книги из ГПНТБ / Постнов Ю.И. Линейное программирование в сельском хозяйстве

Р а с с м а т р и в а я

т а б л и ц у

62, видим , что в

к л е т к а х

ее и м е ­

ю тся

нулевы е,

о т р и ц а т е л ь н ы е

и п о л о ж и тел ь н ы е

цены.

О к а зы в а е т с я ,

что

если

некоторое коли чество то в а р а

из

к л е т о к с

нулевой

ценой

перем естить

в

к л е т к у

с

о т р и ц а ­

тельн ой

ценой,

то

о б щ а я

стоим ость

всех

перевозок

у м ен ьш и тся ,

а

если

в

кл етк у с

п о л о ж и т ел ь н о й

ценой,

то

увеличится .

Т а к

к а к

н а ш а

з а д а ч а з а к л ю ч а е т с я

в

ум еньш ении

с т о и ­

м ости

всех

перевозок ,

то

некоторое

коли чество

то в а р а

с л ед у ет

п ерем ести ть

в

кл е т к у

с о тр и ц а т е л ь н о й

ценой.

Э той

клеткой

я в л я е т с я

п е р в а я

к л е т к а т р еть его

столб ца ,

в которой цена

р а в н а

( — 2).

В о зн и к а е т

вопрос:

к а к

п рои зводи ть

п е р ем ёщ ен и е т о в а р а ?

Это

д е л а е т с я

по « кольцу »,

в к л ю ч а ю щ е м у

по кр ай н ей

м е ­

ре 4 клетки — одну свобод ную

с о т р и ц а т е л ь н о й

ценой

и

три

за н я т ы х

с

нулевой

ценой. Д л я

п ростей ш и х

сл у ч аев

это

« кольц о »

п р е д с т а в л я е т

собой за м к н у т ы й к в а д р а т .

В

т а б л и ц е

62 п о к а за н

к в а д р а т , од н а

ве р ш и н а которого

л е ­

ж и т

в

свободной

к л е т к е

с

о тр и ц ател ь н о й

ценой

( —2),

а

три

д р у ги е — в

к л е т к а х

с коли чеством т о в а р а . П о

этом у

к в а д р а т у

мы

и д о л ж н ы

п рои зводи ть

п ер ем ещ ен и е

т о в а ­

ра ,

но

то ль к о

так ,

чтобы

не н а р у ш а л и с ь

огр ан и ч ен и я

по

к о л и ч еств у

то в а р о в

на

с к л а д а х

и т р е б о в а н и я м

м а г а з и ­

нов.

В свобод ную

к л е т к у и

кл етку ,

л е ж а щ у ю

н а к р е с т

к

ней,

сл е д у е т д о б а в и т ь

н ек о то р о е коли чество

еди н и ц

т о в а р а

и

ту ж е

велич ину о тн ять

от

чисел в

д ву х

д р у ги х

клетках .

П р и

эти х у сл о ви ях

п е р е м е щ ат ь с я

по

« к о л ьц у »

м о ж ет

то л ь к о м еньш ее из

д ву х

чисел,

к о то р ы е

з а п и с а н ы

в

н а ­

к р ест

л е ж а щ и х

к л е т к а х

второй

пары , т.

е. пар ы ,

не

с о ­

д е р ж а щ е й

свободной

клетки . В

н аш ем

п р и м ер е

в к л е т ­

к а х второй

п а р ы з а п и с а н ы

числа 4 и 10.

М е н ь ш е е из этих

чисел

4

мы

м о ж е м п е р е м е щ ат ь

по

у к а з а н н о м у

вы ш е

Требуется

6

8

1 0

24

2

2

В ы числим

о б щ у ю

стоим ость

всех

п ер ев о зо к

по

новом у

плану .

В ы ч и слен и е ведем по

истинны м цен ам ,

т. е. по

цен ам

п ер ев о зк и

единицы

т о в а р а ,

известны м

из

т а б ­

лицы 60:

С = 6 -

1 + 4

• 3 +

8 • 1 + 6 - 4 =

6 + 1 2 +

8 + 24 =

50

руб.

П о ср ав н ен и ю

с исходны м этот п л а н

д а е т

8

руб. э к о н о ­

мии. Я в л я е т с я

л и

он н аи лу ч ш и м ?

В ы ясн и ть

это

м ож н о ,

п ри м ен яя

м ето д р а з р е ш а ю щ и х

сл а га е м ы х ,

к о то р ы е

п р о ­

с т ав л ен ы

в последней стр о ке

и последнем

с т о л б ц е

т а б ­

ли ц ы 63.

