книги из ГПНТБ / Хокс П. Электронная оптика и электронная микроскопия
.pdf60 |
Глава 2 |
ку О (z = z„), а благодаря линзе L это изображение ока жется в плоскости, проходящей через точку I (z = гг).
Поскольку на входе и выходе из поля линз в действитель ности мы имеем дело с асимптотами к электронным лучам,
Ф и г. 2 .5 . П ол ож ен и я |
объекта |
и и зобр аж ен и я в пром еж уточны х |
и |
проек ци |
онн ы х л и н зах . |
Плоскость объекта zQ представляет собой плоскость, в которой будет форми
роваться промежуточное изображение при выключенной линзе; плоскость изображения г- представляет собой плоскость, на которой наблюдатель,
находящийся в пространстве изображений, может наблюдать изображение. Практически очень маловероятно, чтобы О и 1 оказались внутри поля линзы.
оказывается целесообразным использовать частные реше ния уравнений траектории, несколько отличные от функ ций g (z) и h (z), которые были определены ранее (уравне ния (2.20) и (2.21)). Эти решения, обозначенные через G(z) и II (z), определяются следующими граничными условиями
(фиг. 2.6):
Inn G(z) = l,
Z-+- оо
(2.26)
lim II (z) = z —z0.
z-> —оо
Физически функция G (z) соответствует лучу, прихо
дящему из свободного от поля пространства вне линзы на расстоянии от оси, равном 1, и идущему параллельно оси. Функция Н (z) соответствует лучу, приходящему из
свободного от поля пространства таким путем, что при
Электронные линзы |
61 |
отсутствии линзы L этот луч будет пересекать ось в точке z = za под углом, тангенс которого равен 1.
В этом случае общие решения уравнений траектории будут иметь следующий вид:
х (z) = AG {z) + BH (z), y(z) = CG(z) + DII(z).
Так |
же, |
как |
и раньше, находим, |
что А — х0, В = а0, |
С = |
уо |
и D = |
Yoi где х0, у0, а0 |
и у0 — соответственно |
Ф и г. 2 .6 . Л уч и G (г) и П |
(z), п р едставляю щ и е собой реш ения ур ав |
н ени й траек тори и , |
удовл етвор яю щ и е усл ов и я м (2 .26). |
положения и углы наклона лучей в плоскости z = z0 при отсутствии линзы L. Асимптоты, к которым эти лучи
стремятся в пространстве объекта, представляют собой простые выражения
х (z) —V х0~\-а0 {z —z0),
(2.28)
У(*)-+Уо-\-уо (z — z0).
Используя то обстоятельство, что уравнение прямой, пересекающей ось z в точке z = z под углом, тангенс которого равен т, может быть записано в виде
x = m(z —z),
и обозначая постоянные величины dGldz и dllldz в про странстве изображения соответственно через G\ и Н\,
62 |
Глава 2 |
асимптоты к функциям G (z) и 11 (z) в пространстве изобра
жений можно привести к виду
G(z)-+G’i (z — zG),
(2.29)
Н ( z ) ^ H \ ( z - z H),
где z = zG и z = zH представляют собой точки, в которых асимптоты к G(z) и II (z) пересекают ось z (фиг. 2.7, а).
Таким образом, за линзой лучи х (z) и у (z) стремятся
кследующим асимптотам:
х(z) x 0G'i (z — zG)-\-a0Hi (z — z„),
У(Z) -v y0G'i (Z —ZG)-f- y0H'i (Z —Zji)
или |
|
|
|
|
X (z) |
(x0G’i-\-a0Hi) z —(x0G'iZG-\-a0H\zn ), |
|
||
У(z) |
(y0Gi~|—y0Hi) Z (yoG%ZG— y0HiZ/f), |
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
x(z ) - + a i( z — Zi)-\-xh |
(2.30) |
|
|
|
y ( z ) - ^ y i (z — zi) ^ - y i, |
||
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
a i = |
x 0G'i-\-a0iri, |
(2.31) |
|
|
У1 = |
УоО[-\-у0Н'г |
|
и |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Xi |
0*iZi— —{XoG\ZG—^“CLqII\Zji), |
(2.32) |
|
|
Hi — |
YiZi = |
— ( y o G ' i Z G - { - y 0 H ' i Z H ) . |
|
|
|
|||
Уравнения (2.30) позволяют определить точки пересе чения асимптот к х (z) и у (z) с произвольной плоскостью z — zt в пространстве изображения, а уравнения (2.31) —
углы их наклона. Эти уравнения принимают особенно интересный вид тогда, когда плоскость z = zt совпадает
с плоскостью z = zH. В этом случае из уравнения (2.32) получаем
X i — X o G i (Zj j — Z(j),
(2.33)
yi = yoG’i(zH— zG).
|
|
Область линзы |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
G-(z) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
^ ----- X |
|
|
1 |
|
||
----- |
< |
\ |
|
1 |
|
||
/ |
|
|
|
1 |
|
||
|
\ |
\ |
\ |
\ |
1 |
|
|
/ |
|
|
|
1 |
|
||
___ l/j |
-U ____X |
|
|
\ i |
|
||
J r z0 |
zs~~~- —_ |
|
|
~y |
H(z) |
||
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
УН(г) |
|
|
|
|
|
i |
e(z) |
|
|
|
|
|
i |
||
i i
i i i
а
Ф и г, 2,7 . О бщ ий в и д .л уч ей G (г) и И (г) (а). А сим птотическое ф ор
м и ровани е и зо б р а ж ен и я (Ъ).
