числами со знаком ( + ), то «расход», «проигрыш», «убыток»— величинами того же рода, но отрицательными и выражаются числа­ ми со знаком ( —). В этих случаях допустимо говорить, что «расход — есть отрицательный доход», «проигрыш — есть отрицательный выигрыш» и т. д.

Определение. Число со знаком ( + ) называется поло­

Заметим, что при записи положительного числа знак ( + )

Определение. Числа положительные, отрицательные и нуль называются действительными числами.

Для положительного числа а противоположным считает­ ся число—а (минус а). Так, например, для числа 7 противоположным является —7. В данном случае знак минус ( —) используется для записи числа, противопо­ ложного данному положительному.

С другой стороны, по смыслу число а является противо­

20

положным для числа — а, или для числа —а противопо­ ложно число а. Поэтому можно записать:

—( — а) = а.

Вэтой записи первый знак ( —) говорит о том, что надо

взять число, противоположное отрицательному числу

( - а ) .

Таким образом, если перед положительным или отрица­ тельным числом ставится знак минус, то это означает, что надо перейти к числу, ему противоположному. Так, например,

— ( + 5 ) ----- 5, — ( — 7) = +7.

Если перед любым числом ставится знак плюс, то это означает, что надо сохранить данное число и не перехо­ дить к числу, ему противоположному. Так, например,

+ ( + 6) = 6, + ( — 3) = — 3.

Таким образом, приходим к правилам двойных знаков:

+ { + а ) —а\ + ( — а) = — а\ — (+ а ) = -а\ —( — а ) = а .

Определение. Абсолютной величиной положительного числа называется само это число, абсолютной вели­ чиной отрицательного числа называется число, ему противоположное. Абсолютная величина числа 0 равна нулю. Например, для чисел 5; —3; 2,8; —45; 657 абсо­ лютные величины равны соответственно 5; 3; 2,8; 45; 657. Перейдем к рассмотрению действий сложения и вычита­ ния действительных чисел. При выполнении этих дейст­ вий очень удобно толковать положительное число как

3единиц дают в результате 2 единицы «выигрыша».

2.7 — 10 = —3, так как «выигрыш» 7 единиц и «проигрыш» 10 единиц дают в результате 3 единицы «проигрыша».

21