П о ясн и м

к р а т к о процесс н а х о ж д е н и я

этих

с л а га е м ы х .

В первом и вто р о м

с т о л б ц а х к л е тк и

с т о в а р о м

у ж е и м ею т

цены, р а в н ы е 0.

П е р в а я

к л е т к а

третьего сто лб ц а ,

в

которой

п р о с т а в л ен

то вар ,

им еет о т р и ц а т е л ь н у ю

цену

( — 2 ). Д л я

п р и в е д е н и я

этой цены

к н у л ю

по в тором у

с то лб ц у п р и б а в л я е м

к ц е ­

нам 2. П о сл е этого цена

во

второй к л етк е третьего

с т о л б ­

ца

с тан ет

р ав н о й

0 + 2 = 2, а

нам

н уж ен 0. С л ед о вател ьн о ,

по

второй

строке

н а д о

п р и б а в и т ь ( — 2 ).

Н о после этого

цен а во

второй

к л етк е

второго

с то лб ц а

с тан ет

равной

0 +

( — 2) =

— 2,

а

нам н у ж ен 0.

С л е д о в а т е л ь н о ,

к

ценам

вто р о го

сто лб ц а следует

п р и б ави ть

2.

П р о д е л а в

все это,

переход им к со ставлен и ю

очередной т а б л и ц ы 64.

Таблица 64

М а г а з и н ы

И м е е т с я

С к л а д ы

2

3

н а с к л а д а х

( е д . )

1 .

0

2

0

1 0

------------------ ►

6

4

2

0

!

о

1 4

1

0

8

6

Требуется

6

8

1 0

2 4

Т а к

к а к

в

этой

т а б л и ц е

нет ни

одной

к л е т к и с

о т р и ц а ­

тельн ой

ценой,

то

д а л ь н е й ш е е с н и ж ен и е

стоим ости п е р е ­

в озок н е в о зм о ж н о и, с л ед о в атель н о ,

п л а н этой

т а б л и ц ы

н аи лу ч ш и й ( о п т и м а л ь н ы й ).

§ 2

СУЩЕСТВОВАНИЕ НЕСКОЛЬКИХ НАИЛУ.ЧШИХ

ПЛАНОВ

зы вается ,

если полученны й

н аи лу ч ш и й

п л ан

с о д е р ж и т

нуль хотя бы в одной клетке , в которой

не

п р о став л ен ы

единицы

т о в а р а ,

то во зм о ж н о

получ ить и д р у ги е н а и л у ч ­

шие

планы , с той ж е

общ ей

стоим остью

всех

перевозок .

Т а б л и ц а

64 с о д е р ж и т

цену,

р а в н у ю нулю , во второй к л е т ­

ке

первого

сто лб ц а , в

которой не

п р о став л ен о

к о л и ч е с т ­

во

т о в а р а .

С л е д о в а т е л ь н о ,

б удут

су щ е с т в о в а ть и д р у ги е

н аи луч ш и е п л ан ы . П о к а ж е м , к а к их получить.

В т а б л и ц е

64 построим

« кольц о »

в вид е

п р я м о у го л ь н и к а ,

верш ины

к о торого л е ж а т

в

к л е т к а х

с

нулевой

ценой. Е с ­

ли

по угл о вы м к л е т к а м

п ерем ести ть

6 единиц

т о в а р а ,

не

и зм е н яя

при этом коли чества т о в а р а

в

о стал ьн ы х к л е т ­

ках,

то

п олуч им

д ругой

н аи лу ч ш и й

план,

у к а з а н н ы й

в

т а б л и ц е

65.

Таблица 65

М а г а з и н ы

И м е е т с я

. С к л а д ы

2

3

на с к л а д а х

(ед.)

1

0

2

10

0

1 0

2

0

О

0

14

СО

6

Требуется

6

8

1 0

24

П о

это м у п л а н у

о б щ а я

стоим ость

всех п ер ев о зо к о с т а е т ­

ся

преж н ей . Д ей ств и тел ьн о ,

п р о и зв о д я

вы ч и сл ен и я

по

истинны м

ц е н ам

перевозки

еди ниц ы

т о в а р а ,

получим :

С = 6 - 2 +

8 - 1 +

1 0 - 3 = 1 2 + 8 +

30 = 50

руб.

Д л я

п о луч ения второго

н а и лу ч ш его

п л а н а

все 6 еди ниц

то в а р а из

второй клетки третьего

с т о л б ц а

перем естили

во

вторую

к л е т к у

первого

столб ца .