64 |
Глава 2 |
|
|
Отсюда в плоскости z = |
zH = zt имеем |
|
|
х (z) -> Xi = M x 0, |
(2.34) |
||
y(z)-+yi = M y0, |
|||
|
|||
где |
|
|
|
M = G i (г — zG). |
(2.35) |
||
Плоскость z — zH — zt представляет собой (асимптоти
ческую) плоскость изображения, сопряженную с плоско стью z = z0 (фиг. 2.7, б).
Любой электронный луч, падающий параллельно оси х = х 0 G, при выходе из линзы будет приближаться к асимптоте
x(z)-> X0G’i(z — Zq).
Таким образом, все параллельные лучи будут пересекать ось в точке z = zq, известной как фокус (асимптотический)
в пространстве изображений и обычно обозначаемой через zFi. Совершенно аналогичные рассуждения показывают,
что асимптоты всех лучей в пространстве объекта, входя щих в пространство изображений параллельно оси линзы, пересекут ось в точке z = zFo, называемой фокусом (асим
птотическим) в пространстве объекта. Эти фокусы опре деляются точно так же, как и фокусы тонких линз в све товой оптике (фиг. 2.8, а).
Асимптота к лучу, падающему параллельно оси х - * х 0,
пересечет асимптоту к выходящему лучу в плоскости (фиг. 2.8, б), в которой
Xq— XqGi ^Z ZFi)
или
Следовательно, эта плоскость не зависит от положения падающего луча. Известная под названием главной плоско сти в пространстве изображений, она обозначается через zPi и определяется выражением
Zpi — ZFi - \ - — . |
(2.36) |
Электронные Линзы |
65 |
Аналогично определяется главная плоскость в пространст ве объекта (z = z Ро):
Zp0—zFo=r=r . |
(2.37) |
Go |
|
G (z) представляет собой решение уравнения траектории, параллельной оси в пространстве изображений, a Go
Ф и г . 2.8. Асимптотические фокусы в пространстве объекта и в про странстве изображений, zF0 и z G = zF i (а). Асимптотические главные плоскости в пространстве изображений (6).
Построение главной плоскости осуществляется с помощью функции G (2).
обозначает величину dG/dz в пространстве объекта, свобод ном от поля. Можно показать, что величины G\ и G'0,
характеризующие наклоны, связаны между собой уравне-
5-0132
66 |
Глава 2 |
нием траектории. G (z) и G (z) удовлетворяют уравнениям
(2.15д) и (2.15е), поэтому (без учета релятивистских по правок) мы будем иметь
dzd (Ф^с'н- е=о,
Умножая первое из этих выражений на G, а второе на G
и производя вычитание, получаем
-^-[Ф 1/2 (G'G — GG')] = 0
или
Ф1/2(С'ё —GG') = const. |
(2.38) |
Учитывая, что £' = 0 и G\ = 0, находим, что константа
в пространстве объекта равна —Фо/2бо, а в пространстве
изображений |
так что |
Ф01/2С '= - Ф ? /2&). |
(2.39) |
В самом распространенном случае, когда электростати ческий потенциал Ф0 в пространстве объекта равен потен циалу Фг в пространстве изображений, имеем
G ' = - G i
и уравнение (2.37) принимает вид
Zpo Zfo—^ ■ |
\ |
(2.40) |
|
ту • |
|||
|
Gi |
|
|
Пользуясь этим результатом, |
можно показать |
также, |
|
что |
|
|
|
z0 — zF0— -----. |
(2-41) |
||
|
MGi |
v |
' |
Объединяя уравнения (2.35) и (2.41), получаем уравнение Ньютона для линзы в следующем виде:
\
(z0 Zfq) (Zi —Tg- . (2.42)
Электронные линзы |
67 |
В теории толстых линз фокусное расстояние опреде ляется как расстояние между главной плоскостью и фоку сом:
S i — |
%Fi |
ZP i , |
/ о |
Zpo |
(2.43) |
%Fo. |
Из уравнений (2.36), (2.37) и (2.39), полагая Фг = Ф0,
получаем
f = |
/-— ___L = |
_L |
(2.44) |
|
'° |
' г |
G \ |
G o |
' |
Уравнение Ньютона для линз принимает обычный вид:
(z0 —zFo)(Zi — zFi) = — f 2, |
(2.45) |
где / не имеет индекса (обычно он оставляется только при рассмотрении ускоряющих линз, когда Фг Ф Ф0).
