книги из ГПНТБ / Постнов Ю.И. Линейное программирование в сельском хозяйстве

Эти числа вписываем в соответствующие клетки столбца «План» третьей симплексной таблицы.

Переходим к вычислению элементов нового столбца Х\ (табл. 14). Для этого известный нам элемент 1 этого

Таблица 14

столбца умножаем на все элементы генерального столб­ ца (кроме генерального элемента) и полученные числа вычитаем из чисел этого же столбца. В результате полу­ чим, очевидно, нули, которые запишем в пустые клетки нового столбца лщ Элементы нового столбца х2 (табл. 14) остаются теми

же, что и во второй симплексной таблице (табл. 12), так как известный нам элемент этого столбца 0.

Для вычисления элементов столбца х3 (табл. 14) извест­ ный нам элемент — 40 умножаем на все элементы гене­ рального столбца (кроме генерального элемента) второй симплексной таблицы (табл. 12) и результаты вычитаем из соответствующих элементов старого столбца х3 той же второй симплексной таблицы. В результате получим числа:

42

2 0 - ( - 4 0 ) - 0 , 2 = 20 + 8= 28 - 2 - ( - 4 0 ) - 0 , 1 8 = - 2 + 7,2 = 5,2

- 1 0 0 - ( - 4 0 ) - 2 = - 100 + 80= - 2 0 .

Аналогично производится вычисление элементов всех остальных столбцов третьей симплексной таблицы.

Заметим, что для неизвестных, содержащихся в столбце «План», элементы столбцов состоят из одной единицы и остальных нулей. Теперь проанализируем третью симп­ лексную таблицу (табл. 15).

В последней строке, в столбцах неизвестных, нет поло­ жительных элементов, и, следовательно, дальнейшее улучшение плана невозможно. План, полученный в тре­ тьей симплексной таблице, является оптимальным (наи­ лучшим) .

По этому плану надо произвести: картофеля — 20 000 ц, ячменя— 16 000 ц. Валовая продукция С в денежном выражении равна 140 000 руб. Для производства исполь­

43

зуется вся пашня и расходуются все тракторо-смены.

Механизированного труда на производство картофеля затрачивается 0,021-20 000 = 420 тракторо-смен, а на производство ячменя — 0,03-16 000 = 480 тракторо-смен.

ВТОРОЙ ВАРИАНТ

Сохраняя условие нашей задачи (см. стр. 28), поставим такой вопрос: сколько целесообразно произвести карто­ феля и ячменя для того, чтобы получить максимум кор­ мовых единиц. Известно, что коэффициенты перевода в кормовые единицы равны: по картофелю — 0,3, по ячменю — 1,2.

Если производить Х\ ц картофеля и х2 ц ячменя, то это даст

С —0,3xi -f-1,2x2

центнеров кормовых единиц.

Так как условия задачи сохраняются, то ограничения, при которых отыскивается наибольшее значение функ­ ции С, остаются теми же, что и в первом варианте за ­ дачи.

В первой симплексной таблице во всех клетках будут те же числа, что и ранее, при решении первого варианта задачи, за исключением чисел последней строки в столб­ цах неизвестных, так как теперь есть другая функция цели:

С = 0,3хі + 1,2x2 Т 0х3 -|-0x4 4" Oxs.

При решении задачи все симплексные таблицы можно объединить в одну (табл. 16).

44

45

Наилучшим оказался тот же план, что и при решении первого варианта задачи:

*1 = 20 000; *2= 16 000.

Этот план предусматривает получение 25 200 центнеров кормовых единиц.

ТРЕТИЙ ВАРИАНТ

Предположим, что по некоторым соображениям хозяй­ ству не требуется больше 10 000 ц картофеля, а необхо­ димо больше ячменя. Каким будет наилучшее сочетание культур в этом случае (какое количество картофеля и ячменя следует производить, чтобы получить наиболь­ шую валовую продукцию в денежном выражении)?

Теперь к ограничениям надо добавить еще одно условие:

* г< 10 000,

которое отражает наше требование.

Новая задача будет заключаться в том, чтобы найти наибольшее значение функции

С=3*і + 5*2

при выполнении следующих условий:

0,01*[+ 0,05*2 <1000 0,2*!+ 0,1*2 < 8 000 0,021*,+ 0,03*2 <900

Вводя дополнительные неизвестные, придем к таким ра­ венствам:

46

Кроме того, мы получили новую функцию цели

С = 3*і Т 5*2 Т 0*з Т 0*4 Т 0*5 И- 0*б-

Дополнительная неизвестная х6 показывает количество картофеля, которое необходимо произвести сверх запла­ нированного количества для того, чтобы иметь 10 000 ц. К решению задачи применяем уже известный нам симп­ лексный метод. Теперь первая симплексная таблица бу­ дет содержать пять строк: четыре строки коэффициентов при неизвестных в ограничениях и одну строку коэффи­ циентов функции цели.