М о ж н о

и не все 6

еди н и ц п о д в ер гать

перем ещ ен ию ,

а л и ш ь их

часть. П е ­

рем ести м ,

н ап ри м ер , 4 единицы (таб л .

66).

Таблица

66

1

2

3

И м е е т с я

на с к л а д е

1

2

8

10

2

4

8

2

14

Требуется

6

8

10

24

П о это м у п л а н у имеем :

С = 2 ■1 + 4 - 2 + 8 - 1 + 2 - 4 + 8 - 3 = 2 + 8 + 8 + 8 +

+ 24 = 50 руб.

А н ал о ги ч н о м о ж н о

получ ить

и д р у ги е

н а и л у ч ш и е планы .

§

3

ПЛАН С НАИБОЛЬШЕЙ СТОИМОСТЬЮ

ПЕРЕВОЗОК

М ы

видели , что

по н а и л у ч ш ем у п л а н у о б щ а я стоим ость

всех

п ер ев о зо к

р а в н а 50 руб.

И н тер есн о

с р а в н и т ь

этот

п л ан

с н аи худ ш и м п л ан о м , т. е.

с -п лан ом ,

им ею щ и м

н а и ­

б о л ь ш у ю стоим ость перевозок .

Д л я п о луч ения его

над о

повторить весь известны й

нам

проц есс с той л и ш ь

р а з н и ­

цей, что теп ерь

т о в а р ы

н а д о п е р е м е щ ат ь

в кл етки с п о ­

л о ж и те л ь н о й

ценой.

В т а б л и ц е

62

им еется

к л е т к а

с п о л о ж и тел ьн о й ценой 2.

П р о и зв е д е м

перем ещ ен и е

4 еди н и ц

т о в а р а

по

к ольц у ,

и з о б р а ж е н н о м у

пун ктирны м и

л ини ям и .

В р е зу л ь т а т е

придем к сл е д у ю щ е м у п л ан у п ер ев о зо к

(табл .

67).

Таблица 67

М а г а з и н ы

И м е е т с я

С к л а д ы

на

с к л а д е

1

2

3

(ед.)

1

1

0

8

0

—2

1 0

2

2

2

2

0

0

14

4

1 0

Требуется

6

8

1 0

24

- 2

—2

В о зм о ж н о с т ь д а л ь н е й ш е го у вел и ч ен и я стоим ости

п е р е ­

в о зо к в ы я с н я е м при

пом ощ и р а з р е ш а ю щ и х

с л а га е м ы х ,

ко то р ы е п р о с т а в л ен ы

в т а б л и ц е 67.

С о с т а в л я е м т а б л и ц у с новы м и ц е н ам и (таб л .

68).

Т а к к а к в к л е т к а х этой т а б л и ц ы нет п о л о ж и т ел ь н ы х

цен ,

Таблица 68

М а г а з и н ы

И м е е т с я

С к л а д ы

1

2

3

на с к л а д а х

(е д . )

1

2

0

0

0

1 0

8

2

4

0

- 2

0

1 4

10

—

___

Требования

6

8

ю

24

то д ал ь н е й ш е е

у велич ен ие

стоим ости

п ер е в о зо к

н е в о з ­

м ож н о .

Т а к и м об р азо м ,

по н а и х у д ш е м у

в а р и а н т у

стоим ость пе ­

р е в о зо к р а в н а

66

руб.,

а по

н аи лу ч ш ем у —

50 руб.

В § 1 гл а в ы II говорится ,

что

весь проц есс

улучш ени я

п л а н а прим еним

то ль ко тогд а ,

ко гд а

число

зап о л н ен н ы х

к л е т о к

в т а б л и ц е

на ед и н и ц у м ен ьш е

су м м ы

числа строк

и ч и сла

столб цов т а б л и ц ы .

В п р а к ти к е реш ен и я з а д а ч

м о ж н о в с т р ет и т ь с я с таки м и

сл у ч а я м и ,

к о гд а

число за п о л н е н н ы х

к л е т о к

о к а зы в а е т с я

м еньш им

у к а за н н о г о числа.

Д л я п р и м ер а

рассм отри м

Таблица 69

М а г а з и н ы

• И м е е т с я

С к л а д ы

3

2

!

1

на с к л а д а х

(ед .)

1

!

ю

3

2

1

10

-

,

1

ю

1

6

2

14

— 1

о

8

Требуется

10

8

6

24

- 3

—

1

Е сли

исходны й

п л ан

в зя т ь

по п р а в и л у

« северо -зап адн о -

го» у гл а , то мы

при дем

к т а б л и ц е 69.