Кроме того, можно определить расстояния между объектом и главной плоскостью в пространстве объекта, а также между изображением и главной плоскостью в про странстве изображения. В этом случае имеем
Zi |
Z pi — Zi — Z p i — f , |
|
(2.4b) |
|||||
Z0-— Zpo—Z0 — Zp0—j-/. |
||||||||
|
||||||||
Подставляя (2.46) в уравнение (2.45), находим, что |
|
|||||||
— |
------------------------------------— |
= ~ |
f |
. |
(2-47) |
|||
z i |
z Pi |
zo |
z Po |
|
|
|
||
Эта формула представляет собой видоизмененную элемен тарную формулу тонкой линзы, справедливую для случая толстой линзы (в тонкой линзе главные плоскости совпа дают между собой в центре линзы).
Уравнение (2.38) фактически является частным случа ем общей зависимости между любой парой независимых решений, например s (z) и £ (z), уравнений траектории. Аналогичным образом можно показать, что
Ф1/2 (st’ —s'i) = const.
Существование этой важной инварианты, известной под названием инварианты Вронского, является свойством класса дифференциальных уравнений, к которому при надлежат уравнения траектории. Пользуясь ею, можно
68 |
Глава 2 |
довольно просто вывести ряд полезных соотношений. На пример, если выбрать s = G и t = Н, то получим
СгЯ^= (Ф0/Ф г)1/2,
где Gt равно увеличению М , а //.[ представляет собой угло вое увеличение (фиг. 2.9), так как 11'0 — 1. Поэтому угло
вое увеличение, получаемое благодаря использованию
Ф и г. 2.9. Пример использования оператора Вронского: взаимо связь между угловым увеличением (для точек, лежащих на оси)
ипоперечным (линейным) увеличением.
н[ — угловое увеличение; G; — поперечное увеличение.
любых линз (за исключением ускоряющих электростати ческих линз), представляет собой величину, обратную увеличению. Однако следует иметь в виду, что этот резуль тат может ввести в заблуждение. Напомним, что все электроны, выходящие из точки (х0, у0) плоскости объекта,
достигают точки (М |
х а, |
М у а) |
плоскости изображения, но |
углы наклона (<х01 |
М, |
y J M ) |
к плоскости изображения |
будут иметь только те электроны, которые выходят из точки (0, 0) плоскости объекта под углами (а0, у0) к этой
плоскости. Действительно, электроны, выходящие из точки (х0, у0) плоскости объекта под углами (а0, у0), пересекут
плоскость изображения под |
углами |
(а г, у г), которые |
|||
определяются следующими соотношениями: |
|||||
а« = |
Хр |
I «о |
У1 — |
Уо |
| То |
/ |
М ' |
/ + М ‘ |
|||
Выводы из теории толстых линз. На основании полу ченных выше результатов можно сделать следующие выво
Электронные линзы |
69 |
ды. Свойства электронной линзы, применяемой в качестве промежуточной или проекционной линзы, характеризуют ся либо положениями двух пар плоскостей (пары главных плоскостей и пары фокальных плоскостей), либо положе ниями одной пары плоскостей (это могут быть главные или фокальные плоскости) и расстояниями между отдельными плоскостями пар. Указанные плоскости и расстояния показаны на фиг. 2.10. На фиг. 2.10, а приведены фокаль
ная и главная плоскости в пространстве изображения, расстояние между которыми представляет собой фокусное расстояние; на фиг. 2.10, б показаны фокальная и главная
плоскости в пространстве объекта, также находящиеся друг от друга на расстоянии, равном фокусному расстоя
нию (в предположении, |
что линза нигде не оказывает |
|
на электроны никакого |
ускоряющего |
воздействия, т. е. |
ф 0 = ф ;). Уравнение Ньютона (2.45) |
для толстых и тон |
|
ких линз имеет один и тот же вид. Элементарное уравнение линзы (2.47) остается справедливым для толстых линз
впредположении, что расстояние до объекта измеряется между объектом и главной плоскостью в пространстве объекта, а расстояние до изображения — между изобра жением и главной плоскостью линзы в пространстве изображения. (В случае тонких линз главные плоскости совпадают с самой линзой.)
Теперь вернемся к краткому рассмотрению свойств объективных линз. Как уже указывалось, основные эле менты объектива — его фокусное расстояние, а также положения его фокуса и главных плоскостей — меняются
взависимости от положения объекта. Однако на практике объективные линзы используются в основном для получе ния довольно больших увеличений. По этой причине единственные значения для фокусного расстояния и поло жения фокусов, используемые обычно при рассмотрении объективных линз, представляют собой значения, соот ветствующие предельному случаю бесконечно большого увеличения. В этом случае фокус в пространстве объекти ва представляет собой точку, в которой луч, выходящий из линзы параллельно оси, пересекает эту ось, а фокусное расстояние равно величине, обратной углу наклона этого луча в точке фокуса пространства объекта, если луч выхо дит на расстоянии от оси, равном единице (фиг. 2.11).