Как и раньше, в качестве исходного плана возьмем такой план, при котором продукция не производится, т. е.

*і = 0; *2= 0; *з=1 000; *4 = 8 000; *5= 900; *6=Ю000.

Составим первую симплексную таблицу (табл. 17).

Таблица 17

47

Наибольшее положительное число 5 последней строки принадлежит столбцу х2, и, следовательно, он и является генеральным. В генеральном столбце имеется три поло­ жительных элемента и один нуль, которые находятся в первых четырех строках. Из этих чисел только на поло­ жительные разделим соответствующие элементы плана. Как известно из предыдущего, наименьшим из этих от­ ношений является число 20 000 (оно соответствует пер­ вой строке). Следовательно, генеральной является пер­ вая строка таблицы, а генеральным элементом — число 0,05. На место неизвестной х3 в план надо ввести неиз­ вестную х2. Расчет второй и последующих симплексных таблиц проводится точно так же, как и при решении пре­ дыдущих вариантов задачи. Вторая симплексная табли­ ца теперь имеет такой вид (табл. 18).

Таблица 18

48

Так как в последней строке этой таблицы имеется положительный элемент 2, то возможно дальнейшее улучшение плана, которое производится так же, как и раньше.

Произведя необходимые расчеты, составляем третью

симплексную таблицу (табл. 19).

Таблица 19

План, содержащийся в этой таблице, является опти­ мальным, так как в последней строке нет положительных элементов. По этому плану следует производить: карто­ феля — 10 000 ц, ячменя — 18 000 ц.

Для производства полностью используется пашня, а не­ использованными остаются 4200 чел.-дн., 150 тракторосмен.

Заметим, что в оптимальный план картофель вошел в наибольшем допустимом количестве— 10 000 ц.

Не следует думать, что это всегда должно быть так. Лег­

ко догадаться, что если число, ограничивающее произ­ водство картофеля, не больше числа, содержащегося в оптимальном плане первого варианта задачи, т. е. 20 000, то в оптимальный план этого варианта задачи будет вхо­ дить наибольшее допустимое количество. Если же число, ограничивающее производство картофеля больше 20 000, то в план будет входить обязательно 20 000. Это легко проверить расчетами.

Рассмотренный симплексный метод можно кратко изло­ жить так:

I. В последней строке симплексной таблицы выбирается одно положительное число (как правило, наибольшее), указывающее на столбец одного из видов продукции (генеральный столбец).

II. Для выбранной продукции определяется «узкое мес­ то», на основании чего устанавливается генеральная строка и генеральный элемент, который может быть только положительным числом.

III. Неизвестная, находящаяся в генеральной строке, удаляется из плана, и на ее место вписывается продук­ ция, находящаяся в генеральном столбце.

IV. В новой таблице в первую очередь заполняется стро­ ка, относящаяся к новой продукции. Это осуществляется переносом в нее частных, полученных делением на гене­ ральный элемент элементов, находящихся в соответст­ вующей строке предшествующей таблицы, а затем запол­ нением столбцов по известным правилам. Следует пом­ нить, что, если в столбце продукции плана один элемент равен 1, а остальные — 0, то столбцы, которые при деле­ нии на генеральный элемент дают нули, переносятся в новую таблицу без изменений.

V. Составление таблиц продолжается до тех пор, пока не будет получена такая таблица, в последней строке кото­ рой не останется ни одного положительного элемента.

50

На этом мы закончим рассмотрение симплексного мето­ да в применении к задачам третьего типа, в которых ограничения выражены неравенствами со знаками < .

В следующем параграфе мы расскажем о применении этого метода к решению сельскохозяйственных задач.

В КОЛХОЗАХ И СОВХОЗАХ

Оптимальным можно считать такое сочетание отраслей в колхозах и совхозах, которое в данных условиях спо­ собствует наиболее рациональному использованию зем­ ли, труда, техники и других средств производства и поз­ воляет получить максимум продукции при имеющихся ресурсах.

ПЕРВАЯ ЗАДАЧА

Определить оптимальное сочетание основных культур в земледелии колхоза.

Условия задачи. Общая площадь пашни, выделенная

шины и орудия. В хозяйстве возделываются следующие культуры: зерновые, картофель, кукуруза на силос, од­ нолетние травы на сено. В производстве данных культур