Ч и сл о за п о л н е н н ы х

к л е т о к

о к а з а л о с ь

равн ы м

3,

а не 4.

В этом

и состои т вы р о ж д ен и е , п р е п ятств у ю щ ее

п р и м е н е ­

нию известного н а м проц есса у л у ч ш е н и я п л ан а .

И зб а в и т ь с я

от

в ы р о ж д е н и я

м о ж н о д в у м я сп особ ам и :

во-

первых,

д л я

этого

д о статочн о п ер естави ть

с то лб ц ы

или

строки ,

н ап р и м ер ,

снова с д е л а в р а с п о л о ж е н и е

сто лб ц о в

пр еж н и м ;

во -вторы х ,

м о ж н о

у сл о в н о

счи тать за н я т о й

о д ­

ну из

клеток ,

н еоб ходи м ы х

д л я п ри м ен ения

п роц есса .

Д л я

этого

в

к л е т к у

з а п и с ы в а е т с я 0,

и к л е т к а

сч и тается

за н я то й . В

н а ш е м

сл у ч ае нуль вп и сан во вторую

к л е т к у

первого

сто лб ц а . В есь

д а л ь н е й ш и й проц есс

идет

обы чно

Л е гк о у б ед и ть ся ,

что

п л ан

т а б л и ц ы

69 —

оп ти м ал ьн ы й .

Т еперь

р а с с м о тр и м

случай , когд а

и м ею щ ееся

к о л и ч е ­

ство

т о в а р а

на

с к л а д а х п р е в ы ш а е т

т р е б о в а н и я

м а г а з и ­

нов.

Д л я при м ен ения

р а с п р ед ел и тел ь н о го

м е то д а

в

этом слу ­

ч ае

над о

ввести

ф иктивн ы й м а га зи н ,

тр е б о в а н и е

к о т о р о ­

го

р а в н я е т с я р азн о с т и

м е ж д у

и м е ю щ и м с я

количеством

т о в а р а на

с к л а д а х

и т р еб о в ан и ем

всех, м а га зи н о в , а

ц е ­

ны

п ер ево зк и

единицы

т о в а р а

в

ф и кти вн ы й

м а га зи н

в з я т ь р а в н ы м и нулю .

И зм е н и м

в

той

ж е

з а д а ч е то ль к о

кол и ч ество

т о в а р а

на

с к л а д а х и с о х р ан и м

все прочие у словия .

П р е д п о л о ж и м ,

что

на

первом

с к л а д е

и м еется

12 единиц

т о в а р а , а

на

втором —

16. Т а к

к а к

т еп ер ь на

обоих с к л а ­

д а х им еется

28

еди ниц

т о в а р а ,

а м а г а з и н а м

тр ебуется

24

единицы ,

то

в

т р е б о в а н и е ф иктивн ого

м а г а з и н а

над о

з а ­

п и сать 4 единицы . С о с т а в л я я исходны й п л а н по

п р а в и лу

« с е в о р о -за п а д н о го »

у гл а , придем к т а б л и ц е 70.

Таблица 70

М а г а з и н ы

И м е е т с я

С к л а д ы

1

2

3

ф и к т и в и .

н а с к л а д а х

(ед .)

1

6

1

6

2

3

0

12

2

2

2

1

4

0

16

+ 1

10

4

Требуется

6

8

10

4

28

— 1

- 2

—5

—1

П о это м у

п л а н у

о б щ а я стоим ость всех

п ер ев о зо к

р ав н а :

С - 6 -

1 + 6 - 2 + 2 -

1 +

1 0 - 4 = 6 + 1 2 + 2 + 40 = 60

руб.

В есь проц есс ул у ч ш ен и я

п л а н а п рои звод и тся

обы чно при

пом ощ и пр и вед ен и я

цен

в к л е т к а х

с

товар о м к н улям

( т а б л . 71).

Таблица 71

1

6

0

0

—2

—1

12

1

6

2

2

t

!

о

л

0

16

- 2

1

У

8 -

4

Требуется

6

8

10

4

28

2

2

2

П о п л а н у п е р е в о зо к второй т а б л и ц ы

имеем :

С - 6 -

1 + 6 - 3 + 8 -

1 + 4 - 4 =

6 + 1 8 + 8 + 1 6 = 48

руб.

Таблица 72

1

0

2

0

1

12

2

0

0

0

0

16

1

Требуется

6

8

10

4

28

1

16-36

241